圆锥曲线中关于四点共圆的几个定理

1、此文发表于教育部主管的国家一级期刊数学通讯2007年第11期圆锥曲线中关于“四点共圆”的几个定理浙江省海盐元济高级中学（314300） 崔宝法四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题。笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理。下面列出其中几个，并给出证明。定理1 若椭圆的两条相交弦与长轴成等角,则两弦的四个端点共圆.证明：如图1,设椭圆方程为,相交弦与长轴所成的角,则.设直线的方程为,则的方程为. 因为是椭圆与两直线的交点，所以可设过四点的二次曲线系方程为:（为参数）,整理,得 .令=,，可解得,由此可知存在,使得此二次曲

2、线表示一个圆，即一定存在一个圆能经过四点.所以四点共圆。 定理2 若一个三角形三边所在的直线都与抛物线相切，则这个三角形的三个顶点与抛物线的焦点共圆。证明：如图2，设抛物线线方程为，焦点为，的三边所在直线、分别与此抛物线切于点,则三边所在切线的方程为,即.当时，令，则有.又因为可解得点、的坐标为、，所以,同理,，.,即与互补,故、四点共圆.当中有一个为0（即有一边切于原点）时，不妨设，则，此时切线：与切线、的交点分别为、，故，从而有.同理有，因此，四边形对角互补，故、四点共圆. 定理3 若双曲线上任一点（异于顶点）处的切线交两渐近线于两点,法线交两坐标轴于两点,则这四点共圆,且此圆过双曲线中心

3、.证明：如图3，设双曲线上任意一点的坐标为，则过点的切线方程为,它与渐近线的交点为、.易知点处的法线方程为,它分别与轴、轴交于、., ,从而,. 同理， ,、都在以为直径的圆上，即、四点共圆.又 ，点也在以为直径的圆上，即此圆经过双曲线的中心.定理4 若椭圆上任意一点（异于长轴端点）处的切线与长轴两端点处的两条切线相交，则所得的两个交点和椭圆的两个焦点共圆。证明：如图4，设椭圆方程为，则过椭圆上任意一点的切线的方程为，它与轴交于， 与长轴两端点处的两切线交于、.，而，、都在以为直径的圆上，故、四点共圆.定理5 若椭圆上任意一点（异于顶点）处的切线和法线都与短轴所在直线相交，则所得的两个交点与椭

4、圆的两个焦点共圆。证明：如图5，设椭圆方程为,其上任意一点为，则点处的切线方程为,法线方程为,故它们与短轴所在直线的交点分别为、.从而直线斜率之积为 ,焦点对张直角.同理, 焦点对也张直角.、都在以为直径的圆上,即、四点共圆. 定理6 若双曲线上任意一点（异于顶点）处的切线与实轴两端点处的两条切线相交，则所得的两个交点与双曲线的两个焦点共圆。证明：如图6， 设为双曲线上的任意一点，则过点的切线为，它与过顶点的两切线相交于点、，又因为两切线平行且关于轴对称，所以切线与轴的交点是的中点，故=.又因为=，即、四点都在以为圆心的圆上. 定理7 若双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线和法线都与双曲线虚轴所在直线相交，则所得的两个交点与双曲线的两个焦点共圆.证明：如图7，设双曲线方程为，焦点为，则其上任意一点处的切线与法线方程分别为和，它们与虚轴的交点分别为、，故 ，即.又易知，、都在以为直径的圆上，即、四点共圆. 值得指出的是,上述的定理4与定理6、定理5与定理7相对于椭圆和双曲线来说是对偶的，这也反映