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文档简介

1、第九节 同态基本定理与同构定理重点、难点：同态基本定理，满同态与子群的关系.一 同态基本定理前几节是研究一些定量的东西，下面我们来研究一些定性的东西.本节中的同态基本定理是群论中的研究基础.定理2.9.1 一个群与它的每一个商群同态.证 令显然是到的满射.，故是一个满同态.注1 定理2.9.1中的称为自然同态；注2 自然同态一定是满同态.利用子群来研究群本身，任意给定一个不变子群 ，有两个可以供我们参考的群：和，由于，故更容易推测的性质.自然会问：定理2.9.1的逆命题是否成立？即，是否与的某个商群是同构的呢？我们说是对的.首先有一个概念.定义2.9.1 设为一个群同态.为的单位元,集合称为同

2、态映射的核.注1 未必要求为满射，但本书中同态均为满同态；注2 一个同态是单同态.推论2.9.2 设是的自然同态，则.证 由于的单位元是，则.定理2.9.3 （同态基本定理）设是群到群的一个同态满射，则 (1)；(2).证 (1)由于.则为的单位元.则即.又由于，即.(2)令.下证为一个同构映射：()为映射：() 为满射：使得() 为单射：，则() 为一个同态：，则.综上所述，.注 一般地，设为一个群同态，则我们知道，群在一个群的满同态映射之下，一个群的若干性质会发生改变的，下面讨论哪些性质不发生变化.定义2.9.2 设为集合之间的一个满射.(1) 设，记称为子集在之下的像；(2)设，记称为子集在之下的逆像（或后像）.注 一个不能多且一个不能少！定理2.9.4 设是一个群之间的同态满射，() 则；() 则；() 则；() 则.证 ().，故.() 则 .从而，故.()由.（）即.()则故.注第()条不需要用道为满射.由()可知.二 同构定理第一同构定理 设为群同态，则第二同构定理（方块定理）且有.第三同构定理（分式定理） 设，则（） .第四同构定理（对应定理） 设为群的满同态，则 ；且正规子群对

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