传感器、检测系统的基本特性new2

1、传感器技术基础理想传感器和误差传感器静态特性非线性传感器的静态特性评价传感器的动态特性传感器的其他特性要求传感器的标定与校准*传感器的选用程式理想传感器的特点理想传感器的特点1。传感器的输出量只对特定输入量敏感；2。传感器的输出量与输入量呈惟一、稳定的对应关系，最好为线性关系；3。传感器的输出量可实时反映输入量的变化。 实际中传感器是在特定的、具体的环境中使用，其结构、元器件、电路系统以及各种环境因素均可能影响传感器的整体性能。1. 理想传感器和误差理想传感器和误差外界影响传感器误差因素冲击振动温度电磁场供电输入输出线性滞后重复性灵敏度各种环境干扰稳定性的因素温漂零点漂移分辨率影响传感器性能的

2、因素传感器的误差传感器的误差：通过传感器得到的测量值与被测量真值之差。传感器的误差来源传感器的误差来源：1)介入误差 源于敏感元件的介入对被测系统的环境造成影响。2)应用误差 源于使用者对具体传感器原理的认识不足或设计缺陷。3)特性参数误差源于传感器本身的特性参数。传感器生产者和用户考虑得最多的误差。4)动态误差 源于被测参数变化时传感器反应滞后5)环境误差各种环境参数变化均可能带来误差一静态模型静态模型 静态时，可分析非线性系统，即有：x 输入量；y 输出量；a0 传感器的零位误差；a1 传感器的灵敏度，常用K或S表示。a2,a3,an待定常数（非线性项的系数）。nnxaxaay102.1

3、数学模型 2. 传感器静态的特性xbdtdxbdtxdbdtxdbyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn0111101111二动态模型动态模型 传感器动态分析常用的数学模型有时域的微分方程、对应的频域的传递函数、频率响应函数以及状态方程。 由于线性系统的特点（叠加性、频率保持性），动态时，只分析线性系统，采用微分方程描述传感器特性，有：最理想的特性，益处：大大简化传感器的理论分析、计算，方便标定和数据处理，避免非线性补偿环节，便于后续制作、调试和提高精度。(a)(b)(c)2.2 静态特性与指标 一线性度线性度(linearity,非线性误差非线性误差) 表征测量系统输入-

4、输出标定标定曲线与所选定的拟合直线（作为工作直线）之间的吻合（或偏离）程度。 由于所选定的拟合直线不同，计算所得的线性度数值也不同。选择拟合直线应保证获得尽量小的非线性误差，并考虑使用与计算方便。 常用拟合方法常用拟合方法1)理论线性度理论线性度： 以系统的理论特性作为拟合直线，它与实际测试值无关。优点: 简单方便，但通常估算值偏大。 非线性误差： 线性度常用引用误差表示：式中， 输出平均值曲线与基准拟合直线间的最大误差； 理论满量程输出值。*标定？理论特性实际特性.SFyyxOmaxLmaxLeL%100.maxSFnLyLrmaxL.SFy2)端基线性度端基线性度 把校准数据的零点输出平均

5、值零点输出平均值和满量程输出平满量程输出平均值均值连成直线，作为拟合直线，这时可求得端基线性度式中， 为满量程输出平均值； 为零点输出平均值。 特点:3)最小二乘线性度最小二乘线性度 按最小二乘法原理求拟合直线，该直线能保证与检测校准数据的偏差（残差）平方和最小。 设拟合直线方程为： 得偏差： i=1,2,n.（n为测试点数。） 直线拟合的原则是：应使 为最小值。所以由 分别对k和b求一阶导数，并令其为0，即可求得k和b。 拟合直线yxOmaxL0y.SFy图 端基线性度%1000.maxyyLrSFnL.SFy0ykxbyiiikxbyvniiv12niiv12最小二乘拟合直线yxOmaxL

6、0y.SFy图 最小二乘线性度具体方法：由式（1），（2）化简得（3）n，（4） 得02112niiiiniixbkxyvk012112niiiniibkxyvb01121niiniiniiixbxkxy011nbxkyniiniiniix101121niiniiniiixnbxnkyxn012111niiniiniiniixnbxkxy（1）（2） （3）（4） （5） （6） （5）-（6）得（3） ，（4） 得（7）-（8）得2112111niiniiniiniiniiixxnyxyxnk02111211niiniiniiniiniiixbxxkxxy012121121niiniinii

7、niiniixnbxxkxy211211112niiniiniiiniiniiniixxnyxxyxbniix1niix12（7） （8） 此外，拟合直线的斜率k和截距b也可由以下二式求得：式中 ， （推导从略）特点：最小二乘法拟合精度高，在数据较多的情况下，可由计算机处理。但采用最小二乘法，拟合直线与标定曲线的最大偏差绝对值不一定最小，最大正负偏差的绝对值也不一定相等 。例：图中最小二乘拟合直线偏低，使 ，从而使估计值偏大。也可能使得在大部分区域与实际特性偏离较多。niiniiixxyyxxk121xkybniixnx11niiyny11maxmaxLL最小二乘拟合直线yxOmaxLmaxL

8、4)最佳直线线性度（独立线性度）： 以“最佳直线”作为拟合直线，该直线能保证传感器正反行程校准曲线对它的正负偏差相等并且最小。图中： 显然，这种方法的拟合精度最高。通常情况下，“最佳直线”可用图解法或通过计算机解算来获得。 当标定曲线（或平均校准曲线）为单调曲线，且测量上、下限处的正、反行程校准数据的算术平均值相等时，“最佳直线”可采用端点连线平移来获得，有时称该法为端点平行线法：maxmaxLL拟合直线yxOmaxLmaxL拟合直线yxOmaxLmaxL图 最佳直线线性度端点平行线法二迟滞二迟滞（Hysteresis）误差误差（回差） 传感器或检测装置的输入量由小增大（正行程），继而自大减小

9、（反行程）的测试过程中，对应于同一输入量，输出量往往有差别，这种现象称为迟滞。 迟滞是由于装置内的弹性元件、磁性元件以及机械部分的摩擦、间隙、积塞灰尘等原因而产生。迟滞大小常用全量程中最大迟滞 与满量程输出平均值 之比的百分数（引用误差）表示：式中， 为输出值在正反行程中的最大差值。%100.maxSFnHyHrmaxHmaxH.SFyyxOmaxH迟滞误差三重复性三重复性（Repeatability）误差误差(最大引用随机不确定度) 在多次重复测试时，在同是正行程或同是反行程中，对应于同一输入量的输出量不相同。 重复性是衡量检测装置在同一工作条件下，输入量按同一方向作全量程连续多次变动时，所

10、得特性曲线间一致程度的指标。 由于重复性误差为随机误差，可定义如下：式中 为重复性误差； 各测量点极限误差的最大值 全部校准点正行程与反行程输出值的标准偏差中之最大值； k 置信系数。说明：在校准时，若有m个校准点，正反行程共可求得2m个，应取其中最大的 ，计算重复性误差。%100%100.max.maxSFSFnRykyryxOmaxnRrmaxmaxmax 标准偏差的常用计算方法：（1）贝赛尔公式法： 式中：yi是某校准点的输出值； 是输出值的算术平均值；n是测量次数。（2）极差法极差法：极差指某一校准点校准数据的最大值与最小值之差。计算标准偏差的公式为：式中：Wn是极差；dn极差系数，其

11、值与测量次数n有关，查表可得。极差系数表极差系数表 采用上述方法时，若有m个校准点，正反行程共可求得2m个，一般取其中最大者计算重复性误差。iy1)(12nyyniiin2345678910dn1.411.912.242.482.672.882.963.083.18nndW四灵敏度四灵敏度（Sensitivity） （K或S） 定义：输出量增量与被测输入量增量之比： ， 或 说明： 1非线性系统的K不为常数，K用dy/dx表示； 2灵敏度不是越大越好，灵敏度越大，系统稳定性越差。 3有时用到相对灵敏度概念：输出变化量y与被测量的相对变化率x/x之比： 实际中由于有的传感器的输出量与供给传感器的

12、电源电压有关，其灵敏度的表达式往往含电源电压因素。例如：某位移传感器的例如：某位移传感器的灵敏度的表示： mV/V mm, 还有的传感器的灵敏度以满量程输入时的电压输出表示：还有的传感器的灵敏度以满量程输入时的电压输出表示：mV/V。 %100 xxySrxyKxyS五分辨力五分辨力（Resolution） 分辨力指系统在规定测量范围内所能检测出被测输入量的最小变化量；有时，用该值相对满量程输入值之百分数表示，这时称为分辨率。注意区分： 分辨力：如1mV 分辨率：如0.1%六量程六量程（Span） 又称“满度值”，表征检测系统能够承受最大输入量的能力，其数值是系统示值范围上、下限之差的模。当输

13、入量在量程范围以内时，测量系统正常工作，并保证预定的性能。七阈值七阈值（灵敏阈、灵敏限） 阈值指使输出端产生可测变化量的最小被测输入量，即零位附近的分辨力。有时，在零位附近有严重的非线性，形成所谓的“死区”，则可将死区的大小作为阈值；更多情况下，阈值主要取决于噪声的大小，因而有时只给出噪声电平即可。比较：比较： 分辨力：最小的可测输入变化量。阈值： 最小的可测输入量。死区噪声电平图 死区与噪声电平八稳定性八稳定性 又称长期稳定性，即系统在相当长时间内保持其性能的能力。稳定性一般以室温条件下经过一规定的时间间隔后，系统输出与起始标定时的输出之间的差异来表示，有时也用标定的有效期来表示。九漂移九漂

14、移（Drift） 指在一定时间间隔内，检测系统输出量存在着有与被测输入量无关的，不需要的变化。常用指标： 零点（零位）漂移；灵敏度漂移。 时漂（零点或灵敏度随时间变化）； 温漂（温度变化引起的漂移）。十一十一. 静态误差静态误差（精确度） 评价静态性能的综合指标，指在满量程内系统任一点的输出值相对其理论值的可能偏离（逼近）程度。它表示采用该传感器或系统进行静态测量时所得数值的不确定度。 常用的计算方法（目前国内外不统一）：1）将非线性、重复性、迟滞误差按几何法或代数综合法 或222RHlSeeee)(RHLSeeee2）将全部标准数据相对拟合直线的残差看成随机分布，求出标准偏差，然后取2 或3

15、 ，作为静态误差，这时式中，yi各测试点的残差； p所有测试循环中总的测试点数。例如正反行程共有m个测 试点，每测试点重复测量n次，则pmn。 仍用相对误差表示静态误差，则有 由于非线性、回差可反映为系统误差，但它们的最大值并不一定出现在同一位置，而重复性则反映为随机误差，故按式代数和计算所得的静态误差偏大，而按上式及均方根计算则偏小。1)(12pypii%100)32(.SFSye 式中，(y)max校准曲线相对拟合直线的最大偏差，即系统误差 的极限值； 按极差法计算所得的标准偏差； a根据所需置信概率确定的置信系数。 美国国家标准局推荐该法，并规定按t分布确定a ，当置信概率为90、重复试

16、验5个循环(即n5)时， a2.13185。 若传感器是由若干个环节组成的开环系统，设第j个环节的灵敏度为Ki，第i个环节的绝对误差和相对误差分别为yi和ei，则传感器的总绝对误差yc和相对误差ec分别为 ,可见，为减小传感器的总误差，应该设法减小各组成环节的误差。.max)(SFSyaye niinijjcyKy11niicee13) 将系统误差与随机误差分开考虑。此方法从原理上讲较准确。小结： 量程（测量范围）、灵敏度、分辨力以及动态范围（跨度与绝对分辨力之比 ）是衡量传感器基本功能特性的指标； 线性度、重复性、迟滞、死区、漂移、稳定性、精确度是传感器的精度特性指标。基本功能特性基本功能特

17、性 - 决定系统的工作能力决定系统的工作能力精度特性精度特性 - 决定系统在什么程度上能完成所需的测量决定系统在什么程度上能完成所需的测量 动态范围（动态范围（Dynamic Range）：跨度与绝对分辨力之比）：跨度与绝对分辨力之比 - 系统对输入信号大小的综合检测能力。系统对输入信号大小的综合检测能力。 测量范围（测量范围（Range）：）：系统实现不失真测量时的最大输入信号范围。用上限值、下限值表示，如：200800C、5mmminmaxxx动态范围分贝数表示分贝数表示：minmaxlg20 xx动态范围其它参数其它参数3. 3. 非线性传感器的静态特性非线性传感器的静态特性 3.1 3

18、.1 问题的提出问题的提出 对于应用计算机的传感器，更多地注重灵敏度、稳定性，重复性等指标。 以往传感器的性能评估、指标计算方法基于传感器的输出测量值。实际上所有测量希望得到是由传感器输出值换算出的被测量值。真正关心的应该是传感器对被测输入量的测量误差，应针对由直接输出测量值反推出的被测量值来评估、计算传感器的性能指标。 线性传感器的静态灵敏度为常值，因此两种评价方法之间的误差可忽略，前述方法可行。对非线性传感器，特别是非线性程度很大时，前述方法需要改进。3.2 3.2 数据的基本处理数据的基本处理 由标定过程得到的传感器实测数据对(xi，yuij)与(xi，ydij)(i1,2,n, j1,

19、2,m)，可得传感器的输入-输出关系(xi， i)。由这组数据(xi， i)通过拟合可得关系表达式yf(x)，也可将其写成xg(y) . g()是f()的反函数,是传感器实际应用时的“解算函数”，理论上它是存在的，可以是整段描述的或分段描述的。 由上式计算得到的x称为“被测校准值”。 对给定的第i个测点的输入量值xi，第j个循环正、反行程得到的输出测量值分别为yuij和ydij。由xg(y)可得由传感器输入-输出特性计算出相应的“被测校准值”xuij和xdij，即 )()(dijdijuijuijygxygxyy（1）式中： i第i个测点对应的输出测量值的平均值；yUij,yDij第j个循环，

20、正、反行程的输出测量值yuij和ydij与输出测量值的平均值 i之间的偏差均为小量。 式(1)可写为假设: DijidijUijiuijyyyyyy（2）yyDijiiDijiidijUijiiUijiiuijyygxyygygxyygxyygygx)()()()()()(（3）式中 g( i)，g( i)在传感器的输入-输出特性曲线上，以输出测量值为自变量，以输入被测量为因变量，对应于 i的函数值和一阶导数值； i第i个测点，对应于传感器输入-输出特性曲线上的“被测校准值”的平均值， ig( i)，而且满足:yyyxxymjmjiDijUijiidijuijxyymygxxxm11)(21)

21、()(21上式表明：第i个测点的2m个“被测校准值”xuij和xdij(j1,2,，m)的平均值就是传感器输入-输出特性曲线上对应于 i的“被测校准值”。（4）y3.3 3.3 误差的描述误差的描述 对于给定的输入被测量值xsm(下标sm代表standard measurand，标准测量值)，如果某次输出测量值为ym，则由式(1)计算出的“被测校准值”为 xcmg(ym) 因此，在实际测量中，所关心的是“被测校准值”xcm与给定的输入被测量值xsm之间的偏差。这个偏差才是真正意义上的测量误差测量误差，如图所示，可描述为 xm=xcm-xsm（5）（6）符合度符合度（Conformity） 对于

22、静态特性具有明显非线性的传感器，必须用对于静态特性具有明显非线性的传感器，必须用非线性曲线，而不是用直线来拟合传感器的静态特性。非线性曲线，而不是用直线来拟合传感器的静态特性。这样，实际标定得到的测点相对于某一非线性参考曲线这样，实际标定得到的测点相对于某一非线性参考曲线的偏差程度就是符合度。的偏差程度就是符合度。 通常参考曲线的选择方式较参考直线要多，在考虑通常参考曲线的选择方式较参考直线要多，在考虑参考曲线时应当考虑以下原则：参考曲线时应当考虑以下原则： 应满足所需要的拟合误差要求；应满足所需要的拟合误差要求； 函数的形式尽可能简单；函数的形式尽可能简单； 选用多项式时，其阶次尽可能低。选

23、用多项式时，其阶次尽可能低。 符合度的计算符合度的计算 式(1)描述的传感器的静态特性曲线xg(y)，由一组校准点(x， i)拟合而成，但是这些点(xi， i)不一定在这条静态曲线上，即“被测校准值被测校准值”的均值的均值 i与给定的输入被测与给定的输入被测量值量值xi之间有偏差之间有偏差，这里称之为符合性偏差符合性偏差。反映它们之间不吻合程度的最大值就是符合度，如图所示。计算公式为：yy%100)(maxFSCxCxxCiCxx,maxmax)( i=1,2,n （7）x式中 xFS满量程输入，xFSxmax一xmin；xi,c符合性偏差符合性偏差，xi,c i一xi x迟滞的计算迟滞的计算

24、 对给定的第i个测点的输入量值xi，第j个循环正行程得到的输出测量值为yuij。利用式(4)可导出传感器正行程“被测校准值”的算术平均值类似地，可导出传感器反行程“被测校准值”的算术平均值为 于是，对第i个测点，传感器正、反行程传感器正、反行程“被测校准值被测校准值”的平均的平均值的偏差值的偏差，即迟滞：迟滞：迟滞指标为迟滞误差为)()(1)(111iuiiimjiuijiimjuijuiyyygxyymygxxmx)(idiiidiyyygxxHiidiuiidiuiHiyygyyygxxx,)()()max()(,max,HiHixx i1，2，n %1002)(maxFSHxHxx对于线

25、性传感器，由上式确定的“被测校准值”的迟滞误差与前述的输出测量值的迟滞误差是相同的。 （8）（9）非线性迟滞非线性迟滞* 非线性迟滞非线性迟滞是表征传感器正行程和反行程标定曲线与参考参考直线直线不一致或不吻合的程度。对第i个测点，传感器的标定点为(xi， )，相应的参考点为(xi，yi)；而正、反行程输出的平均校准点平均校准点分别为(xi， )和(xi， )，则正、反行程输出的平均校准点对参考点平均校准点对参考点(xi，yi)的偏差的偏差分别为 -yi和 -yi。两者中绝对值较大者就是非线性迟滞是非线性迟滞，即 iyuiydiy),max(,idiiuiLHiyyyyy对第i个测点，非线性迟滞

26、与非线性偏差、迟滞的关系为 HiLiHLiyyy,5 . 0 在整个测量范围，非线性迟滞为 )max()(,maxLHiLHyy非线性迟滞误差为 %100)(maxFSLHLHyyuiydiy（10）（11）符合性迟滞符合性迟滞 符合性迟滞符合性迟滞是表征传感器正、反行程标定曲线与参考参考曲线曲线不一致的程度。对于第i个测点xi，在拟合的输入-输出特性曲线上对应的“被测校准值”为 ; 正、反行程“被测校准值”的平均值分别为 ， ，则正、反行程正、反行程“被测校准值被测校准值”的的平均值对被测量值平均值对被测量值xi的偏差的偏差分别为 -xi和 -xi。两者中绝对值较大者就是符合性迟滞，即 ),

27、max(,idiiuiCHixxxxx i1,2,n 对于第i个测点，符合性迟滞与符合性偏差、迟滞的关系为 HiCiCHixxx,5 . 0 在整个测量范围，符合性迟滞: )max()(,maxCHiCHxxi1,2,n 符合性迟滞误差为 %100)(FSCHxCHxxixdixuixuixdix（12）（13）重复性的计算重复性的计算 同一测点，传感器按同一方向作全量程的多次重复测量时，每一次的输出值都不同，其大小是随机的。因此，对应的被测校准值在一定的范围内变化。为评估这一现象，计算其相应的重复性指标。 （1）极差法 式中, Wuix极差，即第i个测点正行程的m个被测校准值中的最大值与最小

28、值之差； dm极差系数，取决于测量循环次数m。极差系数与m的关系可查表。mxuixuidW)min()max(uijijxuixxW j=1,2,m （14）由于传感器通常为单调的输入-输出特性， 有如下结论：式中 Wui按输出计算得到的极差。 用类似方法可得第i个测点反行程被测校准值的极差Wdi和 .uiimuiixuiygdWyg)()()min()max(uijuiuiyyWxdi（15）j=1,2,m 2贝赛尔公式 进一步，由式(4)，(8)可得uiimjuijuijimjuiuijxuiygyymygxxm)()(11)()(111212diixdiyg)(考虑整个测量范围，对全部n

29、个测点，整个测试过程的标准偏差为：),max(xdixuix整个测试过程的标准偏差可描述传感器的随机误差，则传感器的重复性指标为 %1003FSxxRx（16）（17）（18）（19）综合误差的计算综合误差的计算 1) 综合考虑符合性符合性、迟滞迟滞和重复性重复性 可采用直接代数和或均方根来表示“综合误差”。 2) 综合考虑符合性迟滞符合性迟滞和重复性重复性由于符合性、迟滞同属于系统误差，可将它们统一考虑。因此可由符合性迟滞与重复性误差的代数和计算综合误差。由于不同拟合曲线xg(y)的表述将影响各分项指标的具体计算数值，所以在提出综合误差的同时，应指出使用拟合曲线xg(y)的具体形式。 由于符

30、合性迟滞的计算中迟滞部分为迟滞的1/2，误差结果相对前一种方法可能偏小。4. 动态特性 41 1 传感器动态分析的特殊性传感器动态分析的特殊性 实测中，大量被测量是随时间变化的动态参数。传感器对动态信号的测量不仅要精确测量被测信号幅值大小，还包括信号随时间变化过程的波形.动态特性反映传感器对随时间变化的激励(输入)的响应(输出)特性。 传感器有良好动态特性，即它能够迅速、准确和无失真地再现被测信号随时间变化的波形，使传感器的输出与输入随时间的变化一致。 实际上传感器除具有理想的比例特性环节外，还有阻尼、惯性环节，输出信号与输入信号没有完全相同的时间函数，这种输出量与输入量之差就是动态误差。动态

31、误差越大，传感器动态性能越差。 研究传感器动态特性是分析其动态误差以及产生原因，提出改善动态特性的措施。42 2 研究与分析传感器动态特性的方法研究与分析传感器动态特性的方法 动态误差之一：输出量达到稳定状态后与理想输出量之间的差值；之二：当输入量跃变时，输出量由一个稳态到另一个稳态之间的过渡状态中的误差。动态特性分析方法 时域：瞬态响应法； 频域：频率响应法。 实际测试时输入量千变万化，且往往事先不知（或者说以时间函数表达被测动态信号的形式多种多样），工程上常用输入标准信号函数的方法作分析，据此确立评定动态特性的指标。在时域分析动态特性时，只能分析传感器对特定输入时间函数的响应，常用标准信号

32、函数如阶跃函数。在频域内分析传感器动态特性一般以正弦输入得到频率响应特性。 1） 传递函数和频率响应函数传递函数和频率响应函数 任何周期信号均可用傅里叶级数表示，传感器对复杂周复杂周期输入期输入信号的响应可用对正弦输入信号的响应特性表示。 当输入正弦信号的振幅在传感器的线性范围内，为运算简单，求解方便，传感器输出可用传递函数H(s)求得。由前面的动态模型微分方程可得H(s)的表达式为式中Y(s)、X(s)初始条件为零的情况下，输出信号的拉氏变换和输入信号的拉氏变换， 、 ；s +j拉氏变换的自变量。 0101)()()(asasabsbsbsXsYsHnnmmdtetytyLsYst0)()(

33、)(0)()()(dtetxtxLsXst 对于多环节组成的串联或并联组成的传感器或系统，若各环节阻抗匹配适当，求总传递函数可略去相互间的影响。 对于n个环节组成的串联系统: 对于n个环节组成的并联系统： 传感器的传递函数表征了其传输、转换特性。它只与传感器内部参数有关，而与输入信号及传感器初始状态无关。当输入为正弦信号，且传感器是稳定的， =0，则可用j代替s，其传递函数为称为传感器的频率响应函数，简称频率响应或频率特性。niisHsH1)()(nisHisH1)()(01110111)()()()()()()()()(ajajajabjbjbjbjXjYjHnnnnmmmm 它也可用指数形

34、式表示，即： H(j)= | H(j)|=A() 式中 AH(j)的模， A= | H (j)| = , 称为系统的幅频特性物理意义：输出信号的幅值与输入信号的幅值之比相对于信号频率的关系。 H(j)的相角， = arctan| H(j) |= arctan ，称为相频特性 。物理意义：输出信号的相位与输入信号的相位之差相对于信号频率的关系。 相频特性和幅频特性之间有一定的内在联系，因此主要用幅频特性表相频特性和频域特性。）（）（RIHH22）（）（IRHHje 下图是典型的对数幅频特性曲线。图中0dB水平线表理想的幅频特性。工程上常将3dB所对应的频率范围作为频响范围(又称通频带，简称频带)

35、。对于传感器，常根据所需测量精度来确定正负分贝数，所对应的频率范围即为频响范围(或称工作频带)4.3 传感器典型环节的动态特性 动态响应分为瞬态响应（阶跃响应）和稳态响应（正弦响应）。 传感器通常可视为零阶、一阶或二阶系统或上述环节的组合系统。一般只讨论线性系统动态指标，所以只讨论典型的一、二阶系统。1 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应设一阶系统的稳态输出为 ，可得到瞬态响应 右图所示是阶跃响应曲线，根据此曲线，可定义各项指标如下：1)时间常数时间常数定义：输出量上升到稳态值的63.2%所需的时间。当t=0时，响应曲线的初始斜率为 1/。 越小，系统响应越快，稳定时间越短。tceyty1)

36、(cy图 一阶系统的阶跃响应2)响应时间响应时间ts （调节时间，过渡过程时间）定义：在响应曲线上，系统输出达到一个允许误差范围的稳态值，并永远保持在这一允许误差范围内所需的最小时间。根据允许误差范围的不同有不同的响应时间：可见，可见， 越小，系统的响应时间越短。越小，系统的响应时间越短。3)上升时间上升时间tr定义：系统输出响应值从5%（或10%）到达95%（或90%）稳态值所需时间。 从5%95%： 从10%90%： tr不从0%开始计算的原因：避开阈值，易于确定起始位置。 tr与ts 的区别：ts：永远落在误差带； tr：第一次进入误差带。（在高阶系统中这两个概念不同）402. 0t30

37、5. 0t3 . 210. 0t允许误差响应时间系统输出2%98.2%5%95%10%90%25. 2rt2 . 2rt4)延迟时间 定义：（一阶系统）输出响应值达到稳态值的50%所需的时间： （t0.5 允许误差为50%的ts） 意义：当输入量不是严格的阶跃信号时，粗略地表征传输延迟量。10.5tx(t)y(t)td7 . 05 . 0 ttd延迟时间 2. 二阶系统的时域响应 对 的二阶系统，阶跃输入作用下，其输出响应曲线是单调的，其响应指标可参考一阶系统定义。对1的二阶系统，其过渡过程存在振荡，其时域指标除响应时间响应时间、上升时间上升时间或延迟时间延迟时间以外，还有：1)峰值时间峰值时

38、间tp：输出响应达到第一个峰值所需的时间输出响应达到第一个峰值所需的时间。等于阻尼振荡周期的一半等于阻尼振荡周期的一半： 2)超调量超调量a式中 y(tp)第一次超过稳态值的峰高。 3)衰减率衰减率衰减振荡型（衰减振荡型（ ）二阶系统过渡过）二阶系统过渡过程曲线上相差一个周期程曲线上相差一个周期T的两个峰值之比。的两个峰值之比。4）稳定误差）稳定误差em 无限长时间后传感器的稳态输出值与目标值之间偏差无限长时间后传感器的稳态输出值与目标值之间偏差 相对值：相对值：em=( /yc)x100% 212ndpTt21%100)()()(%eyytyap101mm3. 系统的频域响应与指标 l1）零

39、阶系统零阶系统数学表述：数学表述：传递函数：传递函数：式中式中K K为静态灵敏度为静态灵敏度频率响应函数：频率响应函数：l 零阶系统输出和输入同步，不产生任何失真和延迟，是一种理想的零阶系统输出和输入同步，不产生任何失真和延迟，是一种理想的l测试系统，如位移电位器（在不考虑摩察因素时）、电子示波器等。测试系统，如位移电位器（在不考虑摩察因素时）、电子示波器等。 2 2）一阶系统一阶系统 数学表述数学表述 传递函数传递函数 00a yb x 00bYSKXa0)()(kA100dyaa yb xdt 1YKsXs00bKa静态灵敏度，10aa时间常数，决定工作频率范围。举例：在工程实际中，一个忽

40、略了质量的单自由度振动系统，在施于A点的外力f(t)作用下，其运动方程为频率响应函数频率响应函数:)()(tftkydttdyc（K=1, 归一化处理）22211()11()1()11()( )()arctan()H jjjH j 它的幅频、相频特性的为：A( )= H(j )负值表示相角的滞后一阶系统的频率特性：一阶系统是一个低通环节。只有当一阶系统是一个低通环节。只有当 远小于远小于1/ 时，幅频响应才接近于时，幅频响应才接近于1，因此一阶系统只适用于被测量缓慢或低频的参数。因此一阶系统只适用于被测量缓慢或低频的参数。 幅频特性降为原来的幅频特性降为原来的0.707（即（即3dB)，相位角

41、滞后，相位角滞后45o ,时间常数时间常数1. 决定了测试系统适应的工作频率范围。决定了测试系统适应的工作频率范围。1幅频、相频特性幅频、相频特性Bode图Nyquist图图 二阶系统的幅频特性二阶系统二阶系统数学表述传递函数频率响应函数幅频、相频特性静态灵敏度 , 系统固有频率 , 阻尼比 221002dydyaaa yb xdtdt00bKa02naa1022aa a 22( )/2/1nnYKH ssXss2/1222241 )(）（）（nnA1221)(nnjjH图 二阶系统响频特性212）（）（nn，( )= - arctan 二阶系统的频响特性二阶系统的频响特性主要取决于系统固有频

42、率n和阻尼比。 当1，n时，二阶系统有如下特点：A() 1，幅频特性平直，输出与输入之间为线性关系；()很小，()与为线性关系。 此时系统输出y(t)能真实准确地复现输入x (t)的波形。 由频域响应图和表达式可见，为得到精确的被测信号的幅值与波形，在系统设计时，一般必须使其阻尼比1，固有角频率n至少应大于被测信号频率的35倍。 如果被测信号为非周期非周期信号，可将其分解为各次谐波，这时系统固有角频率n不低于输入信号谐波中最高频率max的35倍，这时系统可以确保动态测试精度。 阻尼比是传感器设计和选用时要考虑的另一重要参数，1为过阻尼。一般系统都工作于欠阻尼状态。 综合考虑，设计传感器时，应使

43、=0.60.8为宜。n/=510，可得到较小的动态误差。根据二阶系统的频响可得到频域指标：根据二阶系统的频响可得到频域指标：(1)带宽频率带宽频率 对数幅频特性的dB值下降到频率为零时对数幅频特性以下-3dB时所对应的频率称为带宽频率 。(2)工作频率工作频率（0gi）gi：截止频率： 误差达到给定误差(1%,2%,5%,10%）时所对应的频率（常用-3dB截止角频率）。0gi:工作频带：输出不超过给定误差。(3)谐振频率谐振频率r 当 时所对应的频率。(4)跟随角跟随角 当 时所对应于相频特性上的相角。(5)相位误差：相位误差：在工作频带范围内，传感器的实际输出与所希 望的无失真输出间的相位

44、差值，即为相位误差。 dB3707. 0lg20707. 0707. 0max)()(jHjH707. 0707. 0 为理解二阶系统幅值误差和相位误差的概念，可参考下面例题： 例：一个二阶系统的力传感器，其固有频率n=800rad/s，阻尼=0.4，用它测量频率为=400rad/s的正弦变化力，求振幅误差及相位偏移各为多少？若采用n=1000rad/s，=0.6的力传感器，测量结果将有多大改善？ 解：二阶系统的传递函数与频率响应函数分别为因此，二阶系统的幅频响应和相频响应分别为222)(2nnnsssHnnjjH211)(2222211)(nnjH2112tan)(nn将n=800rad/s

45、，=0.4代入和的表达式中，得即幅值误差为18%（振幅误差），相位滞后为28。若改选传感器n=1000rad/s，=0.6，则有即振幅误差降低为3%，相位滞后增为30（相位误差对测量结果无影响），故测量结果得到较大改善。18. 18004004 . 0280040011)(222jHo2880040018004004 . 02tan2103. 110004006 . 02100040011)(222jHo301000400110004006 . 02tan21 4. 动态响应指标实验确定方法动态响应指标实验确定方法 传感器研制成功之后，都要通过实验确定其性能指标。 1) )时域测定法时域测定法

46、 通过测量传感器对单位阶跃信号的响应来确定其动态特性参数。 (1)一阶系统 以单位阶跃信号激励一阶系统得到系统的单位阶跃响应，取输出值达稳定值的63.2时所经历的时间作为时间常数。这样确定的值仅取决于个别瞬时值，不涉及响应全过程，准确性较差。采用以下方法确定时间常数结果可靠。 一阶系统的单位阶跃响应为：y (t)=1- 上式可改写为： 1-y (t) = 两边取对数，有： - t /= ln 1-y (t) = z 上式表明，ln1-y (t) 与t成线性关系。根据测得的各时刻t所对应的y (t)，做出ln1-y (t)-t曲线，如图所示。根据曲线的斜率值确定时间常数。显然，这种方法运用了全部

47、测试数据，考虑了阶跃响应全过程，结果比较准确。/ te/ te求一阶系统时间常数 (2)二阶系统典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应函数为 y (t) = 1( )sin( dt+2) 表明其阶跃响应是一个以角频率d= n 作衰减振荡的函数。角频率d称为欠阻尼固有角频率。按求极值的通用方法求得各振荡峰值所对应的时间t=0，/ d，2/ d，将t=/ d代入上式，可得最大超调量M(如图所示)和阻尼比的关系式，即或 因此，测得M之后，便可按上式，或者与之相应的曲线图来求阻尼比 。如果测得的阶跃响应的过渡过程曲线较长，可利用任意两个超调量Mi和Mi+n求阻尼比。设n为两个峰值相隔的周期数，Mi峰值所对应

48、的时间为ti，则Mi+n峰值所对应的时间为21/tne2121expM2/121lnM212ninintt二阶系统(1)的阶跃响应 M关系 将它们代入前述公式得212lnnMMnii整理后得 22224nnn式中， 。当 0.1时，用1代替 而不会产生过大的误差(0.6)，则上式可写为若系统是准确的二阶系统，那么若系统是准确的二阶系统，那么n值采用任意正整数值采用任意正整数所得的所得的值不会有差别。反之，若值不会有差别。反之，若n取不同的值，则可取不同的值，则可获得不同的获得不同的值，这表明该系统不是线性二阶系统。值，这表明该系统不是线性二阶系统。nMMnii2/ln）（211lniinMM2

49、) )频域测定法频域测定法 利用正弦信号激励，可得到传感器的幅频特性，如图所示，然后根据这两个特性曲线可求得一阶系统时间常数、二阶系统的固有频率 n和阻尼比 。 对于一阶系统，由幅频特性渐近线(斜率为0 )与高频渐近线(斜率为-20dB/10倍频)交点处，向下作垂线，此垂线与幅频特性相交处的A()=0.707，与横坐标的相交点处=1/，由此得到=1/ 。 对于二阶系统，利用对二阶系统幅频特性求极值的方法可得 r = n根据上式和二阶系统的幅频响应可得： Ar=当=0时，A()=A0=1，因此 Ar/A0= 22121212121 /1由一阶系统幅频特性求时间常数 二阶系统(l；当传感器的频带与输入噪声的频谱相比非常狭窄时，传感器起滤波作用，这时F1。22202nxSy2202222022/iinSnnxSnxF2202inSn20202nSn 传感器检测微弱信号的能力可用xm表示。它是指输出信噪比为1时输入的大小。由信噪比的定义和上两式可得， 一定的噪声输入下，xm越小，噪声系数F越小，表明传感器检测微弱信号的能力越强。 当F值一定时，必须抑制由输入端混入的噪声，以降低其xm值，提高微弱信号检测能力。 当传感器频带较宽，无滤波效果时，应尽量减小其内部噪声，使F值接近1；或者在满足所需精确度传递信号的条件下，使传感器频带尽量变窄，以得到较高的输出信噪比。 当输入噪声不可忽略时