一元二次方程

1、代数第十一章 一元二次方程一、 一元二次方程有关概念：定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。一般形式： ax2+bx+c=0 （a0） （也叫标准形式）, 其中ax2叫二次项，bx 叫一次项，c 叫常数项 ，a叫二次项系数，b 叫一次项系数。注：如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，则一定有a0；如果仅指出方程ax2+bx+c=0，则有a0和a0两种情况。2 一元二次方程的解法： 直接开平方法：方程的一边可以化为完全平方式，另一边是非负数时适用。 配方法：二次项系数是1，一次项系数是2的倍数时适用。 因式分解法：方程的一边易于分解因式，另一边是0时

2、适用。 公式法：（万能方法，但未必简便）一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）的求根公式 注：求根公式成立的两个条件：，b24ac0掌握公式的推导。 一元二次方程根的判别式： （a0）定理：0 方程有两个不相等的实数根；0 方程有两个相等的实数根；0 方程无实数根。应用： 不解方程，判别根的情况（要把方程化为一般式）； 根据根的情况，确定方程中字母的取值范围（注意a0的条件）； 进行有关证明：一般先计算出，化简后把化成能判别符号的式子，如=（ ）2 ，=（ ）2+ ，=（ ）2 ，=（ ）2，等等。4 一元二次方程根与系数的关系：定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是，那么，

3、 。注： 定理的两个条件：a0，0； 特别地，若x2+px+q=0的两个根是x1，x2，则x1+x2=p，x1x2=q； 定理的逆命题成立，可当定理用。应用：不解方程，求与两根有关的代数式的值：把所求代数式尽可能化成两根的和与积的形式。常用关系式： x12+x22=（x1+x2）22x1x2 ； x13+x23=（x1+x2）（x1+x2）23x1x2 （x1x2）2=（x1+x2）24x1x2 |x1x2|= （x1+1）（x2+1）= x1x2+（x1+x2）+1 不解方程，根据根的情况求方程中有关字母的值常见根的情况： 两根异号 两根同号 只有一根为0 ，两根都为至少有一根为0 一根大于

4、 ，一根小于（x1a）（x2a）0两根是有理根是完全平方必有一根是1a+b+c=0；必有一根是1ab+c=0二次三项式的因式分解如果方程ax2+bx+c=0 （a0）的两根是x1，x2；那么ax2+bx+c=0 =a（xx1）（xx2）注：（1）当时，ax2+bx+c能在实数范围内分解因式；当时，ax2+bx+c不能在实数范围内分解因式。（2）二次三项式因式分解先考虑能否用十字相乘法，乘法公式等，再考虑用求根公式法；（3）一元二次方程与二次三项式的区别与联系：如方程3x26x12=0可变形为x22x=0但分解3x26x12时，就不能变形为x22x二、 可化为一元二次方程的分式方程、无理方程、高

5、次方程、 分式方程去分母整式方程（要验根）方法与步骤：（1） 求出各分母的最简公分母（先把各分母分解因式）； （2） 用最简公分母去乘方程的两边，把分式方程转化为整式方程（不要漏乘不含分母的项，此时可能导致增根）； （3） 解这个整式方程； （4） 检验：代入最简公分母，若为，则是增根；不为，则是原方程的根； （5） 作答。注：若直接去分母后，得到的整式方程是高次方程，则考虑用换元法。2、 无理方程乘方有理方程（要验根）方法与步骤：移项使方程一边只剩下一个含有未知数的无理项；方程两边同时平方，再重复、步，直到方程变形为整式方程 （此时可能导致方程增根）； 解整式方程； 检验：把整式方程的解代入

6、原方程，若方程根式均有意义，且左右两边相等，则为原方程的解，否则为增根。 注：可用根式的意义直接判定某些无理方程无解或有特殊解；若方程两边平方后，得到的整式方程是高次方程，则考虑用换元法。3、 高次方程降次二次或一次方程降次的方法：因式分解法、换元法（切忌给方程两边同除以含有未知数的整式，这样可能导致失根）。三、 二元二次方程组的解法1型：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，用代入消元法解；2型：由二个二元二次方程组成的方程组基本思想：降次-因式分解 ，消元-代入或加减消元法；1 两个方程中有一个易于分解成两个一次方程，则原方程组可化为两个1型方程组。两个方程都易于分解成两个一次

7、方程，则原方程组可化为四个1型方程组。两个方程都不含一次项，如消去常数项，得形如ax2+bxy+cy2=0的二次齐次方程，把它分解成两个一次方程再与原方程组中的任意一个组合成两个1型方程组；4 二次项系数或某些同次幂项系数对应成比例，如用加减消元法消去这些项后可化为以上三种情形之一。 第六章 解直角三角形一、锐角三角函数的概念设是RtABC的一个锐角，则：sin=， cos=， tg =， ctg=。 二、特殊角的三角函数值： 三角函数 0300450600900 sin01cos10 tg01不存在 ctg不存在10三、互为余角的三角函数间的关系 ：若为锐角，则sin（900）=cos； c

8、os（900）= sin；tg（900）= ctg； ctg（900）= tg。用法：A与B互余： sin A=cos B cos A=sin B tg A=ctg B ctg A=tg B四、 同角三角函数的关系：sin2+cos2=1 ； tg= ； ctg= 。五、 三角函数值的变化情况： 在锐角范围内，角越大，则sin和tg的对应值也就越大； 在锐角范围内，角越大，则cos和ctg的对应值越小。六、 三角函数值的范围及同角的三角函数的大小：1、 为锐角：0sin1 ； 0cos1 ； tg0 ； ctg0 。2、 sin与cos的大小关系： 当00 450时，sincos； 当4509

9、00时，sincos； 当 = 450 时，sin= cos。3、 sin与tg、cos与ctg的大小关系：sin tg ； cos ctg 。七、 解直角三角形：1、 直角三角形的三条边和三个角，称为直角三角形的六个元素。除一个直角外，若还知道其它两个元素（至少有一条边），求解其它未知元素的问题叫做解直角三角形。2、 解直角三角形的主要依据如下：在RtABC中，C=900，a、b、c分别是A、B、C所对的边，则有： 三边关系：a2 + b2 = c2 （勾股定理）； 两锐角关系：A+B=900 （两锐角互余）； 边角关系： sinA=cosB= ， cosA=sinB=， tgA=ctgB= ， ctgA=tgB= 。 直角三角形的面积公式： S=（h是斜边上的高） 注：一般三角形的面积公式：S= 两个重要定理：在直角三角形中，300的角所对的直角边等于斜边的一半。在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。、直角三角形的解法：已知两条直角边a、b，则 ， tgA= ， B=900A， S=已知一条直角边a和斜边c，则， sinA= ， B=900A ， 。已知一条直角边a和一个锐角A，则B=900A ， ， ， 。已知斜边c和一个锐角A，则B=900A ， ， ， 。八、 用解直角三角形的知识解简单的实际问题：、概念：坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（用