方差与协方差PPT学习教案

1、会计学1方差与协方差方差与协方差 为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量随机变量在其中心 (即均值) 附近取值的离散程度(或集中程度). 这个数字特征就是: 方差. 再如: 考察某车床加工轴承的质量时, 若最关键的指标为长度, 则不但要注意轴承的平均长度, 同时还要考虑轴承长度与平均长度的偏离程度 (即加工的精度); 等等.我们该用怎样的量去度量这种偏离程度呢? X E(X) ? E X E(X) ? E | X E(X) | ?E X E(X) 2 第1页/共22页 一、方差( variance )的定义随机变量 X 的平方偏差 X E(X) 2 的均值 )(2XEXE 记作)(XD或 V

2、ar ( X ) ,叫做 X 的方差.而)(XD记作)(X X 或或 叫做 X 的标准差或均方差. 方差刻划了随机变量取值的离散程度:若 X 的取值比较集中, 则方差较小；若 X 的取值比较分散, 则方差较大 .第2页/共22页如: 据以往记录, 甲乙两射手命中环数 X、Y 的分布律为 X 6 7 8 9 10P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1Y 6 7 8 9 10P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2及可以算出:)(XE1 . 0102 . 094 . 082 . 071 . 06 , 0 . 8 , 0 . 8)( YE两人命中环数的平均水平相同, 从中看不出两人射击技术的高

3、低;但 )()(2XEXEXD 1 . 0)2(2 2 . 0)1(2 4 . 002 2 . 012 1 . 022 , 2 . 1 , 0 . 2)( YD说明甲的命中环数比乙的更集中, 即甲的射击技术比乙的稳定.第3页/共22页二. 方差的简化计算公式 )(XD)(2XE2)(XE 即: 方差等于 平方的期望 减 期望的平方.证明:)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE .)()(22XEXE 第4页/共22页例: 设 X 的概率密度为 ., 0,10,)(其它其它xbxaxf且 D( X ) = 1/18, 求 a, b 及 E(

4、X ).而解:由归一性得 xxfxXEd)()( 10d)(xbxax xxfd)( 10d)(xbxaba 2, 1令令 ,23ba xxfxXEd)()(22 102d)(xbxax34ba 故22)()()(XEXEXD 223 baba22 36222bb ,181令令 解得 b = 0, a = 2, E( X ) = 2/3,34ba 或b = 2, a = 2, E( X ) = 1/3 .第5页/共22页例:设 (X, Y) 的概率密度为 ., 0, 10,8),(其它其它yxyxyxf试求 D( X ), D( Y ) . 解: )(XE 101d8dxyyxxx,158 y

5、xyxfxdd),(,31 )(2XE 1012d8dxyyxxx22)()()(XEXEXD ,22511 )(YE 101d8dxyyxyx,54 )(2YE 1012d8dxyyxyx,32 22)()()(YEYEYD .752 xy01y=x第6页/共22页三. 常见分布的期望与方差(3),2)(baXE 则,),(baUX(2)则,)(P X,)( XE(1)则,),(pnBX,)(pnXE (4)则 , )( eX,/1)( XE(5), ),(2 NX则 ,)( XE.)(pqnXD .)( XD.12)()(2abXD ./1)(2 XD.)(2 XD第7页/共22页四. 方

6、差的性质(1) 对任意常数 k 与 c 有: D( k X + c ) = k 2 D(X).(2) 设 X 与 Y 相互独立, 则 进一步, 若 X1 , , Xn 相互独立, 则对任意常数 c1 , cn 有: D(X+Y) = D(X) + D(Y), D(XY) = D(X) + D(Y). D( c1 X1+ + cn Xn ) = c12 D( X1 ) + + cn2 D( Xn ).(3) D(X) = 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C , 即 PX = C = 1 . 第8页/共22页例:则,),(pnBX,)(pnXE .)(pqnXD 解: X 表示 n 重伯

7、努利试验中 “成功”的次数, p为每次试验成功的概率, 则 X B(n, p);引入 iX1, 若第 i 次试验成功,0, 若第 i 次试验失败. i =1, 2, , n,则 X1 , X2 , Xn 相互独立, 且,1 niiXX而 Xi 的分布律为 Xi 0 1 P q p故 E( Xi ) = p , E( Xi2 ) = p , D( Xi ) = E( Xi2 ) E( Xi )2 = p q ,从而 niiXEXE1)()(,np niiXDXD1)()(.npq 第9页/共22页例: 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布, 若), 2 , 1(),(2niNXiii 且

8、它们相互独立, 则),(12211 niiiniiiniiiccNXc 解:)(1 niiiXcE niiiXEc1)(,1 niiic )(1 niiiXcD niiiXDc12)(.122 niiic 第10页/共22页五. 随机变量的标准化 设 X 具有)()(XDXEXY 为 X 的标准化随机变量.E( Y ) = 0,D( Y ) = 1. 则叫,)( XE,0)(2 XD X第11页/共22页六. 切比雪夫(Chebyshev)不等式 对 X, 若 E( X ), D( X ) 都存在, 则对2)(| )(| XDXEXP 有有0 或.)(1| )(| 2 XDXEXP (1) 方

9、差确实能衡量随机变量取值的离散程度.(2) 该不等式能在 X 的分布未知的情况下对| )(| XEX的概率的下限作一估计, 若记,)( XE,)(2 XD则3| XP,9/8 等等. 第12页/共22页 一、协方差随机变量 X 和 Y 的协方差 ),(CovYX 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差, 对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中, 最重要的就是协方差和相关系数.)()(YEYXEX E3 协方差(Covariance)和相关系数1. 定义:第13页/共22页(1) Cov( X, Y )= Cov( Y, X )(2) Cov( a X, b Y ) = a b Cov(

10、 X, Y ) , a, b 是常数(3) Cov( X1 + X2 , Y )= Cov( X1 , Y ) + Cov( X2 , Y ) 2. 简单性质:3. 协方差的简化计算公式: Cov( X, Y ) = E( X Y ) E( X ) E( Y )可见，若 X 与 Y 独立, 则 Cov( X, Y ) = 0 .4. 随机变量和的方差与协方差的关系 D ( X+Y )= D( X ) + D( Y ) + 2Cov( X, Y )第14页/共22页二、相关系数1. 定义: 设 D( X ) 0, D( Y ) 0, 称)()(),(CovYDXDYXYX 为随机变量 X 和Y

11、的相关系数.注: 相关系数也叫标准协方差, 其实是标准化随机变量)()(XDXEX )()(YDYEY 的协方差. YX 与第15页/共22页1|)1( YX 2. 相关系数的性质:1|)2( YX 存在常数a, b 使, 1 bXaYP即 X 和 Y 以概率 1 线性相关.可见相关系数刻划了 X 和 Y 间“线性相关”的程度.的值越接近于 1, Y 与 X 的线性相关程度越高;|YX |YX 的值越接近于 0, Y 与 X 的线性相关程度越弱;则 Y 与 X 有严格线性关系;若, 1| YX 若, 0| YX 则Y 与X 无线性关系, 叫做 X 与Y 不相关.第16页/共22页注意:若 X

12、与 Y 独立, 则 Cov(X, Y) = E(XY )E(X )E(Y ) = 0, 但由 X 与 Y 不相关, 不一定能推出 X 与 Y 独立.而对下述情形, 独立与不相关等价:若 (X, Y) 服从二维正态分布, 则X 与 Y 独立X 与 Y 不相关.从而 X 与 Y 不相关; ,0)()(),(Cov YDXDYXYX 第17页/共22页例: 设 X 在 (1/2, 1/2)内服从均匀分布, 而 Y = cos X , 试考察 X 与 Y 的相关性及独立性?解:而 Y 与 X 有严格的函数关系,因此 ., 0, 5 . 05 . 0, 1)(其它其它xxfX, 0)( XE)(YE x

13、xfxXd)(cos)(cos XE 5 . 05 . 0dcosxx,21sin2 )(YXE)cos(XXE 5 . 05 . 0dcosxxx, 0 Cov( X, Y ) = E( X Y ) E( X ) E( Y ) = 0,0)()(),(Cov YDXDYXYX 故 X 和 Y 不相关 .即 X 和 Y 不独立 .第18页/共22页 一、矩为 X 的 k 阶原点矩,可见: X 的期望是 X 的 1 阶原点矩; 在随机变量的数字特征中, 更一般的是矩. 4 矩、协方差矩阵)(kXE为 X 的 k 阶中心矩,)( kXEXE 为 X 和 Y 的 k + l 阶混合原点矩, )(lk

14、YXE 为 X 和 Y 的 k + l 阶混合中心矩.)()( lkYEYXEXE X 的方差是X 的 2 阶中心矩; X 和 Y 的协方差是 X 和 Y 的 2 阶混合中心矩.第19页/共22页二、协方差矩阵 对 n 维随机变量 ( X1 , X2 , Xn ), 称矩阵为( X1, X2, Xn ) 的 协方差矩阵.因对所有 i, j 成立 ci j = cj i , , ),(CovjijiXXc 记 nnnnnncccccccccC212222111211 i, j = 1, 2, n, 故 C T = C , C 为对称矩阵. 引入( X1, X2, Xn ) 的协方差矩阵, 可更好地处理多维随机变量. 第20页/共22页比如, 我们可从二维正态随机变量的概率密度推广出 n 维正态随机变量的概