勾股定理与数学思想方法

1、勾股定理与数学思想方法李树臣勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。因此，勾股定理体现了数形结合的思想。除此之外，勾股定理还常常体现出以下三种数学思想，下面结合近年的中考试题举例说明：1. 方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思想求解的题目随处可见。例1. （河北省2005）工人师傅为检测该厂生产的一种铁

2、球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90，尺寸如图1（单位：cm）。将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有图1所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求。图2是过球心O及A、B、E三点的截面示意图。已知O的直径就是铁球的直径，AB是O的弦，CD切O于点E，。请结合图1中的数据，计算这种铁球的直径。图2解：连结OA、OE，设OE与AB交于点P，如图3。四边形ACDB是矩形。与O切于点E，OE为O的半径，在中，由勾股定理得，即，解得。所以这种铁球的直径为20cm。2. 分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论

3、，从而获得对问题完整的解答。在这里充分体现了分类讨论的思想。数学里的许多问题，只有用分类讨论的思想才能保证解答完整准确，做到“不漏不重”。例2. （山东临沂市2005）中，若C=90，如图4，根据勾股定理，则。若不是直角三角形，如图5和图6，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论。解：若是锐角三角形，则有。若是钝角三角形，C为钝角，则有。证明：当是锐角三角形时，如图5，过点A作，垂足为D，设CD为x，则有。根据勾股定理，得，即。当是钝角三角形时，如图6，过点B作，交AC的延长线于点D，设CD为x，则。根据勾股定理，得。即3. 转化的思想原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？”

4、时说：“解题就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题。”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的。可见，转化是解数学问题的一种重要方法。数学解题的过程实际就是转化的过程，换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答。例3. （山东淄博市2004）如图7是一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径

5、的长是（ ）A. B. C. D. 解：求空间几何体表面最短距离问题，通常可将几何体表面展开，把立体几何图形转化为平面图形问题。由于蚂蚁爬行的路径不同，爬行的路径的长短不一样，对此要分三种情况：（1）经过前面和右面或经过左面和后面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为4+6=10(cm)，宽为3cm的矩形的对角线（如图8中的AB），其长为。（2）经过前面和上面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为4cm的矩形的对角线（如图9中的AB），其长为。（3）经过左面和上面或经过下面和右面，这时蚂蚁爬行的最短路线是长为，宽为6cm的矩形的对角线（如图10中的AB），其长为。比较（1）、（2）、（3）的结果，蚂蚁爬行的最短路径的长为。答案：应选C。数学思想方法已成为未来社会公民必须具备的数学素养中的核心内容。数学思想方法是随着学生对数学知识的学习、运用逐渐