中考数学专题复习 第十二讲二次函数的图象与性质(共57张PPT)

1、第十二讲二次函数的图象与性质一、二次函数的概念及其表达式一、二次函数的概念及其表达式1.1.二次函数的概念二次函数的概念: :形如形如_(a,b,c_(a,b,c是常数是常数, ,a0)a0)的函数的函数. .y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c2.2.二次函数的表达式二次函数的表达式: :(1)(1)一般式一般式:_.:_.(2)(2)顶点式顶点式:y=a(x-h):y=a(x-h)2 2+k(a0),+k(a0),其顶点坐标是其顶点坐标是_._.y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)(h,k)(h,k)二、二次函数二、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0

2、)+bx+c(a0)的图象与性质的图象与性质1.1.当当a0a0时时(1)(1)开口方向开口方向: :向上向上.(2).(2)顶点坐标顶点坐标: : (3)(3)对称轴对称轴: :直线直线_._.(4)(4)增减性增减性: :当当x- x-x-时时,y,y随随x x的增大而的增大而_._.(5)(5)最值最值: :当当x=- x=- 时时,y,y最小值最小值=_.=_.24acb_,4a().b2abx2a b2a减小减小b2a增大增大b2a24acb4a2.2.当当a0a0时时(1)(1)开口方向开口方向: :向下向下.(2).(2)顶点坐标顶点坐标: : (3)(3)对称轴对称轴: :直线

3、直线_._.(4)(4)增减性增减性: :当当x- x-x-时时,y,y随随x x的增大而的增大而_._.(5)(5)最值最值: :当当x=- x=- 时时,y,y最大值最大值=_.=_.b,_2a().bx2a 24acb4ab2a增大增大b2a减小减小b2a24acb4a【自我诊断】【自我诊断】( (打打“”或或“”)”)1.1.函数函数y=2xy=2x2 2+2+2是二次函数是二次函数. .( )( )2.2.对于二次函数对于二次函数y=(x-1)y=(x-1)2 2+2+2的图象的图象, ,对称轴是直线对称轴是直线x=-1.x=-1.( )( )3.3.二次函数二次函数y=axy=ax

4、2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象如图所示的图象如图所示, ,则则2a+b0.2a+b0.( )( )4.4.若函数若函数y=mxy=mx2 2+(m+2)x+ m+1+(m+2)x+ m+1的图象与的图象与x x轴只有一个轴只有一个交点交点, ,那么那么m m的值为的值为2 2或或-2.-2.( )( )5.5.将抛物线将抛物线y=xy=x2 2向左平移向左平移2 2个单位个单位, ,再向下平移再向下平移3 3个单个单位位, ,则新抛物线的解析式为则新抛物线的解析式为y=(x+2)y=(x+2)2 2-3.-3.( )( )6.6.函数函数y= xy= x2 2的图象开口向上的

5、图象开口向上, ,对称轴是对称轴是y y轴轴. .( )( )7.7.二次函数二次函数y=xy=x2 2-2x+1-2x+1与与x x轴的交点个数是轴的交点个数是2.2.( )( )1213考点一考点一 二次函数图象和性质二次函数图象和性质 【示范题【示范题1 1】(2017(2017枣庄中考枣庄中考) )已知函数已知函数y=axy=ax2 2-2ax-2ax-1(a1(a是常数是常数,a0),a0),下列结论正确的是下列结论正确的是( () )a.a.当当a=1a=1时时, ,函数图象经过点函数图象经过点(-1,1)(-1,1)b.b.当当a=-2a=-2时时, ,函数图象与函数图象与x x

6、轴没有交点轴没有交点c.c.若若a0,a0,a0,则当则当x1x1时时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大【思路点拨】【思路点拨】a.a.将将a=1a=1代入原函数解析式代入原函数解析式, ,令令x=-1x=-1求出求出y y的值的值, ,由此对选项由此对选项a a进行判断进行判断;b.;b.将将a=-2a=-2代入原函数解代入原函数解析式析式, ,令令y=0,y=0,根据根的判别式根据根的判别式,可得出当可得出当a=-2a=-2时时, ,函函数图象与数图象与x x轴的交点情况轴的交点情况, ,由此对选项由此对选项b b进行判断进行判断;c.;c.利利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标用

7、配方法找出二次函数图象的顶点坐标, ,令其纵坐标令其纵坐标小于零小于零, ,可得出可得出a a的取值范围的取值范围, ,由此判断选项由此判断选项c c是否符合是否符合题意题意;d.;d.利用配方法找出二次函数图象的对称轴利用配方法找出二次函数图象的对称轴, ,结合结合二次函数的性质二次函数的性质, ,可得出选项可得出选项d d是否符合题意是否符合题意. .【自主解答】【自主解答】选选d.a.d.a.当当a=1a=1时时, ,函数解析式为函数解析式为y=xy=x2 2-2x-2x-1,1,当当x=-1x=-1时时,y=1+2-1=2,y=1+2-1=2,当当a=1a=1时时, ,函数图象经过点函

8、数图象经过点(-1,2),a(-1,2),a选项不符合题意选项不符合题意;b.;b.当当a=-2a=-2时时, ,函数解析式函数解析式为为y=-2xy=-2x2 2+4x-1,+4x-1,令令y=-2xy=-2x2 2+4x-1=0,+4x-1=0,则则=4=42 2-4-4(-2) (-2) (-1)=80,(-1)=80,当当a=-2a=-2时时, ,函数图象与函数图象与x x轴有两个不同轴有两个不同的交点的交点,b,b选项不符合题意选项不符合题意;c.y=ax;c.y=ax2 2-2ax-1=a(x-2ax-1=a(x-1)1)2 2-1-a,-1-a,二次函数图象的顶点坐标为二次函数图

9、象的顶点坐标为(1,-1-a),(1,-1-a),当当-1-a0-1-a-1,ca-1,c选项不符合题意选项不符合题意;d.y=ax;d.y=ax2 2- -2ax-1=a(x-1)2ax-1=a(x-1)2 2-1-a,-1-a,二次函数图象的对称轴为二次函数图象的对称轴为x=1.x=1.若若a0,a0,则当则当x1x1时时,y,y随随x x的增大而增大的增大而增大,d,d选项符合选项符合题意题意. .【答题关键指导】【答题关键指导】 1.1.判断判断a,b,ca,b,c的符号可从开口方向、对称轴位置、与的符号可从开口方向、对称轴位置、与y y轴交点来考虑轴交点来考虑; ;顶点坐标和对称轴可

10、根据公式直接计顶点坐标和对称轴可根据公式直接计算或确定算或确定. .2.2.涉及二次函数增减性首先考虑开口方向涉及二次函数增减性首先考虑开口方向, ,然后计算然后计算对称轴对称轴, ,要分对称轴左右两侧来考虑增减性要分对称轴左右两侧来考虑增减性. .3.3.判断判断2a-b2a-b与与2a+b2a+b的符号要根据对称轴与的符号要根据对称轴与x=-1x=-1和和x=1x=1的关系结合的关系结合a a的正负考虑的正负考虑. .4.4.判断判断a ab+c,4ab+c,4a2b+c,2b+c,的符号要根据的符号要根据x=x=1,x=1,x=2,2,时对应的函数值的正负考虑时对应的函数值的正负考虑.

11、.5.5.判断判断b b2 2-4ac-4ac的符号要根据抛物线与的符号要根据抛物线与x x轴的交点个数轴的交点个数考虑考虑. .【变式训练】【变式训练】1.(20171.(2017金华中考金华中考) )对于二次函数对于二次函数y=-(x-1)y=-(x-1)2 2+2+2的图的图象与性质象与性质, ,下列说法正确的是下列说法正确的是( () )a.a.对称轴是直线对称轴是直线x=1,x=1,最小值是最小值是2 2b.b.对称轴是直线对称轴是直线x=1,x=1,最大值是最大值是2 2c.c.对称轴是直线对称轴是直线x=-1,x=-1,最小值是最小值是2 2d.d.对称轴是直线对称轴是直线x=-

12、1,x=-1,最大值是最大值是2 2【解析】【解析】选选b.b.二次函数二次函数y=-(x-1)y=-(x-1)2 2+2+2的对称轴是直线的对称轴是直线x=1.-10,x=1.-10,b0,a0,b0, 所以所以|b|c|,|b|c|,即即b+c0,b+c0,a-b+c0,即正比例函数图象经过第二、即正比例函数图象经过第二、四象限四象限, ,反比例函数图象经过第一、三象限反比例函数图象经过第一、三象限. .24acbb014a2a，3.(20173.(2017菏泽中考菏泽中考) )一次函数一次函数y=ax+by=ax+b和反比例函数和反比例函数y=y= 在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示

13、在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示, ,则二则二次函数次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象可能是的图象可能是( () )cx【解析】【解析】选选a.a.一次函数一次函数y=ax+by=ax+b经过第二、四象限经过第二、四象限, ,a0;a0;,b0;反比例函数反比例函数y= y= 经经过第二、四象限过第二、四象限,c0;a0,c0;a0,抛物线开口向下抛物线开口向下; ;c0,c0,抛物线和抛物线和y y轴负半轴相交轴负半轴相交;a0,;a0,- 0,- 0,对称轴在对称轴在y y轴的右边轴的右边. .cxb2a考点二考点二 确定二次函数的解析式确定二次函数的解析式 【示

14、范题【示范题2 2】(2017(2017临沂中考临沂中考) )如图如图, ,抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx-3+bx-3经过点经过点a(2,-3),a(2,-3),与与x x轴负半轴交于点轴负半轴交于点b,b,与与y y轴交于点轴交于点c,c,且且oc=3ob.oc=3ob.(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式. .(2)(2)点点d d在在y y轴上轴上, ,且且bdo=bac,bdo=bac,求点求点d d的坐标的坐标. .(3)(3)点点m m在抛物线上在抛物线上, ,点点n n在抛物线的对称轴上在抛物线的对称轴上, ,是否存是否存在以点在以点a,b,m,na,b,m,

15、n为顶点的四边形是平行四边形为顶点的四边形是平行四边形? ?若存在若存在. .求出所有符合条件的点求出所有符合条件的点m m的坐标的坐标; ;若不存在若不存在, ,请说明理请说明理由由. .【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)用待定系数法可求得结论用待定系数法可求得结论. .(2)(2)作作bfacbfac交交acac的延长线于点的延长线于点f,f,根据已知条件得到根据已知条件得到afxafx轴轴, ,得到得到f(-1,-3),f(-1,-3),设设d(0,m),d(0,m),则则od=|m|,od=|m|,求出求出m m的的值值, ,即可得到结论即可得到结论. .(3)(3)设设m(a,am

16、(a,a2 2-2a-3),n(1,n),-2a-3),n(1,n),以以abab为边为边, ,则则abmn,ab=mn,abmn,ab=mn,过过m m作作meme对称轴于点对称轴于点e,afxe,afx轴于点轴于点f,f,于是得到于是得到abfabfnme,nme,证得证得ne=af=3,me=bf=3,ne=af=3,me=bf=3,得到得到m(4,5)m(4,5)或或(-2,5);(-2,5);以以abab为对角线为对角线,bn=am,bnam,bn=am,bnam,则则n n在在x x轴上轴上,m,m与与c c重合重合, ,于是得到结论于是得到结论. .【自主解答】【自主解答】(1)

17、(1)由由y=axy=ax2 2+bx-3+bx-3得得c(0,-3),oc=3,c(0,-3),oc=3,oc=3ob,ob=1,b(-1,0),oc=3ob,ob=1,b(-1,0),把把a(2,-3),b(-1,0)a(2,-3),b(-1,0)代入代入y=axy=ax2 2+bx-3+bx-3得得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=xy=x2 2-2x-3.-2x-3.4a2b33a1ab30b2. ，(2)(2)如图如图1,1,作作bfacbfac交交acac的延长线于点的延长线于点f,f,a(2,-3),c(0,-3),afxa(2,-3),c(0,-3),afx轴轴, ,f(-1

18、,-3),bf=3,af=3,bac=45f(-1,-3),bf=3,af=3,bac=45, ,设设d(0,m),d(0,m),则则od=|m|,od=|m|,bdo=bac,bdo=45bdo=bac,bdo=45,od=ob=1,od=ob=1,|m|=1,m=|m|=1,m=1,d1,d1 1(0,1),d(0,1),d2 2(0,-1).(0,-1).(3)(3)设设m(a,am(a,a2 2-2a-3),n(1,n),-2a-3),n(1,n),以以abab为边为边, ,则则abmn,ab=mn,abmn,ab=mn,如图如图2,2,过过m m作作meme对称对称轴于点轴于点e,a

19、fxe,afx轴于点轴于点f,f,则则abfabfnme,nme,ne=af=3,me=bf=3,|a-1|=3,a=4ne=af=3,me=bf=3,|a-1|=3,a=4或或a=-2,a=-2,m(4,5)m(4,5)或或(-2,5).(-2,5).以以abab为对角线为对角线,bn=am,bnam,bn=am,bnam,如图如图3,3,则则n n在在x x轴上轴上,m,m与与c c重合重合,m(0,-3),m(0,-3),综上所述综上所述, ,存在以存在以点点a,b,m,na,b,m,n为顶点的四边形是平行四边形为顶点的四边形是平行四边形,m(4,5),m(4,5)或或(-2,5)(-2

20、,5)或或(0,-3).(0,-3).【答题关键指导】【答题关键指导】 二次函数解析式的形式常用的有三种二次函数解析式的形式常用的有三种 一般式一般式y=axy=ax2 2 +bx+c(a0)+bx+c(a0)、顶点式、顶点式y=a(x-h)y=a(x-h)2 2 +k(a0)+k(a0)和交点式和交点式y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)(a0).)(a0).答题时要答题时要根据题目的不同条件选择适当形式根据题目的不同条件选择适当形式, ,建立方程或方程建立方程或方程组组, ,简化计算过程简化计算过程. . 【变式训练】【变式训练】1.(20171.(2017上海中

21、考上海中考) )已知一个二次函数的图象开口向已知一个二次函数的图象开口向上上, ,顶点坐标为顶点坐标为(0,-1),(0,-1),那么这个二次函数的解析式可那么这个二次函数的解析式可以是以是_.(_.(只需写一个只需写一个) )【解析】【解析】抛物线的顶点坐标为抛物线的顶点坐标为(0,-1),(0,-1),该抛物线的解析式为该抛物线的解析式为y=axy=ax2 2-1,-1,又又二次函数的图象开口向上二次函数的图象开口向上,a0,a0,这个二次函数的解析式可以是这个二次函数的解析式可以是y=2xy=2x2 2-1.-1.答案答案: :y=2xy=2x2 2-1-12.(20172.(2017枣

22、庄中考枣庄中考) )如图如图, ,抛物线抛物线y=- xy=- x2 2+bx+c+bx+c与与x x轴交于点轴交于点a a和点和点b,b,与与y y轴交于点轴交于点c,c,点点b b坐标为坐标为(6,0),(6,0),点点c c坐标为坐标为(0,6),(0,6),点点d d是抛物线的顶点是抛物线的顶点, ,过点过点d d作作x x轴的垂线轴的垂线, ,垂足为垂足为e,e,连接连接bd.bd.12(1)(1)求抛物线的解析式及点求抛物线的解析式及点d d的坐标的坐标. .(2)(2)点点f f是抛物线上的动点是抛物线上的动点, ,当当fba=bdefba=bde时时, ,求点求点f f的的坐标

23、坐标. .(3)(3)若点若点m m是抛物线上的动点是抛物线上的动点, ,过点过点m m作作mnxmnx轴与抛物轴与抛物线交于点线交于点n,n,点点p p在在x x轴上轴上, ,点点q q在坐标平面内在坐标平面内, ,以线段以线段mnmn为对角线作正方形为对角线作正方形mpnq,mpnq,请写出点请写出点q q的坐标的坐标. .【解析】【解析】(1)(1)把把b,cb,c两点坐标代入抛物线解析式可得两点坐标代入抛物线解析式可得 抛物线解析式为抛物线解析式为y=- xy=- x2 2+2x+6,+2x+6,y=- xy=- x2 2+2x+6=- (x-2)+2x+6=- (x-2)2 2+8,

24、d(2,8).+8,d(2,8).186bc0b2c6c6.，解得，121212(2)(2)如图如图1,1,过过f f作作fgxfgx轴于点轴于点g,g,连接连接bf.bf.设设 fba=bde,fgb=bed=90fba=bde,fgb=bed=90, ,fbgfbgbde,bde, b(6,0),d(2,8),e(2,0),be=4,de=8,ob=6,b(6,0),d(2,8),e(2,0),be=4,de=8,ob=6,2211f(xx2x6)fg |x2x6|22 ，则，fgbebgde，bg=6-x, bg=6-x, 当点当点f f在在x x轴上方时轴上方时, ,有有 , ,解得解

25、得x=-1x=-1或或x=6(x=6(舍去舍去),),此时此时f f点的坐标为点的坐标为 ; ;当点当点f f在在x x轴下方时轴下方时, ,有有 , ,解得解得x=-3x=-3或或x=6x=6( (舍去舍去),),此时此时f f点的坐标为点的坐标为 ; ;综上可知综上可知f f点的坐标为点的坐标为 21|x2x6|426x8，21x2x6126x27( 1,)221x2x6126x29( 3,)279( 1,)3,).22或(3)(3)如图如图2,2,设对称轴设对称轴mn,pqmn,pq交于点交于点o,o,点点m,nm,n关于抛物线的对称轴对称关于抛物线的对称轴对称, ,且四边形且四边形mp

26、nqmpnq为正为正方形方形,点点p p为抛物线对称轴与为抛物线对称轴与x x轴的交点轴的交点, ,点点q q在抛物在抛物线的对称轴上线的对称轴上, ,设设q(2,2n),q(2,2n),则则m m坐标为坐标为(2-n,n),(2-n,n),点点m m在抛物线在抛物线y=- xy=- x2 2+2x+6+2x+6的图象上的图象上, ,n=- (2-n)n=- (2-n)2 2+2(2-n)+6,+2(2-n)+6,解得解得n=-1+ n=-1+ 或或n=-1- ,n=-1- ,12121717满足条件的点满足条件的点q q有两个有两个, ,其坐标分别为其坐标分别为(2,-2+2 ),(2,-2

27、-2 ).(2,-2+2 ),(2,-2-2 ).1717考点三考点三 二次函数与方程、不等式二次函数与方程、不等式 【示范题【示范题3 3】(2017(2017南京中考南京中考) )已知函数已知函数y=-xy=-x2 2+(m-+(m-1)x+m(m1)x+m(m为常数为常数) )(1)(1)该函数的图象与该函数的图象与x x轴公共点的个数是轴公共点的个数是( () )a.0a.0b.1b.1c.2c.2d.1d.1或或2 2(2)(2)求证求证: :不论不论m m为何值为何值, ,该函数的图象的顶点都在函数该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)y=(x+1)2 2的图象上的图象上. .(

28、3)(3)当当-2m3-2m3时时, ,求该函数的图象的顶点纵坐标的取求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围值范围. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)选选d.d.函数函数y=-xy=-x2 2+(m-1)x+m(m+(m-1)x+m(m为常数为常数),),=(m-1)=(m-1)2 2+4m=(m+1)+4m=(m+1)2 20,0,则该函数图象与则该函数图象与x x轴的公共点的个数是轴的公共点的个数是1 1或或2.2.(2)y=-x(2)y=-x2 2+(m-1)x+m= +(m-1)x+m= 把把x= x= 代入代入y=(x+1)y=(x+1)2 2得得: : 则不论则不论m m为何值为何值, ,该函数的图象的顶点都在函数该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)y=(x+1)2 2的图象上的图象上. .22m1m 1(x)24，m 1222m1m 1y(1)24，(3)(3)设函数设函数z= ,z= ,当当m=-1m=-1时时,z,z有最小值为有最小值为0;0;当当m-1m-1m-1时时,z,z随随m m的增大而增大的增大而增大, ,当当m=-2m=-2时时,z= ;,z= ;当当m=3m=3时时,z=4,z=4,2m1414则当则当-2m3-2m3时时, ,该函数图象的顶点纵坐标的取值范该函数图象的顶点纵坐标的取值范围是围是0z4.0z