自动控制理论课件：第7章 线性离散控制系统2

1、7.3 Z7.3 Z变换与变换与Z Z反变换反变换7.3.1 Z7.3.1 Z变换的定义变换的定义Z变换是由采样函数的拉氏变换演变而来的。采样信号的数学表达式 0)()()(*kkTtkTete进行拉氏变换： kTskekTeteLsE0)()(*)(*在E*(s)中含有因子eTS，是s的超越函数，而不是有理函数，因此引入新的变量z,令 Tsez zTsln1*1ln()(szTE sE z称E(zE(z) )为e e* *(t)(t)的Z变换，记作 ，简记为 *( )( )Z etE z)()(zEteZ10()(0)( )()kkke kT zee T ze kT z计算采样信号e*(t)

2、的Z变换主要有三种方法：r 级数求和法级数求和法r 部分分式部分分式法法r 留数法留数法 1 1级数求和法级数求和法就是直接利用Z变换定义的计算方法。 设e(t)=(t)，其采样信号e*(t)=(t)。由Z变换定义有11)()(00zzkTezEkk例例7-47-4 求单位脉冲信号的Z变换解：解：1)0(e()01,2,)e kTk（求采样序列 ：()e kT7.3.2 Z7.3.2 Z变换的计算变换的计算这是一个公比为z z-1-1的等比级数，当z z-1-1 1 1z 1时，级数收敛，可写成闭合形式： 11( )111zE zzzz例例7-5 7-5 求单位阶跃信号的Z变换设e(t)=1(

3、t)，其采样信号为由Z变换定义120( )()1kkE ze kT zzz 解：解：()10,1,2,)e kTk（0*( )()kettkT在所有采样时刻有：0)()()(kTkTttte取采样周期为T，解：解：例例7-6 7-6 求单位理想脉冲序列 的Z变换)(tT0*( )()kettkT 11( )111zE zzzz不同不同相同相同不同的e(t)，采样后e*(t)有可能是相同的，可以得到相同的E(z)。所以，Z变换只是对采样点上的信息有效，只要e*(t)相同，E(z)就相同，但采样前的e(t)可以是不同的。 结论结论1220( )1akTkaTaTkE zezezez 111( )(

4、1)1aTaTaTzE zezezze例例7-77-7 求指数函数信号的Z变换解：解：设 , 求Z变换E(z)，其中 为常数。 ( )ate tea()akTe kTe这是一个公比为 的等比级数，当 时，级数收敛，可写成闭合形式 1aTez11aTez2 2部分分式法部分分式法)(te)(sE)(sE)(* te在控制系统中，连续函数 常常是以拉氏变换形式 给出的，已知 求 的Z变换，采用部分分式法较为方便。计算步骤计算步骤：( )E s( )e t1niiiAss1ins tiiAe1inisTiAzzeL化成部分分式L-1离散化Z1( )niiE s1( )niie t1()niie kT

5、1( )niiE z查表111) 1(1)(sssssEtessLte1111)(1)(1()1 (1)(TTTezzezezzzzzE) 1(1)(sssE例例7-9 7-9 设 ,求E(s)的Z变换。 解：解：问题：问题：能否将能否将 代入代入E(sE(s) )求求E(zE(z)?)?1lnszT注意：注意：1ln( )( )szTE zE s*1ln( )( )szTE zE s ( )Z E s是表示与是表示与E(sE(s) )对应的对应的e(te(t) )的采样函数的采样函数e e* *(t)(t)的的Z Z变换。变换。3 3留数法留数法已知连续函数e(t)的拉氏变换E(s)及其全部

6、极点 ，则e(t)对应的Z变换可通过下面的留数计算公式求得，即(1,2, )is il1111( )lim()( )(1)!iiiirlrirsTssiidzE zssE srdsze 式中， 为彼此不相等的极点个数。且 为 阶重极点。 lisir2( )1/E ss22011( )lim(0)(2 1)!sTsdzE zsdssze例例7-107-10 已知 ，求Z变换E(z)。解：解：( )(0)e ttt10s 1l 12r E(s)的极点 为二重极点，所以 ， 。由留数计算公式得到( )e t的拉氏变换为 220()(1)sTsTsTzeTzzez1.1.线性定理线性定理 证明：证明：

7、 1 1221 1220( )( )()()kkZ a e ta e ta e kTa e kTz1122112200()()( )( )kkkkae kT zae kT za E za Ez)()()()(22112211zEazEateateaZ若已知 的Z变换分别为 ，且 为常数，则有： 12( )( )e te t，12( )( )E zEz，12,a a7.3.3 Z7.3.3 Z变换的基本定理变换的基本定理设正弦信号 e(t)= sint (t0),求z变换E(z)。 )(21sin)(tjtjeejtte12j Tj Tzzjzeze例例7-117-112sin2cos1zTzz

8、T解：解：1( )2j tj tE zZ eZ ej21()2() 1j Tj Tj Tj Tz eejzz ee若e(t)的Z变换为E(z), 则有 )()(zEznTteZn10)()()(nkknzkTezEznTteZ2. 2. 实数位移定理实数位移定理证明证明： 0 ()()kkZ e tnTe kTnTznjjnzjTez)(j=k-n) ()0() nk nkze kn Tz由于j0时，e(jT)=0,所以有 )()()(0zEzzjTeznTteZnjjn0()kknne kTnTzzz0 ()()kkZ e tnTe kTnT z()() k nnk n ne kn T zz

9、 ()nkk nze kT z100()()nnkkkkze kT ze kT z10 ( )()nnkkzE ze kT z例例 已知e(t)=1(t-T),求它的Z变换函数E(z)。 解解: 111)( 1 )( 1 11zzzztZzTtZ)(1tZzTtZteZ221) 1() 1()(zTzTzzzE已知e(t)=tT,试用实数位移定理求e(t)的Z变换E(z)。 解：解： 例例2 (1)TzZ tz若已知e(t)的Z变换为E(z),则有 )()(aTatezEeteZ式中 为常数a3.3.复数位移定理复数位移定理证明：证明： 根据Z变换定义 0)()(kkakTatzekTeete

10、Z0() ()aTkke kTze2) 1(zTztZ2()(1)ataTaTeeT zZ t ez已知e(t)=te-at,求Z变换E(z)。 解：解：例例()aTE z e4. z4. z域微分定理：域微分定理： 证明：证明：0)()(kkzkTezE两边对z求导数 0)()(kkzkTedzdzEdzd0()kkde kTzdz)()(zEdzdTztetZ若e(t)的Z变换为E(z),则 )()(zEdzdTztetZ10()kkzkT e kTzT同理可推出：2( ) ( )( )dddZ t e tTzZ te tTzTzE zdzdzdz )()(3zEdzdTzdzdTzdzd

11、TztetZ10() ()kke kTkz 1( )zZ t e tT 若已知e(t) 的Z变换为E(z),则 azEteaZk)(其中 为常数) a5. z5. z域尺度定理域尺度定理证明证明： 0( )()kkkkZ ae tae kTz1cos2)cos(cos2TzzTzztZ12122cos1coscos12cos2cos1kzzTzTZtzTzzzT例例7-157-15试求kcost的Z变换. 解：解：0()kkze kTazEa若e(t)的Z变换为E(z)，且E(z)在z平面的单位圆上没有二重以上极点，在单位圆外解析.则 )() 1(lim)(*lim1zEztezt6.6.终值

12、定理终值定理证明证明: : )0()() 1()()0()()()(zezEzzEzezzEteTteZ)()()0()() 1(teTteZzezEz两边取极限,并由Z变换定义有 )()2()3()()2()0()()0()() 1()0(lim)() 1(lim011eTeTeTeTeeTeezkTeTkezezEzkkzz)() 1(lim)(*lim1zEztezt终值定理可以用来计算离终值定理可以用来计算离散系统的稳态误差。散系统的稳态误差。证明：证明： 210)2()()0()()(zTezTeezkTezEkk)(*lim)0()(lim0teezEtz若e(t)的Z变换为E(z

13、)，并有极限 存在，则 )(limzEz)(lim)(*lim0zEtezt7. 7. 初值定理初值定理 例例2( )(0.5)(1)zE zzz求 的初值和终值。()e kT解：解：20lim ()lim( )lim1(0.5)(1)kzzze kTE zzz211lim ()lim(1) ( )lim20.5kzzze kTzE zz8.8.卷积定理卷积定理12120()()() () ne kTe kTe nT ekn T1()e kT2()e kT0k 12()()0e kTe kT设 和 为两个采样序列，当 时， 。其离散卷积定义为则有卷积定理121212 ()() ()()( )(

14、 )Z e kTe kTZ e kTZ e kTE z Ez卷积定理说明卷积定理说明：两个采样函数卷积的Z变换，就等于这两个采样函数的Z变换的乘积。在离散系统分析中，卷积定理是沟通时域和z域的桥梁。从z域函数E(z),求时域函数e*(t), 叫做Z反变换。记作 1 ( )*( )ZE zet()e kT*( )et( )e tZ反变换只能给出采样序列 或采样函数 , 而不能提供连续函数 。也就是说，通过Z反变换得到的仅是连续函数在各采样时刻上的值。 注意：注意：或1 ( )()ZE ze kT同样，可使用三种方法求E(z)的Z反变换： r 幂级数法（长除法）幂级数法（长除法）r 部分分式部分分

15、式法法r 留数法留数法 7.3.4 Z7.3.4 Z反变换的计算反变换的计算通常E(z)是z的有理函数，可表示为两个z的多项式之比 101101( )mmmnnnb zb zbE znma za za用分母去除分子，并将商按z-1的升幂排列 022110)(kkkkkzczczczcczE比较Z变换的定义此法在实际中应用较为方便，缺点是要得到e(kT)的一般表达式较为困难。 00*( )() ()()kkkceke kTtkTtkT0( )()kkE ze kTz()(0,1,2,)ke kTck1.1.幂级数法（长除法）幂级数法（长除法） )2)(1(10)(zzzzE试求其z 反变换。 解

16、：解： 21123110)2)(1(10)(zzzzzzzE1234( )103070150E zzzzz*( )10 ()30 (2 )70 (3 )150 (4 )ettTtTtTtT1211 3210zzz110z123103020zzz233020zz234309060zzz347060zz230z370z34570210140zzz45150140zz4150z例例7-167-162.2.部分分式法部分分式法部分分式展开法是将E(z)展成若干个分式和的形式，而每一个分式可通过查表得出所对应的时间函数e(t)，并将其转变为采样信号e*(t)。在在Z Z变换表中，许多变换表中，许多Z Z

17、变换函数分子上都有因子变换函数分子上都有因子z, z, 所以需要先把所以需要先把E(z)/zE(z)/z展开成部分分式，然后将展开的每一项都乘以展开成部分分式，然后将展开的每一项都乘以z, z, 即得即得E(z)E(z)的展开式。的展开式。 注意：注意：1111 ( )()()nniiiiiAzZE zZe kTe kTzz1( )niiiAE zzzz1( )niiiAzE zzziiAzzz查表( )ie t离散化()ie kT0*( )() ()kete kTtkT例例7-177-17 已知Z变换函数 )2)(1(10)(zzzzE，试求其Z反变换。 解：解： 首先将E(z)/zE(z)

18、/z展开成部分分式 ( )101010(1)(2)12E zzzzzz( )101012E zzzzz 查表有 111zzZkzzZ2211()( )10210(21) 10kke kTZE z *( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )etete TtTeTtT0 ( ) 10 ()30 (2 )70 (3 ) 150 (4 )ttTtTtTtT e(kTe(kT) )的一的一般表般表达式达式例例 已知Z变换函数 )(1()1 ()(aTaTezzzezE，试求其Z反变换。 解：解： aTaTaTezzezzezzE111)(1(1)(aTezzzzzE1)(查表得 atete1)(akTekTe1)(*( )(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )etete TtTeTtT23(1) ()(1) (2 )(1) (3 )aTaTaTetTetTetT 离散化得1()Re ( )ikz ze kTs E zz根据复变函