2018年优课系列高中数学北师大版选修2-2 4.1定积分的概念 课件4

1、定积分的概念定积分的概念v两个实例两个实例v定积分的定义定积分的定义v定积分的存在定理定积分的存在定理v定积分的几何意义定积分的几何意义v定积分的性质定积分的性质abxyo? A实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成.)(xfy 一、两个实例一、两个实例abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）1xix1ixxab

2、yo解决步骤解决步骤 :1) 分割分割:在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点bxxxxxann1210,1iiixx用直线ixx 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;2) 近似近似:在第i 个窄曲边梯形上任取作以,1iixx为底 ,)(if为高的小矩形, 并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,iA得1()(1,2,)iiiiiiAfxxxxini3) 求和求和:niiAA1niiixf1)(4) 取极限取极限: 令, max1inix则曲边梯形面积niiAA1niiixf10)(limxabyo1xix1ixiix1 ix1xi 2x1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代

3、曲 ( (以常代变以常代变) )iiixfA)(3 3 积零为整积零为整yxoy=f (x)1nxniiixfA1)(ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值 曲边梯形的面积曲边梯形的面积f ( i).ix1 ixi 4 4 取极限取极限yxoy=f (x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )3 3 积零为整积零为整niiixfA1)(iiixfA)(f ( i) 曲边梯形的面积曲边梯形的面积ix1 ixi 4 4 取极限取极限yxoy=f (x)令分法无限变细令

4、分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 ( (以常代变以常代变) )3 3 积零为整积零为整niiixfA1)(iiixfA)(f ( i)niiixf10)(limA =.A.ab 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程. 实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干个小段，每

5、思路：把整段时间分割成若干个小段，每小段上速度看作不变。求出各小段的路程小段上速度看作不变。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通过再相加，便得到路程的近似值。最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值。对时间的无限细分过程求得路程的精确值。tO T1T2 t0t1tn1 tn=ititi1 iiitvsni, 2 , 1第第i段路程值段路程值第第i段某时刻的速度段某时刻的速度 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 niiixfA10liminix1max （1）分割（2）近似 （3）求和（4）取极限变速直线运动的路程变速直线运动的路程 niiitvS10liminit1max(i1,

6、2, n), niiixf1)( 作和maxx1, x2,xn; 在小区间xi1, xi上任取一点i 记xi=xi-xi1 (i1, , n), 个分点: ax0 x1x2 xn1xnb; 设函数f(x)在区间a, b上有界. 极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和i的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间a, b上的定积分, 记为badxxf)( niiibaxfdxxf10)(lim)( 即 二、定积分的定义二、定积分的定义在区间a, b内插入n-1如果当0时, 上述和式的此时称 f ( x ) 在 a , b 上可积可积 .被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分

7、下限积分下限积分上限积分上限积分区间积分区间,ba积分和积分和读作“从a到b函数f(x)的定积分”曲边梯形面积曲边梯形面积A：变速运动的路程变速运动的路程 S：01lim( )niiiSvt dttvTT21记为记为01lim( )niiiAfx baf x dx记为记为关于定积分的说明：关于定积分的说明：求导有如下的式子：求导有如下的式子：x dxxfdxd badxxfdxd（）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积（）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积记号无关，即记号无关，即 dxxfba dttfba ;duufba（）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族，（）定积

8、分表示一个数，而不定积分是一个函数族，它们分别对它们分别对分变量的分变量的)(xf0例例1 1 计算计算.102dxxxyo1nini1(1)(1)分割分割1 , 0等分nixinxi1(2)(2)近似近似取nixii矩形面积nni12(3)(3)求和求和nnini121nnini121niin1231) 12)(1(6113nnnn)12)(11 (61nn(4)取极限nnini121)12)(11 (61nndxx102nnini1lim210nninin1lim21)12)(11 (61limnnn31 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2

9、 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界， 且最多只有有限个间段点，且最多只有有限个间段点， 则则)(xf在在三、定积分的存在定理三、定积分的存在定理区区间间,ba上上可可积积. .,( )0,ab f x baAdxxf)(,( )0,ab f x baAdxxf)(1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义12340几何意义：几何意义：积取负号轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和所围的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是由xxbxaxxfx ,)( ab定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用3 (7 1)18 1(28

10、) 3152 142817371(1)3dx41(2)2xdx21932200 xy2-33323(3)9x dx20(4)sin xdx定积分几何意义的应用定积分几何意义的应用 例例2 用定积分表示下列图中阴影部分的面积用定积分表示下列图中阴影部分的面积102 xdx1211 x dx 例例3 3 用定积分表示由用定积分表示由sinyx31,0,4xyx1o34341sinAxdx解：解：平面图形如右图所示平面图形如右图所示 所围平面图形的面积。所围平面图形的面积。 例例4 用定积分表示由用定积分表示由 所围所围 平面图形的面积。平面图形的面积。sinyx51,0,4xyx1o解：解：平面图

11、形如右图所示平面图形如右图所示54A211sinAxdxA1542sinAxdx 12AAA由图可知由图可知 因为因为541sinsinAxdxxdx所以所以若若 是奇函数，则是奇函数，则( )f x aaf x dx 0aaf x dx 02af x dx( )f x若若 是偶函数，则是偶函数，则a-a对称区间上的定积分对称区间上的定积分-aa对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考

12、虑积分上下限的大小五、定积分的性质五、定积分的性质证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质1 1niiibaxfdxxf10)(lim)( babadxxfkdxxkf)()( (k为为常常数数).证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性质性质2 2niiibaxfdxxf10)(lim)( bad

13、xxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）则则假设假设bca 性质性质3 3dxba 1dxba ab .则则0)( dxxfba. . )(ba 证证, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(l

14、im10 . 0)( badxxf性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,ba上上0)( xf，niiibaxfdxxf10)(lim)( 性质性质5 5的推论：的推论：证证),()(xgxf , 0)()( xfxg, 0)()( dxxfxgba, 0)()( babadxxfdxxg于是于是 dxxfba )( dxxgba )(.则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 证证, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa

15、即即dxxfba )(dxxfba )(.性质性质5 5的推论：的推论：（2）,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa例例5 5比较下列各对积分值的大小：比较下列各对积分值的大小：(1)20sinxdx202sinxdx21ln xdx212ln xdx(1)因为在因为在2, 0, 1sin0 x.sinsin2xx 20sinxdx202sinxdx21lnxdx212ln xdx(2)和(2)和解解上上由推论知由推论知设设M及及m分分别别是是函函数数证证,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6 演示演示如如果果函