二自适应控制理论基础

1、自适应控制理论基础_李雅普洛夫稳定性理论二 动态系统的正实性超稳定性理论L李雅普洛夫意义下的稳定性L李雅普洛夫意义下的稳定性1.李雅普洛夫意义下的稳定性2李雅普洛夫第一法L李雅普洛夫意义下的稳定性L李雅普洛夫意义下的稳定性3. 李雅普洛夫第二法4. 线性定常系统李雅普洛夫稳定性分析X =.平衡状态满足 Xe =/Oe，f）= 即兀不再随时间变化对线性定常系统：x = Ax 其平衡状态满足Ajc j = 0当A非奇异，只有唯一零解（即零状态）； 当A奇异，有无穷多个平衡点。对非线性系统，可能有一个或多个平衡状态。李雅普洛夫意义下的稳定性对平衡状态兀j初始状态兀0， 卜0-兀II 5 5，t =

2、t0 若对任意规定&在过程中, 满足：垃;皿0)兀卜6 tt0则平衡点xe是在李雅普洛夫意 义下是稳定的。 与有关，通常也与心有关。如果/与(0无关，则为一致稳定。渐近稳定S（v）sX、/xQ 设平衡点七是在李雅普洛夫意义下是稳定的，同时满足lim|卜 0;乂0“0）一乂I = t OO 111 1则称该平衡状态是渐近稳定的。L李雅普洛夫意义下的稳定性大范围（全局）渐近稳定当初始条件扩展至整个状态空间，平衡状态 均具有渐近稳定性，称为大范围（全局）渐 近稳定。对线性系统，如果是渐近稳定的，则必定是 大范围渐近稳定的。非线性系统的稳定性往往与初始条件有关。不稳定性如果对于某个实数&0和任一实数5

3、 0,不管其多么小，在S（5）内总存在一个状态兀,使得由该状 态出发的轨迹超出S（），则平衡状态称为是不稳12定的O3.李雅普洛夫第二法利用状态方程的解的特性来判断系统稳定性，即间接法。定理1对线性定常系统x =Ax. x(0) = x0, t0,有:系统的每一平衡状态是在李雅普洛夫意义下稳定的充要条件为：A的所有特征值均具有非正实部，且具有零实 部的特征值为单根;系统的唯一平衡状态兀尸0是渐近稳定的充要条件为：A 的所有特征值均具有负实部。又称直接法，引入一个能量函数（即李雅普洛夫函数），利用该函数及其导数函数的符号特征直 接对平衡状态的稳定性做出判断。能量函数总大于零；对稳定系统，能量函数

4、具有衰减特性，即能量函数 的导数应小于零。李雅普洛夫第二法定理2对连续时间非线性时变自由系统x = f(x,t), tt0其+/(o,o = 0为系统的平衡状态。如果存在一个对兀和t具有连续一阶偏导数的标量函数只卯)，V(0/ ) = 0,且满足如下条件: V(兀/)正定且有界，即有Vx.t)a x| 0 Vg)对时间/的导数负定且有界，即V(x)-faJ oo则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。定理3对定常系统x = /(x), t0其中/(0) = 0,如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数V(x)，V(0) = 0,对于状态空间的一切非零兀满足:只兀)为正定的;只兀)的导数为负定的

5、；当制 时，则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的O定理4对定常系统x = /(x),t0其中/(0) = 0,如果存在一个具有连续一阶导数的标量函数玖r)，V(0) = 0,对于状态空间的一切非零兀满足: V(Q为正定的； V(x)的导数为半负定的；对任意 x e X, V(x(; x0,0) 不恒为 0 ;当拥 Too 时，V(X)OO则系统原点平衡状态为大范围一致渐近稳定的。定理5 (系统不稳定判定) 对时变或定常系统,如果存在一个具有连续一阶(偏)导数的标量函数 V(x9t或畑,(其中V(O,Z) = 0, V(0) = 0),对于状态空 间中围绕原点的某个域的一切兀和一切/ 岛满足

6、：只兀)正定且有界，或V(x)为正定的;-V(x/)对时间/的导数正定且有界，V(x)的导数为正定的;则系统平衡状态为不稳定。李雅普洛夫第二法举例【例1】设系统状态方程为Xx =_X(彳 +兀；)x2 = -X -x2(xf +xf)【解】显然，原点为系统的唯一平衡状态选一正定的标量函数V (jv) = jVj2 + jvj沿任意轨迹V(x)对时间的导数V (x) = 2xxxx + 2x2x2 = 2(彳 +x|)2当 |卜| 时，V(兀)8故系统在原点处是大范围渐近稳定的O即为负定的【例2】设系统状态方程为Xy 兀？%2 = X) (1 + 勺 “2【解】显然，原点为系统的唯一平祈状态选一

7、正定的标量函数 玖r)对时间的导数为半负定 检验V(x(;xO9O) 是否不恒为0 当制时，V(X) 00故系统在原点处是大范围渐近稳定的。线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析4线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析线性定常连续系统渐近稳定性的判定对系统 x-Ax, x(0) = x0, tQ,选择一正定二次型函数 卩(兀)= xTpxP为正定对称矩阵贝U有 V(x) = x1 Px-xPx = x7 (AyP + PA)x令 atp+pa= -q贝 U V(x) = -x1 Qx只要矩阵0正定，则系统是大范围渐近稳定的。定理6对线性定常系统x = Ax其渐近稳定的充要条件为：存在一个正定对称矩阵P

8、,使得由ATP+PA= - Q所确 定矩阵0为正定矩阵。其中，xTPx即为系统的一个Liyapunov函数。定理7对上述线性定常系统，其渐近稳定的充要条件为: 对于任意给定的正定矩阵Q,存在唯一的正定对称 矩阵F,使ATP+PA= - Q成立。线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析16线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析【例2】设系统状态方程为:求系统的Liyapunov函数1【解】设P =AiP21Pn 0_上L21 Pl2P22则由ATP+PA= - Q可解得Ai51616916线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析然，为正定矩阵V（x） = xTPx =5166

9、616 16彳+吕兀2正定线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析 1 1负定V（x） = -x1x1+-（x1 +兀2）（无1 + 无2） 2 8=2xlx2 _（兀+x2）2 = _（彳 +x;）,故系统渐近稳定线性定常系统的李雅普洛夫稳定性分析线性定常离散系统渐近稳定性的判定 设线性定常离散系统状态方程为：x(k +1) = 0x()，兀(0)=兀，k = 02 取正定二次型函数V(x(k) = xT(k)Px(k)则有 AV(x()= V(x(k +1)- V(x(k)=xT (k + l)Px(k + 1)- xT(k)Px(k)= 0x (k)Y Px(k) xT (k)Px 伙)令T

10、p一 p =Q则 #()= -xT(k)Qx(k)定理8 对上述线性定常离散系统，其渐近稳定 的充要条件为：对于任意给定的正定矩阵Q,存在唯一的 正定对称矩阵P,使-尸成立。相关概念及分析求解方法同连续系统1.正实函数与正实矩阵1. 正实函数与正实矩阵2. 正定积分核3. 线性定常连续系统的正实性4. 线性定常离散系统的正实性定义1(正实函数)复变量s = a+jco的有理函数 /r(s)若满足：当$为实数时，h(s)是实的;对于所有Re s 0 的 $ , Re/i(s) = 0;则称为正实函数。正实函数与正实矩阵定义2（正实函数）复变量s = a+jco的有理函数恥）若满 足：当s为实数时

11、，仇是实的;%在右半开平面Re s 0上没有极点;仇在虚轴上如果存在极点，则是相异的（即无重极 点），且其留数为正或零；对于任意实数少，当2购不是做勖的极点时，有Re也儈 ）=0;则血称为正实函数。定义3（严格正实函数）复变量s =叶沟的有 理函数A若满足：当为实数时，沧是实的；沧在右半闭平面Re$0上没有极点；对于任意实数少，均有Re他贝仏称为严格正实函数。严格正实函数在虚轴上无极点。正实函数举例【例1】W(s) = -,a0s + aW(s)极点为 s= -a、 0,且”(M) =a- ja22a +a)故W(s)为严格正实的。【例2】1W(s)=，a0 0, a】0s +as + a0（

12、a。 G）可以验证，W(s)在右半平面无极点， 叫)二亠害牛)+(。1力)昭叭何严2)2+如)2aQ-co2可知，当少20时，Reh(j(o) = b./al时，Re/i(加)0，W(s)为严格正实函数 当久v%/时W(s)不是正实函数正实函数矩阵正实函数矩阵定理1设JiG) = M(s)/Ns) 9如满足:MG）与NG）都具有实系数; MG）与NG）都是古尔维茨多项式; M（$）与粼s）的阶数之差不超过1; 1/血糾仍为正实函数；则仇为正实函数。定义4 （Hermite矩阵）复变量s = a+ja）的矩阵函数HG）若满足：日（巧=日气可，M为S的共純 则H（s）为Hermite矩阵。 Her

13、mite矩阵的性质:为一方阵，且对角元素为实数;其特征值恒为实数;如果H（s）为Hermite矩阵，兀为具有复数分量的向量,则以下二次型函数恒为实数:xtHx ,无为兀的共瓠定义5(正实函数矩阵)复变量2 X加维实有理函数矩阵H(s)为正实函数矩阵，则应满足:H(s)的所有元在右半开平面上都是解析的，即在Res 0上H(s)没有极点; HG)的任何元在虚轴上如存在极点，则是相异的，其 留数矩阵为半正定H ermite矩阵；对于非HG)的任何元的极点的所有实少值，矩阵H(jco)+ H丁少)为半正定Hermite矩阵；定义6（严格正实函数矩阵）复变量加x加维实 有理函数矩阵H&）为严格正实函数矩

14、阵，则 应满足： HG）的所有元在右半开平面上都是解析的， 即在Re s 0上H（s）没有极点；对于所有实少值，矩阵H7灯）为正定Hermite 矩阵。2. 正定积分核定义 如果对于每个区间如如及在区间上分段 连续的所有向量函数/ (/),方阵KC, 17)使下式成立, 即di)= C八呱 K(t, r)f(T)dTdt 0, .(1)则K仏巧称为正定积分核。正定积分核正定积分核的物理解释 f K（t.T）f（T）dT 可理解为系统脉冲传递函数为 K（t, T）.输入为/的系统输出，故不等式（1）的左端可解释为系统输入输出内积的积分;当正定时，该积分值为正或零。正定积分核的充要条件对存在拉氏变

15、换的一类核- r）是正定核的充要 条件为：其拉氏变换式是S的正实传递函数矩阵。3. 线性定常连续系统的正实性对线性定常连续系统(1)x = Ax+Buy = Cx + Du其屯（A5）完全可控，（4C）完全可观测其传递函数矩阵为然，HG）为s的实有理函数矩阵。如果HG）为正实函数矩阵，则系统（1）称为正实的。线性定常连续系统的正实性定理 2 （ Kalman -Yacubovic- Popov正实引理） 对线性定常连续系统（1）,系统为正实，即为正实 函数矩阵的充要条件是：存在实矩阵K. L和实正定对称矩阵B 满足:PA+A1 P = -Ll! . B1 P+KJl! =C. K1 K = D

16、 + D!其中，当 PA+ATP= -LLr-g,Jlg = er08t,贝UH（s） 为严格正实函数矩阵，即系统（1）是严格正实的。定理的【说明】上述关系在0 = 0时也同样成立。即在0 = 0时，如 上述关系满足，则连续系统的传函是正实的或严 格正实的。因e0,故即使1 = 0,作为充分条件，上述关系 式同样成立，并可简化为：ATP + PA= -QBTP = C线性定常连续系统的正实性举例【例】求以下函数为严格正实的条件s +as + a0月/($)的极点位于左半平面4. 线性定常离散系统的正实性离散正实函数在离散系统中，脉冲传递函数为/l(z) z与S的对应关系离散正实函数定义如果对|

17、 z | = 1的所有z,有Re h(z) =0,则方(z)是 正实的。并且，如果有使血血)为正实的0 p= 0o定理4 /i(z)是严格正实的充要条件为:血在Z平面单位圆外和单位圆上均无极点;对于Z =册的所有少，均有Re h(ej(0) = 0。关于粼幼正实性判定的说明 h(z)是s的超越函数，要计算Re方0) = 0 一般非 常复杂；考虑到s与z的一些基本对应关系，通过引入一个 双线性变换1 + W Z = 11 W就可应用连续正实函数判定方法。恥)正实性判定举例()对线性定常离散系统x(k +1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cxk) +(2)且(AB)完全可控，(AC

18、)完全可观。其传递函数矩阵为然，H(z)为z的实有理函数矩阵。如果H(z)为正实函数矩阵，则系统(1)称为正实的。离散正实矩阵定义1称H(z)为正实的，如果 H(z)的所有元在单位圆外是解析的，即在单位圆外无极点;在单位圆上，H(z)的任何元均无重极点，相应的留数矩阵为半正定的Hermite矩阵; H(z)在除单位圆上的极点外的所有少，矩阵H(z) + HT(z) = H(严)+ HTejco) 是半正定的Hermite矩阵定义2称H(z)为严格正实的，如果: H(z)的所有元在单位圆外是解析的;对所有少，矩阵W) + Hr(z) = H(宀 + H1 (严)是正定的Hermite矩阵。离散正

19、定矩阵核.定义 设F俄丿)是离散矩阵核，如果对于每个区间 囱火J,以及区间上有界的所有离散向量f(Q,均有士厂kxk0 1=心l=k则称F(k, I)为离散正定矩阵核。对于存在z变换的一类离散核卩仗-0 ,它是离散正 定矩阵核的充要条件为其Z变换是一个正实函数矩 阵。定理5 (离散系统正实引理)对线性定常离散 系统(2),系统为正实，即Hfz)为正实函数矩阵的 充要条件是：存在实矩阵K. L和实正定对称矩阵几满足ATPA-P = -LlJ-Q btpa+ktiI 二 c btpb+ktk = d+dt其中，0 = 00时，则HG)为严格正实函数矩，即系统 (2)是严格正实的。关于定理5的说明在

20、上述关系式中，一般均有7卩0，因而不允许 n=o0故对于离散系统，如果q = o,则系统将不是 正实的。因P0、g0,故即使K = 0、 = 0,作为充分条件，上述关系式同样成立，并可简化为：ATPA _ F = _ BTPA = CBTPB =D+DT线性定常离散系统的正实性举例g= 2于 +勺 + Z +。忆 +。01已知，且/z(z)的极点位于单位圆内。三超稳定性理论L绝对稳定性问题2.超稳定概念X连续系统的超稳定性銀离散系统的超稳定性衣超稳定方块1绝对稳定性问题绝对稳定性问题（针对一类非线性反馈系统）前向通道（方块）：线性定常系统反馈通道（方块）：无惯性（或时变的）非线性环节反馈通道的

21、输出为：W =(p(v)且有0 v(p(v) = wv 0, t0Jto或 rfgtj = 1 wr（T）v（r）6/r -沽 tx t0 %将满足Popov积分不等式条件的稳定性问题称为超 稳定性问题，超稳定性问题是绝对稳定性问题的推 广。超爲急定概I念对于由线性定常前向方块和非线性时变反馈方块组成的系统设线性方块为x = Ax + Bu y = Cx + Du(1)其中，(A,B)完全可控，(A,C)完全可观测反馈方块为：w =(p(v)77(loi)= f1 (r)v(r)dr -(2)Jt0定义1对上述反馈系统，如果式(1)的解满足卜( 卜 K(卜仏)| +%), tt0, K0 则系统是超稳定的。定义2对上述反馈系统，如果系统是超稳定的，- 对有界w(t),有limx(Z)= 0ts则系统是渐近超稳定的。3.连续系统的超稳定性定理1对上述由线性方块与满足Popov积分 不等式的非线性反馈方块组成的反馈系统， 其（渐近）超稳定的充要条件是其线性方块 的传递函数矩阵：是（严格）正实的。4.离散系统的超稳定性对离散系统前向线性方块：兀伙+ 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k)+Du(k)(3)且完全可控，(4,C)完全可观。反馈方块为:w(k) = 0(匕 k.l). klf N、且 r/(k0,kN wT (k