用向量的方法证明平行与垂直关系

1、用向量的方法证明平行与垂直关系知识点一：求平面的法向量例1.已知平面a经过三点A(1,2,3), B(2,0, 1), C(3, 2, 0),试求平面 a的一个法向 量.解： A(1,2,3), B(2,0, 1), C(3, 2,0),=(1, 2, 4),心(1, 2, 4), 设平面a的法向量为n= (x, y, z).依题意，应有n = 0, n AC = 0.即 X 2y 4Z= 0，解得 X= 2y .2x 4y 3z= 0z= 0令 y= 1,贝V x= 2.平面a的一个法向量为n= (2,1,0).【反思】用待定系数法求平面的法向量，关 键是在平面内找两个不共线向量， 列出方程

2、组，取其中一组解(非零向 量)即可.“用向量法”求法向量的解题步骤：(1)设平面的一个法向量为n (x, y,z)；A(a,O,O), B(O,b,O), C(0,0, c)，求平面 ABC 的一个法向量。知识点二：利用向量方法证平行关系(1) 线线平行：设直线11、12的方向向量分 别为 a、b，则 l,/l2 a/b a b(2) 线面平行： 由线面平行的判定定理，只要证明 已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可； 设直线i的方向向量为a，平面 的法 向量为，则| a a 0 ； 由共面向量定理知，只要证已知直 线的方向向量能够用平面内两个不共线向 量表示即可.（3）面面平行：证明两

3、个平面的法向量平行，即两 个平面的法向量 ；证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直 线的方向向量平行.例2在正方体ABCD AiBiCQi中，O是BQ的中点，求 证：B1C/ 面 ODC1 .证方法一:证法二：B1C/A1D，又 ADB1C / 面ODC1+ = + + +=+，共面.又 BiC面 ODG，二 BiC/ 面ODG.证法三：如图建系空间直角坐标系 D xyz，设 正方体的棱长为1,则可得1 1 dBi(1,1,1)，C(0,1,0), O2, 2， 1 -一 ？X0 + 2丫0 = 0，Ci(0,1,1)，（1,0， 1），12,12,2， 2， 0

4、.设平面ODCi的法向量为n = (x0，y，Z0), uur则口 ODu a得n OC10,11厂、2X0 2丫0 Z0= 0令 Xo= 1,得 yo= 1 ,zo = 1, n = (1,1,-1).又 n=- 1X10X1 (- 1) x- 1)= 0,_Ln, . B1C/ 平面 ODG.【反思】 证明线面平行冋题，可以有三个途径，一是在平面 ODG内找一向量与共 线；二是说明能利用平面 ODC内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向 量垂直.练习： 如图所示，矩形 ABGD 和梯形 BEFC 所在平面 互相垂直 , BE/CF , BCF CEF 90 , AD V3 , EF

5、 2 . 求证： AE/ 平面 DCF .证明：如图所示，以点C为坐标原点，以CBCF和CD所在直线分别作为x轴、y轴 和z轴，建立空间直角坐标系 Cxyz.设 AB= a, BE= b, CF= c,J则 C(0,0,0), A(a/3, 0,a),B( 3, 0,0), E( 3, b：0), F(E0,0),从而CB丄AE=(0, b， a),= ( 3,=(0, b,0),所以 AE = 0 ,= 0,AE, CB丄 BE.所以CB丄平面ABE.H为CB丄平面DCF 所以平面 ABE/平面DCF故 AE/平面DCF. 知识点三 利用向量方法证明垂直关系（1）线线垂直：设直线ii、-的方

6、向向量分 别为 a、b，则 li l2 a b a b 0（2）线面垂直： 设直线l的方向向量为a，平面 的法向量为，则la/八a k ； 由线面垂直的判定定理，只要证明 已知直线的方向向量与平面内两个不共线 向量垂直。（3）面面垂直： 证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量0 ； 由面面垂直的判定定理可知：只要 证明一个平面内的一条直线的方向向量和 一个平面内的两条相交直线的方向向量垂 直.例3.在正方体 ABCD A-i B1C1D1 中，E,F分别是棱AB,BC的 中点，试在棱BBi上找一点M，使得DiM丄平面EFBi .解：建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体 的棱长为 2,则

7、 E(2,1,0)，F(1,2,0)，Di(0,0,2)，Bi(2,2,2).设 M (2, 2, m),贝UBE= (0,1,2),=(2, 2, m 2).丄平面EFB,= 0且 于是-2+2(m-2)=0, m = 1,故取BiB的中点为M就能满足DiM丄平面EFB.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行.点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1面 C1DEA1广P7 C练习：1 在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中, E 是棱 BC 的中AB中，BiC AiB . 求证:则 Ai 23a,a,0)

8、, C(0,0于是b),_3=2 a,扌,0，B(0,_J3A 2 a,i2a,a, b), Bi(0,12a，b , Ci(O,O,O).=(0, a，b),ABC A1B1C12 在正三棱柱ACi Ai B .证明 建立空间直角坐标系 Cixyz,设ABa, CG = b. BiC 丄 AiB,f+严 o,而=；a2-4*2-b2=青-b2=0.即 ACi 丄 AiB.课堂小结 ：1. 用待定系数法求平面法向量的步骤：(1) 建立适当的坐标系.(2) 设平面的法向量为 n= (x, y, z).(3) 求出平面内两个不共线向量的坐标 a =(ai, bi, ci), b= (a2, b2,

9、 C2).(4) 根 据 法 向 量 定 义 建 立 方 程 组 a n= 0b n= 0 .(5) 解方程组,取其中一解,即得平面的 法向量 .2. 平行关系的常用证法=灿证明线面平行可转化为证直线的 方向向量和平面的法向量垂直,然后说明直 线在平面外,证面面平行可转化证两面的法 向量平行.3. 垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量 垂直要证线面垂直，可以转化为证明这条直 线与平面内两条相交直线垂直要证面面垂直，可以转化为证明两个平 面的法向量垂直跟踪练习：一、选择题1. 已知 A（3， 5，2），B（-1，2，1）， 把按向量 a = （2,1,1）平移后所得的向量是 （）

10、A（4，3,0）B（4， 3， 1 ）C（2， 1 ,0）D（2，2,0）答案 B = （-4, 3, 1）.平移后 向量的模和方向是不改变的2 .平面a的一个法向量为（1,2,0），平 面卩的一个法向量为（2, 1,0）,贝V平面a与平面B的位置关系是（）A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确定答案 C解析(120)(2；-1,0)= 0 ,二两法向量垂直，从而两平面也垂直.3从点 A(2, 1,7)沿向量 a= (8,9, 12)的方向取线段长 AB= 34,则B点的坐标 为()A .(9,7,7)B. (18,17, 17)C (9,7,7)D. ( 14, 19,31)答案 B解析

11、，设B (x, y, z),= (x 2, y+1, z 7)=入(8, 9,12),入 0.故 x 2=8 入，y+1=9 入，z 7= 12 入， 又(x 22+ (y+12+ (z 72 = 342,得(17 入)2 = 342,入 0,.入=2.二 x = 18,y =仃,z = 17,即 B (18 , 17 ,17).4.已知 a = (2,4,5),b =(3, x, y)）分别是直线11、I2的方向向量，若I1/ I2,则()A .x6y1515B.x= 3,y= 2C .x3y1515D.x= 6,y= 2答案D解析11 /12, a / b,则有23 =4_ 5x y解方程

12、得x= 6,y=152 .5. 若直线I的方向向量为a= (1,0,2), 平面a的法向量为u = (-2,0，-4),则()A. I II aB. I 丄 aC. I aD. I 与 a斜交答案 B 解析/ u = 2a, a/u,I丄a.二、填空题6. 已知 A(1,1, 1), B(2,3,1),则直线AB 的模为 1 的方向向量是析,1 2 2答案3, 3, 3或=(1, 2, 2),| = 3.模为1的方向向量是土uun|AB|23,7. 已知平面a经过点0(0,0,0),且e=(1,1,1)是a的法向量，M(x, y, z)是平面 a 内任意一点，贝9x, y , z满足的关系式是

13、答案x+ y + z= 0 解析 e= (x , y ,z) (1 , 1 , 1) = x+y+z = 0.8若直线a和b是两条异面直线，它 们的方向向量分别是(1,1,1)和(2 , 3, 2), 则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相 交的直线)的一个方向向量是 .答案 (1,4 , 5)(答案不唯一)解析 设直线a和b的公垂线的一个方 向向量为n= (x , y , z) , a与b的方向向量八 rn ni = 0, 十分别为ni, n2，由题意得nn2 = 0,即:x+ y + z= 0, 2x- 3y 2z= 0.解之得:y = 4x, z= 5x,令 x= 1,则有 n= (1

14、,4, 5).三、解答题9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为2, E、F分别是BBi、DDi的中点，求证：(1)FC II平面ADE;(2)平面 ADEI 平面 B1C1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz,则有 D(0,0,0)、A(2,0,0) , C(0,2,0),C1(0,2,2), E(2,2,1),F(0,0,1), B1(2,2,2)，所以=(0, 2, 1),=(2, 0, 0),= (0, 2, 1) . (1)设n1= (X1 , y1 , Z1)是平面 ADE的法向量,则niuuu口口ni DA 2xi, ni _L，即uuu77ni AE 2yi z

15、i,得x1 :zi 2yi,令 Zi = 2,则 yi =1,所以 ni = (0,1,2).因为 FCni = 2 + 2 = 0,所以FC丄ni. 又因为FG 平面ADE,所以FG /平面ADE.(2)v= (2, 0, 0),设n2 = (x2 , y2 , z 2)是平面BiCiF的一个法0,得得0,2y2,向量.由n2丄uuuun2 FC i 2y2 z2ULULTn2CiBi 2x20,FC,n2丄，得令 Z2= 2 得 y2 = 1，所以 n2 = (0, 1,2), 因为ni = n2,所以平面ADE/平面BiCiF.10.如图，在直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB丄 BC, AB= BC= 2, BBi = 1, E为BBi的中点，求 证：平面AEG丄平面AAiCiC.10.证明：由题建立如图的空间直角坐标系，贝U A(2, 0, 0), Ai(2, 0,1), qo, 2, 0), Ci(0, 2, 1), E(0, 0, i)则