医学数理统计第2章

1、第二章第二章 数理统计的基本知识数理统计的基本知识 在概率论中在概率论中, 随机变量的分布列或者分布函数全随机变量的分布列或者分布函数全我们总是假设它们已我们总是假设它们已 那么，那么，如何知道随机变量的统计规律呢如何知道随机变量的统计规律呢? 即使知即使知 道了其分布规律道了其分布规律, 还需要知道分布中所含的参数还需要知道分布中所含的参数. 都是数理统计要解决的问题都是数理统计要解决的问题. 面描述了随机变量的统计规律面描述了随机变量的统计规律. 知知.引言引言 数理统计概述数理统计概述 这些这些 例例1 如何估计产品的寿命？如何估计产品的寿命？这是工业产品质量管这是工业产品质量管 理中极

2、重要的问题理中极重要的问题. 寿命试验是破坏性试验，寿命试验是破坏性试验，少量产品做试验，少量产品做试验，只能抽取只能抽取为了评价某批电子设备的使用寿命，为了评价某批电子设备的使用寿命，随机抽取了随机抽取了17台做试验，测得寿命数据如下台做试验，测得寿命数据如下 （单位：小时）：（单位：小时）：17，29，50，68，100，130，140，270，280，问：整批电子设备中，寿命超过问：整批电子设备中，寿命超过 200小时的设备小时的设备 回答该问题需要解决下列问题：回答该问题需要解决下列问题：占的比例？占的比例？一一 、寿命分布类型；、寿命分布类型； 二、二、 分布类型中的未知参数分布类型

3、中的未知参数. 例例2 在研究某批灯泡的质量时，假如我们关心在研究某批灯泡的质量时，假如我们关心若把合格品记为若把合格品记为0，不合格，不合格的仅是其质量是否合格的仅是其质量是否合格. 记为记为1，那么所有产品由那么所有产品由0和和1组成组成. 换言之，所有产换言之，所有产 组成的组成的随机变量随机变量 x.品可以看作由品可以看作由0 和和1 若令不合格若令不合格品率为品率为p ，显然，显然 x 是一个是一个分布未知的随机变量分布未知的随机变量. 的任务是：的任务是：对未知参数对未知参数 p进行进行统计推断或估计统计推断或估计. 我们我们 数理统计是数学的一个重要分支数理统计是数学的一个重要分

4、支. .它研究怎样有它研究怎样有340，410，520，620，190，210，800，1100效效地地收集收集整理整理和和分析分析带有随机性带有随机性的数据的数据, 以对所考察以对所考察 提供依据和建议提供依据和建议. 若不考虑随机性若不考虑随机性, , 则是则是统计学统计学的研究范围的研究范围. . 数理统计学的最基本概念是数理统计学的最基本概念是: : 量、量、估计、假设检验、统计决策等估计、假设检验、统计决策等. . 的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行 总体、样本、统计总体、样本、统计 具体做法具体做法: :试验以取得信息然后对

5、得到的信息整理、加工、试验以取得信息然后对得到的信息整理、加工、 提炼提炼从研究的对象的全体中从研究的对象的全体中抽取一部分抽取一部分观测或观测或 从而对整体作出推断从而对整体作出推断. 由于观察或试验是随机现象由于观察或试验是随机现象, , 依据有限个依据有限个观测或观测或试验对整体所作出的推论不可能绝对准确试验对整体所作出的推论不可能绝对准确, 带有不确带有不确 定性，定性，我们我们用概率来表示这种不确定性用概率来表示这种不确定性. 概率大概率大, ,推断推断 就比较可靠就比较可靠; 概率小概率小, 推断就比较不可靠推断就比较不可靠. 这种这种伴随伴随有一定概率的推断有一定概率的推断称为称

6、为统计推断统计推断. 2.1 随机样本随机样本 2.2.1 总体与个体总体与个体 在数理统计中，在数理统计中，把研究对象的把研究对象的全体所组成的集合全体所组成的集合称为称为总体总体， 把组成把组成总体的每个元素称为总体的每个元素称为个体个体. .然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一然而在统计研究中，人们往往关心每个个体的一 项项(或几项或几项) 数量指标数量指标和该数量指标在总体中的分布情和该数量指标在总体中的分布情 况况. 所以，所以，体体具有的具有的数量指标的全体数量指标的全体就是就是总体总体. 每个每个成员成员具有的具有的数量指标就是数量指标就是个体个体. 总体中个体的个数总体中

7、个体的个数容量为有限的总体称为容量为有限的总体称为有限总体有限总体. 容量容量每个每个个个称为称为总体容量总体容量. 为无限的总体称为为无限的总体称为无限总体无限总体.所以，总体所以，总体可以看做是可以看做是某随机变量的取值某随机变量的取值. 随机变量随机变量( (向量向量) )x, y , z,等表示等表示总体总体. . 通常用通常用随机变量随机变量x 的的 分布称为分布称为总体的分布总体的分布. 总体总体x 的分布就完全描述了总体的分布就完全描述了总体 中所研究的数量指标的分布情况中所研究的数量指标的分布情况.2.1.2 样本样本 为推断总体分为推断总体分过程过程称为称为“抽样抽样”，所抽

8、取所抽取的的部分个体部分个体称为称为样本样本，样本样本由于所研究总体的分布情况未知，由于所研究总体的分布情况未知，布及各种特征，布及各种特征，按一定规则从总体中按一定规则从总体中抽取若干个体的抽取若干个体的中所包含的个体数目称为中所包含的个体数目称为样本容量样本容量. 从总体从总体x 中抽取中抽取 的的样本样本常表示为常表示为 x1, x2, xn . 称为取自总体称为取自总体x 的容量的容量 为为n 的样本的样本. 也可以记为也可以记为 ).,(21nxxx),(21nxxx的取值为的取值为 ),(21nxxx称为称为样本观测值样本观测值. 了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑了使

9、抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为 抽样方法抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点它要求抽取的样本满足下面两点（定义）（定义）2.1 定义定义 2.1 设设x 是具有分布函数是具有分布函数f 的随机变量，若的随机变量，若 nxxx,21是具有是具有同一分布函数同一分布函数f 的的相互独立相互独立的随的随 机变量，则称机变量，则称 ),(21nxxx为从总体为从总体x得到的容量为得到的容量为 n 的的简单随机样本，简称样本简单

10、随机样本，简称样本. 样本的联合分布（函数）样本的联合分布（函数）设总体设总体 x 的分布函数为的分布函数为f(x)，则样本，则样本 nxxx,21的联合分布函数为的联合分布函数为 , )(),(121niinnxfxxxf（4.1）称之为称之为样本分布样本分布. 特别地，特别地，若总体若总体x 为离散型随机变量，其概率分布为为离散型随机变量，其概率分布为 , 2, 1),()(ixpxxpiixi 取遍取遍 x 所有可能取值，则样本的概率分布为所有可能取值，则样本的概率分布为 若总体若总体x 为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为f (x), 则样本的密度函数为则样本的

11、密度函数为 . )(),(121niinnxfxxxf（2-3）（2-2）),(2211nnxxxxxxp. )(1niixp2.1.3 统计量统计量 本中所含的本中所含的( (某一方面某一方面) )的信息集中起来的信息集中起来. .由样本值去推断总体情况，由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行需要对样本值进行“加加 工工”，这就要这就要构造一些样本的函数构造一些样本的函数， 样本的函数样本的函数能把样能把样 定义定义2.2 不含任何不含任何未知参数未知参数的样本的样本),(21nxxx的函数的函数 几个常见统计量几个常见统计量 .),(21的一个样本的一个样本为总体为总体设设xxxxn称为

12、样本的称为样本的统计量统计量.),(21nxxxg,1. 11niixnx样本均值样本均值212)(11. 2niixxns样本方差样本方差,)(11212niixnxn.)(1-121niixxns样本标准差样本标准差, 2, 1,11kxnmnikik3. 样本的样本的k 阶阶（原点）（原点）矩矩 .2, 1,)(11kxxnmnikik4. 样本的样本的k中心矩中心矩 ),(21nxxx的观测值的观测值将将),(21nxxx代入以上统计量代入以上统计量就得相应的统计量的观测值就得相应的统计量的观测值.性质性质 2.1 (样本和方差的分布样本和方差的分布)设设x1, x2, xn 是取自正

13、态总体的是取自正态总体的x 样本，样本， 2sx 和和分别为样本均值和样本方差，且分别为样本均值和样本方差，且x 期望和方差分别为期望和方差分别为 ;)() 1 (xe则则,2dxex;)()()2(2nnxdxd.)()()3(22xdse2.2 经验分布与直方图经验分布与直方图 设设 是取自分布函数为是取自分布函数为 的母体中的母体中 ),(21nxxx)(xf的一的一个个简单随机子样的观测值简单随机子样的观测值, 若把子样观测值由小到若把子样观测值由小到,)()2()1(nxxx2.2.1 经验分布函数经验分布函数 大排列得到大排列得到 )1(x这里这里 是子样观测值是子样观测值),(2

14、1nxxx中最小的一个中最小的一个, )(ix是子样观测值中第是子样观测值中第i 个个小的数等小的数等, 则下列函数称为则下列函数称为经验分布函数经验分布函数 是一非减右连续函数是一非减右连续函数, , 且满足且满足)(xfn,0)(nf1)(nf( (子样分布函数子样分布函数).).)()1()()1(1,0)(nkknxxxxxnkxxxf当当当当当当1, 2, 1nk由此可见，由此可见， 是是分布函数分布函数，)(xfn称作称作经验分布函数经验分布函数或或 显然显然,对于每一固定的对于每一固定的x , , )(xfnx是事件是事件 它是一个随机变量它是一个随机变量. .当当n固定时固定时

15、, 由伯努利大数由伯努利大数 只只要要n充分大充分大 发生的发生的 频率频率，定律定律,依概率收敛于依概率收敛于 )(xfn).(xf即对于任意的即对于任意的 , 00)()(limxfxfpnn2.3 抽样分布抽样分布 统计学中泛称统计学中泛称统计量统计量的分布为的分布为抽样分布抽样分布. 为了使用统计量进行统计推断，为了使用统计量进行统计推断，通常需要知道统通常需要知道统 计量的分布，计量的分布，但是一般情况下，但是一般情况下，要求出抽样分布是相要求出抽样分布是相 当困难的当困难的. 下面介绍三种常用的分布下面介绍三种常用的分布. 2.3.1 三种常用的分布三种常用的分布1） 分布分布2设

16、设 是是n个相互独立的随机变量，且个相互独立的随机变量，且 nxxx,21则称统计量则称统计量 ),1, 0( nxi, 2, 1ni22221nxxxx是服从自由度为是服从自由度为n的的 分布，记作分布，记作 2).(2nx其密度函数为其密度函数为 （2-10）0,00,221)(2122yyeynyfynn（其中（其中 表示表示咖玛函数咖玛函数）, ,)(0,d)(01xexx分布密度函数图形分布密度函数图形)(2n.)(2质质分布密度函数的详细性分布密度函数的详细性n相互独立，相互独立，与与且且若若yxnymx),(),() 1 (22).(2nmyx则则.2,),()2(2ndxnex

17、nx则则若若称满足条件称满足条件 xxfnpnnd)()()(222（3） 分布的上分布的上 分位点，分位点，2, 10)(2n的点的点 为为 分布的上分布的上 分位点分位点. )(2n2) t 分布分布 设若随机变量设若随机变量x与与y 相互独立，且有相互独立，且有 )(),1, 0(2nynx则称则称nyxt 为自由度为为自由度为n 的的t 分布，记作分布，记作 ).(nttt t 分布又称分布又称学生学生分布的概率密度函数为分布的概率密度函数为)(ntxnxnnnnxtn,1221);(212氏氏(student)分布分布.t 分布的密度函数如下图分布的密度函数如下图 显然图形是关于显然

18、图形是关于t =0对称的，对称的，当当n充分大时，其图充分大时，其图 ,21)(lim22xnext.) 1, 0(,分布相差很大分布相差很大分布与分布与但对于较小的但对于较小的ntn当当n很大时很大时t 分布近似标准正态分布近似标准正态分布分布n(0, 1)形类似于标准正态变量概率密度的图形形类似于标准正态变量概率密度的图形. 因为因为 称满足条件称满足条件 xxfnttpntnd)()()(t 分布的上分布的上 分位点，分位点，, 10)(nt的点的点 为为 分布的上分布的上 分位点分位点. )(nt)(),(2212nvnu设设21nvnuf 3）f 分布分布 且且u与与v 相互独立，则

19、称相互独立，则称统计量统计量服从自由度为服从自由度为(n1, n2)的的f 分布，记为分布，记为 ).,(21nnff 0001)()()()(),;(222212xxxxnmxfnmnmnmnmnmnmmf分布的密度函数为分布的密度函数为称满足条件称满足条件 xxfnnffpnnfnd)(),(),(2121f分布的上分布的上 分位点，分位点，, 10),(21nnf的点的点 为为 分布的上分布的上 分位点分位点. ),(21nnf由由f 的定义可见，的定义可见，),(121nnf).,(12nnf所以所以f 分布的上分布的上 分位点，有下列性质：分位点，有下列性质：),(121nnf),(

20、121nnf2.3.2 来自正态总体的常用统计量的分布来自正态总体的常用统计量的分布 1）来自单一正态总体）来自单一正态总体 的统计量的分布的统计量的分布 ),(2n),(2n2sx 和和分别为样本均值和样本方差，则有分别为样本均值和样本方差，则有 ),() 1 (2nnx) 1, 0( nnx即即定理定理2.1 设设x1, x2, xn 是取自正态总体的是取自正态总体的的样本，的样本，);1() 1()2(222nsn.)4(2相相互互独独立立和和 sx);1()3(ntnsx2）来自两个正态总体）来自两个正态总体 ),(),(22nn的统计量的统计量 的分布的分布定理定理 2 .2 (两总体样本均值与样本方差的分布两总体样本均值与样本方差的分布) ，设设),(),(2221nynxyx 和和分别是这两个样本的样本均值，分别是这两个样本的样本均值，是取自是取自x 的样本的样本, ,是取自是取自y 且且 x与与y 独立独立, ),(121nxxx),(221nyyy的样本，的样本，和和21s22s分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差, , 则有则有) 1, 0()() 1 (22212121nnnyx) 1, 1()2(2122212221nnfssf时，时，当当22121)3().2(11)(212121nntnnsyxt.2121222