第二十二章 曲面积分_第1页
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1、第二十二章 曲面积分1 第一型曲面积分1计算下列第一型曲面积分：(1)其中是上半球面解 所以 则(2)其中为立体的边界曲面；解 (3) 其中为柱面被平面所截取的部分；解 (4) 其中为平面在第一卦限中的部分。解 2求均匀曲面的重心。解 设重心坐标为由对称性：其中为所求曲面的面积，而则（为在面的投影）。所以，重心坐标为3.求密度为的均匀球面对于轴的转动惯量。解 因则4计算其中为圆锥表面的一部分： 这里为常数解：2 第二型曲面积分1 计算下列第二曲面积分：(1) 其中为由六个平面所围的立方体表面并取外侧为正向；解： （2）其中是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向；故(3)其中是由平面

2、和所围的四面体表面并取外侧为正向；解：故 (4) 其中是球面的上半部分并取外侧为正向；解：令 其中故(5)其中是球面并取外侧为正向。解 曲面在面的投影区域：故2 设某流体的流速为求单位时间内从球面的内部流过球面的流量。解 设流量为，则 3 高斯公式与斯托克斯公式1 应用高斯公式计算下列曲面积分:(1)其中是单位球面的外侧；解 (2) 其中是立方体表面的外侧；解 原式=(3)其中是锥面与平面所围空间区域的表面，方向取外侧；解 由柱面坐标变换其中(4)其中是单位球面的外侧；解 (5)其中是上半球面的外侧。补的圆 则2 应用高斯公式计算三重积分其中是由与所确定的空间区域。解 原式3应用托斯克斯公式计算下列曲线积分（1）其中为与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧；（2）其中为所交的椭圆的正向（3），其中为以为顶点的三角形沿的方向解：（1）可看成为曲面的边界，所以由托斯克斯公式 原式= 因 同理 故原式=0 （2）设为由与所交椭圆面，为其边界，在平面上的投影区域 则原式 （3）原式4求下列全微分的原函数：(1)解 因故原函数(2)解 因 故原函数5验证下列线积分与路线无关，并计算其值：(1)解 在内有所以所给曲线积分与路线无

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