多维柯西不等式

1、柯西不等式【柯西不等式的主要内容】1. 柯西主要贡献简介：柯西(Cauchy).法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定了数学分析的理论基础.数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值定理.柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2. 二维形式的柯西不等式：若a,b、c、dwR,则(/+/)( 1T m n =,且川”=blllcos,有I/?/?II/nI I/iI.得证.变式化 若心 则 庆Jc+dlae+加I或+，+d ac+bd ；变式 2.若a,b、c,d 已 R ,则 ja2 +lr + yjc2 +d+(b-d)2 :变式3.(三角形不等式

2、)设xl,yl,x2,y2,x3.y3为任意实数,則：J(坷一兀) +(y】一比尸 + J(%2 “尸 +($2 儿)，-3. 一般形式的柯西不等式：设“为大于1的自然数，勺0E R ( /= 1,2,-, n ),则：当且仅当时，等号成立.(若5=0 时，约定*=0, /=1,2, , n).变式1设q g R、bj 0(/ = 1.2,/),当且仅当吋，等号成立.二 a （V a2变式2.设qqo（i=i2M）,贝心y当且仅当s=b? = =时,等号成立. bi 2Laibi如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重要.而柯西不等式与 我们中学数学中的代

3、数恒等式、复数、向董、几何、三角、函数等各方面都有联系.所以，它的重要性是不容置疑的!柯西不等式的应用： 例1.已知实数仏b,c满足a+b+c+d =3, a2 +2J）2 +3c +6J2 =5.试求a的最值f 22.9X + 广 + L = 例2在实数集内解方程4-8x + 6y-24y = 397 + L例3设P是三角形ABC内的一点，忑y弋是”到三边abc的距亂 R是4BC外接圆的半径,证明:例4 （证明恒等式）已知“Ji +曲1一2 =1,求证：a2 +b2 =1 0例5 (证明不等式)设a a2 .an an.求证：乔711“2 一心一%I心利一 “I【同步训练】1 已知 a】，t

4、/,，a” e R十 9 求证：一(q + % + + “)S+ +gJn2.已知a、b、c、d是不全相等的正数，求证：a2 +b2 +c2 +d2 ab+bc + cd + da3.已知x + 2y + 3z = 1,求F + y2 + z，的最小值.4设xpx2,-xn e R+,且為+风上+ 乂门=1,求证:l+/7 + 15.已知实数gb、cde满足a+b+c+d+e=8, a2 +b2 +c2+d2 +e2 =16,求e 的取值范国.6已知x.y.ze且x+y + z = l,求证：一+ + -36x y z7.已知正数a.b.c满足a+b+c = 证明o + b +c3 a2+b2

5、 +c23让 411111/28若n是不小于2的正整数试证: 11 。72 3 42h-1 In2参考答案:一般形式的柯西不等式：itnn设为大于1的自然数，勺，勺W/?仃=1,2,，“)，则：工a；工肝X(工砧), /=1/=1Z=l其中等号当且仅当仏=如=如时成立(当4=0时，约定b =0, z=1,2,-,/?). 525等号成立当且仅当/?,. =/L7;(l /(h + c + d)2 2 3 6 丿即 2b2+3c2+6d2(b+c+d)2 由条件可得，5-6/2(3-)2解得，15dS2当且仪当辛1 =挛=舉=时等号成立，代入方= l,c = , = 时，、=23 o例2解：由柯

6、西不等式，得(a-2 + y2 + z2)(-8)2 +62 +(-24)2 (-8x+6y-24y)2(x2 + y2 + z2) (-8)： + 62 + (-24)： =2x(64 + 36 + 4x144) = 392 X(-8x+6y-24y)2 =392. (x2 + / + z2) (-S)2 + 62 + (-24)2 = (-8x+6y-24z)2 即不等式中只有等号成立.从而由柯西不等式中等号成立的条件，得丄=上=二_-86-24181369它与一8x + 6y-24y = 39 联立，可x = -y =例3证明：由柯西不等式得， yjax + by + cz记S为的面积，

7、则.cc c abc abcax + bv + cz = 2S = 2=4R 2Rab+bc + ca=Jab + be + ca J2R故不等式成立。例4 证明：由柯西不等式，得爲1_/异+bjl_/ sq2 +(1_/)护+(1_刊=1I_2当且仅当 J = 7 _ ?时，上式取等号，Jiab = Jl / vl b, ab = (1 -)(1 -Z?:).于是 a2 +b2 =1 o例5分析：这道題初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证:证明：为了运用柯西不等式，我们将一“卄写成5 一心=（! 一。2）+（2 一 5）+ + 仏一小）于是(绚 _“2)+S _)+ +(

8、5 _+】) - + - + + “2 - “3心-“/?2 1.(-) 1+1+111即21 一 “2 一一心+1丿1 1 1 1/.4+ +. 一 22 一 3an 一 心 4 一 0.我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和， 右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原題凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。 练习1.证：（1 +1 + +1 ）（a+ a J + +） n （1 终 +1 偽 + +1 舁（d+（ + + ）-（a +a2 + + 勺）， （t/| + a + + c（n ）* S ciy + a

9、； + + a；n证明：(a2 +2 +c2 + J2)(/?2 +c2+J2 +a2) (ab + be + cd + da)22、y,b,c,d是不全相等的正数.- = - = = -不成立.( + b 4-c + d)2 (ab+bc + cd + day 艮卩 a2 +b2 +c2 +d2 ab + be + cd + da解:(x2 + y2 + z2 )(12 +22 +32) (x+2y + 3z)2 = 1/. x2 + y2 + z2 -3-当且仅当- = = -B|k =丄,y = -,Z = -时123 J4 -714x2 + y2 + z2取最小值一142 2 2 证明

10、:(舁+ 1) (丄+ - + 旦)1 + 不 + X21 + Xj2= (1 + X +1 + & +1 + “)( 一+ +42 + x l + x2-7=+71+a2 -f=1 + XnJl+HJl + %24J + X： / 门 广=(X +兀2 + + )- =1解：V 4(a2+/?2+c2+6/2)=(1 + 1 + 1 + 1)(2 +/?2 +c2+d2)5.n ja + b + c + dy即4(16 一 /) X (8 e) B|J64 -V64-16e + e25, 16C0,故 0斗证法一:用柯西不等式丄+ t + d(“y+Z)(丄+ ? + ?)6.% z % T

11、 3/= + /7，7= + V?-F=) =36 !xyjyJz当且仅当十=-y2 =丄才,即兀=丄=；/ =丄时， 496 32等号成立.证法二:代入法14 9 149一 + + = 一(+y + z) +(x+ y + z) + (x + y + z)x y z xyz= 14 + ( + ) + ( + )+ (+ )x y x z y z14 + 4 + 6 + 12 = 361 且仅当 y = 2x.z = 3x,B|Jx = -,y = -,z = -时，等号成立6327.证明：利用柯西不等式=(/ +b、+c)(d+/? + c)(j.9a+b + c= 1)又因为 a 1 1 1 +b2 +c2 abbc + ca在此不等式两边同乘以2,再加上得：(G + b + c