普通物理学上期末复习1

1、第一章力和运动1. 位矢位矢描述质点在空间的位置描述质点在空间的位置xyzOrjki, ,P x y zrOP rxiyjzk , ,i j k , ,x y z222rrxyz 方向方向： cosyr coszr cosxr 大小大小：ry(t)x(t)z(t)2. 运动学方程运动学方程( )( )( )( )xx trr tyy tzz t在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一定规律变化，在一定的坐标系中，质点的位置随时间按一定规律变化，位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动方程。位置用坐标表示为时间的函数，叫做运动方程。运动方程：运动方程：轨迹方程：轨迹方程：( , , )0f x y z

2、 两者关系：将运动方程中的时间消去，即可得到质两者关系：将运动方程中的时间消去，即可得到质 点运动的轨迹方程。点运动的轨迹方程。例例. 已知质点的运动方程已知质点的运动方程 4sin4cos(m)44rt jt k 求：轨迹方程求：轨迹方程.解：解：由运动方程可知由运动方程可知0 xtsiny44 tcosz44 消去消去 t 得轨迹方程为得轨迹方程为 2224(m)yzOrArB位移位移：从初位置指向末位置的有向线段，即，位置矢量从初位置指向末位置的有向线段，即，位置矢量 的增量。的增量。 例：例：质点沿曲线运动，质点沿曲线运动，t 时刻：时刻：A，Art + t 时刻：时刻：B，BrBAA

3、Brrr 位移位移矢量矢量末末矢矢量量初初矢矢量量位失位失增量增量ABrOrABrArB( , , )AAAx y z( , )BBBx y zzyxBABABA()()()rxxiyyjzzkxiyjzk AAAArx iy jz k BBBBrx iy jz k oArBr?rrBArrr rr讨论：讨论：r 大小：大小：方向：方向：abrr r r dr dr并且并且结论：位移结论：位移 是矢量，是矢量， 标量，两者不相等。标量，两者不相等。rrBABArrrrr ?rs 讨论：讨论：ABsr位移位移 ：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点 运

4、动轨迹无关，只与始末点有关。运动轨迹无关，只与始末点有关。r路程路程 ：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点 运动轨迹有关。运动轨迹有关。srs 直线前进运动直线前进运动曲线运动曲线运动0, ddtrs 速度速度描述质点运动的快慢和方向。描述质点运动的快慢和方向。r)(ttr)(trOBAsrvt |rsvtt 注意：注意： 平均速率（平均速率（average speed）yzxvijkttt rxiyjzk ,.xyzyzxvvvttt)(ttr)(trOABrB1B2B3B4B5B6定义：当定义：当t 趋于趋于0时，时， B点趋于点趋于A 点，平

5、均速度的极点，平均速度的极限表示质点在限表示质点在t 时刻通过时刻通过 A 点的点的，简称，简称。0()( )limtr ttr tvt dd0limtrrtt ddrvt r 直角坐标系中矢量形式：直角坐标系中矢量形式：kzj yixtr )(ddddddddxyzyzrxvijkv iv jv ktttt 直角坐标系中分量形式：直角坐标系中分量形式：dddddd,xyzyzxvvvttt 速度大小：速度大小：222xyzvvvvv 速度方向：速度方向： t 趋近零时，位移趋近零时，位移 的极限方向，该位的极限方向，该位置的切向方向，并指向质点前进的一侧。置的切向方向，并指向质点前进的一侧。

6、r 速率是标量速率是标量平均速率：平均速率：svt 瞬时速率：瞬时速率：dd0limtssvtt 讨论：讨论：dddd?rrtt (3)(2)?vv (1)?vv (1)?vv srvvtt rs 结论：平均速度的大小不等于平均速率。结论：平均速度的大小不等于平均速率。(2)?vv ddddrsvvtt 00limlimttrs ddrs 结论：速度的大小等于速率。结论：速度的大小等于速率。dddd?rrtt (3)BrOrrArrr ddrr ddddddrsrvttt 加速度加速度描述质点速度大小和方向随时间变化快描述质点速度大小和方向随时间变化快慢的物理量。慢的物理量。x y z P2

7、P1 o)(ttr)(tv)(ttv)(tr)(ttv)(tvvvv ttv t ()( )速度增量：速度增量：定义平均加速度：定义平均加速度： ，方向与速度增量方向相同。，方向与速度增量方向相同。 vat 当当t 趋于趋于0 时，时，P1 点趋于点趋于P2 点，平均加速度的极限点，平均加速度的极限表示质点在表示质点在t 时刻通过时刻通过P1 点的点的瞬时加速度瞬时加速度,简称简称加速度加速度.dddd220limtvvrattt r 直角坐标系中矢量形式：直角坐标系中矢量形式：kzj yixtr )(dddddddd22222222xyzyzrxaijka ia ja ktttt 直角坐标系

8、中分量形式：直角坐标系中分量形式：dddddddddddd222222,yzxxyzvvyvzxaaatttttt 加加速度大小：速度大小：222xyzaaaaa 加速度方向：加速度方向： t 趋近零时，速度增量的极限方向。趋近零时，速度增量的极限方向。曲线运动，总是指向曲线的凹侧。曲线运动，总是指向曲线的凹侧。直线运动，直线运动，同向同向加速加速反向反向减速减速加速度与速度的夹角大于加速度与速度的夹角大于90 ，速率减小。，速率减小。加速度与速度的夹角小于加速度与速度的夹角小于90 ，速率增大。，速率增大。vggv加速度与速度的夹角为加速度与速度的夹角为0 或或180 ，质点做直线运动。，质

9、点做直线运动。加速度与速度的夹角等于加速度与速度的夹角等于90 ，质点做圆周运动。，质点做圆周运动。avvava几种情况几种情况：1. 已知运动方程，求速度、加速度已知运动方程，求速度、加速度)( )( )(tatvtrddrvt ddvat 已知质点的运动方程已知质点的运动方程, ,可用求导的方法求可用求导的方法求质点运动的速度、加速度。质点运动的速度、加速度。2. 已知加速度已知加速度, , 求速度、运动方程和轨迹方程求速度、运动方程和轨迹方程dd00vtvtva t ddvat d00ttvva tdd00rtrtrv t ddrvt d00ttrrv t已知质点运动的加速度和初始条件已

10、知质点运动的加速度和初始条件, ,可用积可用积分的方法求速度、运动方程和轨迹方程。分的方法求速度、运动方程和轨迹方程。质点的轨迹；质点的轨迹； t = 0s 及及t = 2s 时时,质点的位置矢量；质点的位置矢量； t=0s到到t=2s时间内的位移；时间内的位移； t=2s内的平均速度；内的平均速度； t=2s末的速度及速度大小；末的速度及速度大小； t=2s末加速度及加速度大小。末加速度及加速度大小。例例1. 已知：质点的运动方程已知：质点的运动方程 ，求：，求： 2( )2(2-)r ttitj解解: 先写运动方程的分量式先写运动方程的分量式:22 ,2.xt yt消去消去t 即可得到轨迹

11、方程即可得到轨迹方程:22.4xy 抛物线方程抛物线方程 位置矢量：位置矢量：22,42 .tostsrjrij244 ,tst osrrrij 224( 4)5.65m,r 大小：大小：4arctg.44 方向方向(与与x 轴夹角轴夹角)： 位移位移: 平均速度平均速度: :02y 22 ,ttsrxvijijtt02 2.82(m/s).xytsvvv大小：大小： 速速 度度: :ddd22dddrxyvijitjtttd2dvajt 加速度加速度: :jast22jivst4222224.47(m/s)xytsvvv大大 小：小：2=2/s ,am大大 小：小：沿沿 -y 方向，与时间无

12、关。方向，与时间无关。方方 向：向：例例2. 已知：匀加速直线运动的加速度为已知：匀加速直线运动的加速度为a，t = 0 时，时，速度为速度为v0，位置为，位置为x0，求该质点的运动学方程。求该质点的运动学方程。ddvatdd ,vattvvtav0dd00vvat两端积分可得到速度：两端积分可得到速度：解：解：因质点作直线运动，可用标量式运算，用正负号因质点作直线运动，可用标量式运算，用正负号表示方向；表示方向；根据加速度定义：根据加速度定义：0ddxvvatt根据速度的定义式：根据速度的定义式：tatvxtxxd)(d0002001/ 2xxv tat两端积分得到运动方程：两端积分得到运动

13、方程：22002 ().vva xx消去时间得到：消去时间得到：以上三项即是匀加速直线运动的公式。以上三项即是匀加速直线运动的公式。例例3. 在图中画出在图中画出:s;,.rrrvvv解：解：19ro)(ttr )(tr.)(tv)(ttv ab srr vv( )v t()v ttv上页上页下页下页 返回返回 退出退出26 人站在地球上，以地球为参照系人静止不动。人站在地球上，以地球为参照系人静止不动。而以地球以外的物体为参照系，则是而以地球以外的物体为参照系，则是“坐地日行八坐地日行八万里万里”了。了。 因此，位移、速度、加速度等都要加上因此，位移、速度、加速度等都要加上相对相对二字：相对

14、位移、相对速度、相对加速度。二字：相对位移、相对速度、相对加速度。 运动是绝对的，但是运动的描述具有相对性，运动是绝对的，但是运动的描述具有相对性，在不同参考系中研究同一物体的运动情况结果会在不同参考系中研究同一物体的运动情况结果会完全不同。完全不同。上页上页下页下页 返回返回 退出退出27oxyzvoxyz 考虑两个参考系中考虑两个参考系中的坐标系的坐标系K和和K(Oxyz和和Oxyz)，它们相对作匀，它们相对作匀速直线运动。速直线运动。 在在t=0时刻坐标原时刻坐标原点重合，对于同一个点重合，对于同一个质点质点P，在任意时刻两，在任意时刻两个坐标系中的质点对个坐标系中的质点对应的位置矢量：

15、应的位置矢量：Prr1.1.伽利略坐标变换伽利略坐标变换, r r 上页上页下页下页 返回返回 退出退出28K系原点相对系原点相对K系原点的位矢：系原点的位矢：从图中很容易看出矢量关系：从图中很容易看出矢量关系：Rrr成立的条件成立的条件: :空间绝对性空间绝对性: :空间两点距离空间两点距离的测量与坐标系无关。的测量与坐标系无关。时间绝对性时间绝对性: :时间的测量时间的测量与坐标系无关。与坐标系无关。O Prtt oxyzvoxyzPrrRR上页上页下页下页 返回返回 退出退出29P点在点在K系和系和K系的空间坐标、系的空间坐标、时间坐标的对应关系为：时间坐标的对应关系为：vtxx yy

16、zz tt 伽利略坐标变换式伽利略坐标变换式oxyzvoxyzPrrRRrrtt 上页上页下页下页 返回返回 退出退出30 分别表示质点在两个坐标系中的速度分别表示质点在两个坐标系中的速度、KvK vvvtRtrtRrtrv+=+=)+ = KKdddddd(ddvv=v+KK即即在直角坐标系中写成分量形式在直角坐标系中写成分量形式伽利略速度变换伽利略速度变换 伽利略速度变换与加速度变换伽利略速度变换与加速度变换vvvxx KKyyvvKK zzvvKK 上页上页下页下页 返回返回 退出退出31 注意注意：低速运动的物体满足速度变换式，并且低速运动的物体满足速度变换式，并且可通过实验证实，对于

17、高速运动的物体，上面的变可通过实验证实，对于高速运动的物体，上面的变换式失效。换式失效。为了便于记忆，通常把速度变换式写成下面为了便于记忆，通常把速度变换式写成下面的形式的形式AKAKK Kvvv上页上页下页下页 返回返回 退出退出32 设设K 系相对于系相对于K 系作匀加速直线运动系作匀加速直线运动, ,加速度加速度 沿沿x 方向。方向。0a0, 0vv t K系相对于系相对于K系的速度系的速度t00avv tttddddddKKvvv 0KKaaa 时,00 a当当KK aa表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。伽利略加速度变换

18、伽利略加速度变换上页上页下页下页 返回返回 退出退出33例例1 某人以某人以4 km/h的速度向东前进时，感觉风从的速度向东前进时，感觉风从正北吹来正北吹来.如果将速度增加一倍，则感如果将速度增加一倍，则感觉风从东北觉风从东北方向吹来方向吹来.求相对于地面的风速和风向求相对于地面的风速和风向.解：解：由题意，以地面为由题意，以地面为基本参考系基本参考系K，人为运，人为运动参考系动参考系K，取风为研，取风为研究对象，作图究对象，作图AKv45y(北)x(东)OKKKKAAvvv根据速度变换公式得到：根据速度变换公式得到：KAKKKAvvvkkvAKvKK vAK v由图中的几何关系，知：由图中的

19、几何关系，知：K KKKAKcos45vvvKKAK122vvAKcosv上页上页下页下页 返回返回 退出退出34AKKsin45AvvAKKK25.66(km/h)vv由此解得由此解得22AKKKAK5.66(Km/h)vvv以及以及即风速的方向为向东偏南即风速的方向为向东偏南45 ，亦即在东南方向上。，亦即在东南方向上。AKKKarctanarctan145vvAK12vAKsinvAKAK14(km/h)2vvAKv45y(北)x(东)OkkvAKvKK vAK v上页上页下页下页 返回返回 退出退出35例例2 一升降机以加速度一升降机以加速度1.22 m/s2上升，当上升上升，当上升速

20、度为速度为2.44 m/s时，有一螺帽自升降机的天花板时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距上松落，天花板与升降机的底面相距2.74 m计算螺帽从天花板落到底面所需的时间和计算螺帽从天花板落到底面所需的时间和螺帽相对于升降机外固定柱的下降距离。螺帽相对于升降机外固定柱的下降距离。解：解：我们把松开点作为坐标系的原点，把我们把松开点作为坐标系的原点，把Oy 轴的正轴的正方向选定为竖直向上的方向，那么，在螺帽松脱时，方向选定为竖直向上的方向，那么，在螺帽松脱时，也即也即t = 0 时，螺帽以初速时，螺帽以初速v0 = 2.44 m/s 作竖直上抛运作竖直上抛运动，到动，到t

21、时刻，它离开出发点的距离为时刻，它离开出发点的距离为21012sv tgt而在这段时间内，升降机却以初速而在这段时间内，升降机却以初速v0 作加速度作加速度a = 1.22 m/s2 2的匀加速运动，它上升的距离为的匀加速运动，它上升的距离为上页上页下页下页 返回返回 退出退出36因在螺帽与机底相遇时，因在螺帽与机底相遇时，s2 与与s1 之差实际上是升降之差实际上是升降机的高度机的高度h = 2.74 m，由此即可求出螺帽与机底相遇，由此即可求出螺帽与机底相遇的时刻，亦即的时刻，亦即2211()2ssag th20.71shtag22012sv tat于是得于是得 即螺帽与机底相遇所花时间为

22、即螺帽与机底相遇所花时间为0.71 s螺帽相对于机外固定柱子的下降距离为螺帽相对于机外固定柱子的下降距离为 21010.74m2sv tgt 1-2.质点沿质点沿x 轴运动，坐标与时间的关系为轴运动，坐标与时间的关系为：x = 4t - 2t3，式中式中x、t分别以分别以m、s为单位。试为单位。试计算计算： （1）在最初在最初2s内的平均速度内的平均速度，2s末的瞬时末的瞬时速度速度； （2）1s末到末到3s末的位移末的位移、平均速度平均速度； （3）1s末到末到3s末的平均加速度末的平均加速度；此平均加此平均加速度是否可用速度是否可用+=2a1a2a目录目录（4）3s末的末的瞬时瞬时速度。速

23、度。计算计算？结束0 x 解：解： x = 4t - 2t3（1）=x4t - 2t3=48m=22 23=tv=xs=824=m62tv=dx=d4t226=4s20=m4=32 334 12 13()()44 m=x=x3x2（2）tv=xs=44322=m1目录目录结束362v= 4t =6432s50=m2s24=m=1232s36=m162v= 4t =6412s2=m(3)12ta=dv=dt(4)()1v3v1t3ta=50213目录目录结束 1-4.直线直线 1与圆弧与圆弧 2分别表示两质点分别表示两质点A、B从同一地点出发，沿同一方向做直线运动的从同一地点出发，沿同一方向做直

24、线运动的v-t 图图。已知已知B的初速的初速v0=b m/s,它的速率由它的速率由v0变为变为0所化的时间为所化的时间为t1= 2bs, （1）试求试求B在时刻在时刻 t 的加速度的加速度； （2）设在设在B停止时，停止时，A恰好追上恰好追上B，求求A的速的速度度； （3）在什么时候，在什么时候，A、B的速度相同的速度相同？tv2bbo12目录目录结束v0 =b m/s,t1= 2bs, v0=0 vt在在坐标系中质点坐标系中质点2的运动方程为：的运动方程为：t=2b， v = 0当当v +c()2+ t2=v0+c()2（1）v0 =b；且；且代入式代入式（1）得：得：c =32b代入式代入

25、式（1）得：得：运动方程为：运动方程为：(1)求求B在时刻在时刻 t 的加速度。的加速度。目录目录tv2bboABvvvt在在坐标系中质点坐标系中质点2的的+=2vt2v0+c()2v=v +c因为因为ctvo结束v +c()2+ t2=v0+c()2（1）得：得：c =32b代入代入（1）化简后得：化简后得：v +2+ t2=3bv4b2（2）解得：解得：v =t2225b23bm4.v0=b式中取正号，对式中取正号，对 t 求导后得：求导后得：=tdvda=t225b24t2目录目录结束A追上追上B，A的位移等于的位移等于B的位移的位移（2）t=2b当当时时B静止静止B的位移：的位移：=B

26、xtvd=t2225b23b4+21()td2b022=3b.2bt225b241td2b0+=+125b204sincos2225arc sint225b24td2b0其中：其中：= 8.79b2目录目录tv2bboAB结束=Bx=8.79b23b2+1.40b2tk设设A的速度为的速度为:=AvAx=tvd=td2b0tk=2kb21.40b2=2kb2=k0.7=tdvda =AA0.72sm= 0.7ttk=Av(3) 当当时有：时有：=AvBv=0.7tt225b23b4+122Ax=Bx相遇时相遇时A与与B的位移相等的位移相等 ：解得：解得：t=1.07b目录目录结束 （1）如果旅

27、客用随车一起运动的坐标系以来描写）如果旅客用随车一起运动的坐标系以来描写小球的运动，已知小球的运动，已知x 轴与轴与x 轴同方向，轴同方向，y 轴与轴与y 轴轴相平行相平行,方向向上方向向上,且在且在 t =0 时时,o与与o 相重合，则相重合，则 x和和y 的表达式将是怎样的呢？的表达式将是怎样的呢？ （2）在）在oxy坐标系中，小球的运动轨迹又是怎坐标系中，小球的运动轨迹又是怎样的？样的？ （3）从车上的旅客与站在车站上的观察者看来）从车上的旅客与站在车站上的观察者看来 ,小球的加速度各为多少小球的加速度各为多少?方向是怎样的？方向是怎样的？ 1-18 一列车以一列车以 5ms的速度沿的速

28、度沿 x 轴正方向行轴正方向行驶，某旅客在车厢中观察一个站在站台上的小孩驶，某旅客在车厢中观察一个站在站台上的小孩竖直向上抛出的一球。相对于站台上的坐标系来竖直向上抛出的一球。相对于站台上的坐标系来说，球的运动方程为说，球的运动方程为:0 x=12gtvy20t,gv0是常量）。是常量）。（目录目录结束s系：系：0ad=2x=td2xjg=aa=yd2ytd2=g系：系：sjg=a0ad=2x=td2xa=yd2ytd2=g解：解：0 x=12g2y=v tt0s系：系：5x=12g2y=v tt0t系：系：s目录目录结束第二章运动的守恒量和守恒定律Impulse & Momentum The

29、orem 冲量与动量定理冲量与动量定理1. 冲量冲量设在时间间隔设在时间间隔dt 内，质点所受的力为内，质点所受的力为F，则则称称ddIF t 为为 在在dt时间内给质点的冲量。时间内给质点的冲量。Fd21ttIF t 时间由时间由21tt 若质点受力的持续作用，若质点受力的持续作用， 则则在这段时间力对质点的冲量为在这段时间力对质点的冲量为: :( (力的时间累积效应力的时间累积效应) )方向：方向：不是某一瞬时力不是某一瞬时力 的方向，而是所有元冲量的方向，而是所有元冲量 的合矢量的合矢量 的方向的方向。iFtF d 21dtttF2. 动量定理动量定理ddPFt 利用牛顿第二定律可得利用

30、牛顿第二定律可得:dddIF tPd2121ttIF tPP d21ttIF t ddIF t 动量定理：冲量等于动量的增量。动量定理：冲量等于动量的增量。IP ddIP (微分形式微分形式)(积分形式积分形式) 直角坐标系中直角坐标系中xxttxxmvmvtFI1221d yyttyymvmvtFI1221d zzttzzmvmvtFI1221d 冲力的瞬时值很难确定，但在过程的始末两时刻冲力的瞬时值很难确定，但在过程的始末两时刻, ,质点的动量比较容易测定质点的动量比较容易测定, , 所以动量定理可以为估算冲所以动量定理可以为估算冲力的大小带来方便。力的大小带来方便。 引入平均冲力引入平均

31、冲力 F d2121( )()ttF ttF tt d21212121( )ttF ttPPFtttt 则则: : 动量定理常用于碰撞和打击问题。在这些过程中，动量定理常用于碰撞和打击问题。在这些过程中，物体相互作用的时间极短，但力却很大且随时间急剧物体相互作用的时间极短，但力却很大且随时间急剧变化。这种力通常叫做变化。这种力通常叫做冲力冲力 。 动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力动量定理在打击或碰撞问题中用来求平均力例例1. 设机枪子弹的质量为设机枪子弹的质量为50 g, ,离开枪口时的速度离开枪口时的速度 为为800 m/s。若每分钟发射。若每分钟发射300 发发子弹，求射手子弹，求射

32、手 肩部所受到的平均压力。肩部所受到的平均压力。解解: :PFt tvm d21212121( )ttF ttPPFtttt 射手肩部所受到的平均压力为射手肩部所受到的平均压力为根据动量定理根据动量定理300 0.05 80020060F tmvN N例例2.飞机以飞机以v = 300 m/s (即即1080 km/h)的速度飞行的速度飞行, 撞到撞到一质量为一质量为m = 2.0 kg 的的鸟鸟, 鸟鸟的长度为的长度为l 0.3 m。 假设假设鸟撞上飞机后随同飞机一起运动鸟撞上飞机后随同飞机一起运动, 试估算它们相撞时的试估算它们相撞时的平均冲力的大小。平均冲力的大小。 解解: 以地面为参考

33、系以地面为参考系, 把鸟看作质点把鸟看作质点,因鸟的速度远小于因鸟的速度远小于飞机的飞机的, 可将它在碰撞前的速度大小近似地取为可将它在碰撞前的速度大小近似地取为v0 = 0 m/s, 碰撞后的速度大小碰撞后的速度大小v 300 m/s。由动量定理可得由动量定理可得0mvmvIF t 碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度碰撞经历的时间就取为飞机飞过鸟的长度l的距离所需的时间，则的距离所需的时间，则:000()/mv vvmvmvmvmvFtl vl N.5100630)0300(30002 N 动量定理动量定理解释解释“逆风行舟逆风行舟”船船前前进进方方向向风吹来风吹来取一小块风取一小块风dm

34、为研究对象为研究对象00PPPIPImPd00初初mPd末末由牛顿第由牛顿第三定律三定律前前进进方方向向风对帆的冲量大小风对帆的冲量大小PI方向与方向与 相反相反PtPF质点系的动量定理质点系的动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 Momentum Theorem for System of Particles & Principle of Conservation of Momentum1. 质点系的内力和外力质点系的内力和外力 N个质点组成的系统个质点组成的系统-研究对象称为研究对象称为。内力内力：系统内部各质点间的相互作用力系统内部各质点间的相互作用力质点系质点系 特点：成对出现；大小相等

35、方向相反特点：成对出现；大小相等方向相反结论：质点系的内力之和为零结论：质点系的内力之和为零0iif外力外力: : 系统外部对质点系内部质点的作用力系统外部对质点系内部质点的作用力Fff：系统内任一质点受力之和写成：系统内任一质点受力之和写成iifF外力之和外力之和内力之和内力之和质点系的质量中心，简称质点系的质量中心，简称质心。质心。2. 质心质心xzyOm2r2m1r1crcmirirNmN对于对于N个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：Nimmmm,21Nirrrr,21Mxmxiic/Mymyiic/Mzmziic/imMMrmriic/ 直角坐标系中直角坐标系中直角坐标系下直角坐标

36、系下xzyOcrcdmrddcr mrmdr mM面分布面分布体分布体分布线分布线分布lmddSmddVmddMmxxc/dMmyyc/dMmzzc/d 对于质量连续分布的物体对于质量连续分布的物体注意：注意：质心的位矢与参考系的选取有关。质心的位矢与参考系的选取有关。刚体的质心相对自身位置确定不变。刚体的质心相对自身位置确定不变。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质量均匀的规则物体的质心在几何中心。质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时，质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质质心与重心位置重合。心与重心位置重合。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。质心运动反映了质点系的整体运动趋势。3.

37、 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系中质点系中第第i 个个质点所受的内力和外力之和为质点所受的内力和外力之和为 外内iiiFfF ddPFt 依牛顿第二定律，有依牛顿第二定律，有ddiiPFt dd()iiifFtP 即即:对质点系内所有的质点写出类似的式子，并将全部对质点系内所有的质点写出类似的式子，并将全部式子相加得式子相加得 dd()iiiiifFtP 内内内内外外外外0diiP iiFF iiPP 记记系统所受的合外力系统所受的合外力系统的总动量系统的总动量则有则有ddF tP 质点系的动量定理质点系的动量定理：系统在某一段时间内所受合：系统在某一段时间内所受合外力的总冲量等于在同

38、一段时间内系统的总动量外力的总冲量等于在同一段时间内系统的总动量的增量。的增量。且且d21ttF tP 积分形式积分形式微分形式微分形式质点系的质点系的动量定理动量定理dd()iiiiifFtP 内内外外外外ddd()()iiiiiiftFtP 内内外外5. 变质量问题变质量问题( (动量定理与火箭飞行原理动量定理与火箭飞行原理) dvv m+dmvmdmt 时刻时刻质量质量速度速度动量动量mvdvv vmP=1t+dt 时刻时刻dmm dd2()()Pmm vv d()m v v 火箭受外力为：火箭受外力为：F由动量定理得：由动量定理得：d21F tPP化简得：化简得：dddd()mvmFv

39、tt 密歇尔斯基方程密歇尔斯基方程喷出的气体相对火箭箭体的速度喷出的气体相对火箭箭体的速度或：或：ddd()()()mm vvm vmv (此处此处dm0)ddddvmFmutt 对地对地t 时刻时刻t+dt 时刻时刻12)(+ =vvu-若火箭在自由空间沿直线飞行，则若火箭在自由空间沿直线飞行，则:F = 0dddd0vmmuttddddvmFmutt ddmvum uv若喷出的气体相对火箭的速率若喷出的气体相对火箭的速率u 恒定恒定, 开始时火箭开始时火箭的质量为的质量为m0, 初速度为初速度为v0, 燃料耗尽时火箭的质量燃料耗尽时火箭的质量为为mf , 速度为速度为vf , 则则 dd0

40、0ffvmvmmvum 00lnffmvvum13 火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。火箭速度的增量与喷出气体的相对速度成正比。与火箭始末质量的自然对数成正比。与火箭始末质量的自然对数成正比。提高火箭速度的途径有二：提高火箭速度的途径有二：第一条是提高火箭喷气速度第一条是提高火箭喷气速度u 大小大小;第二条是加大火箭质量第二条是加大火箭质量比比 m0/mf。00lnffmvvumf00fmmuvvln+=ba 物体在变力的作物体在变力的作用下从用下从a运动到运动到b。 怎样计算这个力怎样计算这个力的功呢？的功呢？采用微元分割法采用微元分割法2. 变力的功变力的功Fbadr 位移内力所作

41、的功为：位移内力所作的功为：drddAFrdFr)()(baA积分形式：积分形式：rFdbaabA 在数学形式上，力的功等于力在数学形式上，力的功等于力 沿路径沿路径L从从a到到b的的线积分。线积分。FF rF- -r图，图，A= =曲线下的面积曲线下的面积直角坐标系：直角坐标系：ddddxyzAFxFyFzbbbaaa dddxyzabxyzxyzAFxFyF z总功总功(N)xyzFF iF jF kdddd(m)rxiyjzk元功元功受力受力元位移元位移自然坐标系：自然坐标系：ba dsabtsAF sd() dt tn ntFrFeF esedtF s（1）平均功率平均功率tAP（2）

42、 功率功率ddAPt恒力的功率：恒力的功率：tAPt0limddAtddrFtvFvFp12d() dbbabnaaAFrFFFr12nniiAAAA3.合力的功合力的功4.功功 率率质点由质点由a运动到运动到b, 合外力做的功为合外力做的功为:abFdr avbv质点的动能定理质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质：合外力对质点所做的功等于质 点动能的增量点动能的增量dbaAFr dbaFr dbamar ddvat dddrSv t dddbavAmv ttdbamv v221122abmvmv212kEmv 动动能能: :kEA 二、动能定理二、动能定理 a.合力做正功时，质点动能增

43、大；反之，质合力做正功时，质点动能增大；反之，质点动能减小。点动能减小。 d.功是一个过程量，而动能是一个状态量，功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系它们之间仅仅是一个等量关系。 b.动能的量值与参考系有关。动能的量值与参考系有关。c.动能定理只适用于惯性系。动能定理只适用于惯性系。几点注意：几点注意：例例7. 利用动能定理重做例题利用动能定理重做例题1-13。 解：解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的功为功为22001()d) d2llAGB xlx g xl gl g 应用动能定理，因初速度为应用动能定理，因初速度

44、为0 0，末速度，末速度v可求得如下可求得如下2222212121lvmvglglgllv)2( 所得结果相同，而现在所得结果相同，而现在的解法无疑大为简便。的解法无疑大为简便。xxlGB2-5 保守力保守力 势能势能一、保守力一、保守力Conservative Force & Potential Energy 功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路功的大小只与物体的始末位置有关，而与所经历的路径无关，这类力叫做径无关，这类力叫做保守力保守力。不具备这种性质的力叫做不具备这种性质的力叫做非保守力非保守力。重力、弹力、万有引力等重力、弹力、万有引力等 摩擦力、粘滞力等摩擦力、粘滞力等 a

45、bpq如图如图: 当质点在保守力的作用下当质点在保守力的作用下沿闭合路径沿闭合路径apbqa 绕行一周时绕行一周时 ，dddapbaqbbqaFrFrFr dd0apbbqaFrFrd0LFr 即即保守力的环流为零。保守力的环流为零。 1. 重力作功重力作功 设质量为设质量为m 的物的物体在重力的作用下从体在重力的作用下从a点任一曲线点任一曲线acb 运动运动到到b 点点。 在元位移在元位移 中，重中，重力力 所做的元功是所做的元功是 dsGdcos dAGscos dmgsdmg hdbaAAdbahhmg h bamghmgh Gdhbahh ahabcbhdhOds 由此可见，重力作功仅

46、仅与物体的始末位置有由此可见，重力作功仅仅与物体的始末位置有关，而与运动物体所经历的路径无关。关，而与运动物体所经历的路径无关。 设物体沿任一闭合设物体沿任一闭合路径路径 运动一周，运动一周，重力所作的功为：重力所作的功为：adbcabaadbmghmghA)(babcamghmghAGdhbahh ahabcbhdhOds0bcaadbAAA0dsGA表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周表明：在重力场中物体沿任一闭合路径运动一周时重力所作的功为零。时重力所作的功为零。742. 弹性力的功弹性力的功 弹簧劲度系数为弹簧劲度系数为k ，一端固定于墙壁，另一端系一端固定于墙壁，另一端系一质量

47、为一质量为m的物体，置于光滑水平地面。设的物体，置于光滑水平地面。设 两点两点为弹簧伸长后物体的两个位置，为弹簧伸长后物体的两个位置， 和和 分别表示物分别表示物体在体在 两点时距两点时距 点的距离。点的距离。ba、ba、oaxbxXOXxbOxax0lXxbOxax0lbaxxxFAdbaxxxkxd222121bakxkx 由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有由此可见，弹性力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。而且，物体从某个位置出发经过关，与具体路径无关。而且，物体从某个位置出发经过任意伸长与缩短（在弹性限度内），再回到原点，弹性任意伸长与缩短（在弹性限度内），再回到

48、原点，弹性力所作的功为零。力所作的功为零。221122abAkxkx=-3. 万有引力的功万有引力的功 两个物体的质量分别为两个物体的质量分别为M 和和m，它们之间有万有它们之间有万有引力作用。引力作用。M 静止，以静止，以M 为原点为原点O 建立坐标系，研建立坐标系，研究究m 相对相对M 的运动。的运动。rdrdbbrFraarmOMrFAddrrmMGdcos20)cos(dcosdrrrrmMGAdd20barrAAdbarrrrmMGd20)11(0barrmMG 由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末由此可见，万有引力作功也仅仅与质点的始末位置有关，与具体路径无关。而且，沿任意闭合

49、路位置有关，与具体路径无关。而且，沿任意闭合路径运动一周时，万有引力所作的功为零。径运动一周时，万有引力所作的功为零。011abAG mM()rr= -21()Amghmgh 重)2121(2122kxkxA弹)()(12rMmGrMmGA引 这三种力对质点作功仅决定于质点运动的始末这三种力对质点作功仅决定于质点运动的始末位置，与运动的路径无关，称为位置，与运动的路径无关，称为保守力保守力。 保守力的判据是：保守力的判据是：小结：小结： 三、势能三、势能 势能：势能：质点在保守力场中与位置相关的能量。质点在保守力场中与位置相关的能量。它是一种潜在的能量，不同于动能。它是一种潜在的能量，不同于动

50、能。几种常见的势能：几种常见的势能：重力势能重力势能mghEp弹性势能弹性势能212pEkx=万有引力势能万有引力势能rMmGEp0 （1 1）势能既取决于系统内物体之间相互作用）势能既取决于系统内物体之间相互作用的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势的形式，又取决于物体之间的相对位置，所以势能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。能是属于物体系统的，不为单个物体所具有。保守力的功保守力的功ppbpacEEEA 成对保守内力的功等于系统势能的减少（或成对保守内力的功等于系统势能的减少（或势能增量的负值）。势能增量的负值）。注意：注意： （2 2）物体系统在两个不同位置的势能差具有）物体系统

51、在两个不同位置的势能差具有一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。一定的量值，它可用成对保守力作的功来衡量。 （3 3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意）势能差有绝对意义，而势能只有相对意义。势能零点可根据问题的需要来选择。义。势能零点可根据问题的需要来选择。势能零点的选择势能零点的选择（1 1）重力势能）重力势能( )pEhmghc重力重力0 势点一般选在物体运动最低点势点一般选在物体运动最低点h = 0 处，则处，则得到得到( )pEymgh00)0(cmgEp0 c弹性弹性0 势点一般选在弹簧的原长势点一般选在弹簧的原长x = 0 处。则处。则（2 2）弹性势能）弹性势能ckxxEp

52、221)(（3 3）万有引力势能）万有引力势能crMmGrEp)(0)(cMmGEp得到得到rMmGrEp)(0 c得到得到221)(kxxEp0021)0(2ckEp0c引力引力0 势点一般选在势点一般选在r 处。则处。则2-6 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律Work-Kinetic Energy Theorem & Principle of Conservation of Mechanical Energy一、一、质点系的动能定理质点系的动能定理kEA 对质点系中任一质点对质点系中任一质点i 应用质点的动能定理应用质点的动能定理, 得得 iikiAAE 外外对所有质点，有对

53、所有质点，有 iikiiiiAAE 外外外力的功外力的功 内力的功内力的功 即即kAAE 外外 外力的总功与内力的总功之代数和等于质点系动外力的总功与内力的总功之代数和等于质点系动能的增量能的增量质点系的动能定理质点系的动能定理 内内内内内内二、二、 功能原理功能原理 kEAA 内内外外AAA()kbkaAAAEE外外()PbPaAEE ()()kp bkp aAAE +EE +E外外pkEEE 机械能机械能AAE 外外故故 质点系机械能的增量等于外力的功和非保守内质点系机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和。力的功的总和。 功能原理功能原理 内内保守内力保守内力非保守内力非保守内力保

54、守内力保守内力非保守内力非保守内力非保守内力非保守内力非保守内力非保守内力而而保守内力保守内力sGG1G2Nfr例例9 9 一汽车的速度一汽车的速度v0 = 36 km/h, ,驶至一斜率为驶至一斜率为0.010的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为的斜坡时，关闭油门。设车与路面间的摩擦阻力为车重车重G 的的0.05 倍，问汽车能冲上斜坡多远？倍，问汽车能冲上斜坡多远？解解1 1：根据动能定理，取汽车为研究对象，受力如图根据动能定理，取汽车为研究对象，受力如图所示。所示。上式说明，汽车上坡时，上式说明，汽车上坡时，动能一部分消耗于反抗摩动能一部分消耗于反抗摩擦力作功，一部分消耗于擦力作功

55、，一部分消耗于反抗重力作功。反抗重力作功。因因 fr = N = G1, ,所以所以20210sinmvGssfr （1）20121sinmvGssG （2）按题意，按题意，tg = 0.010，表示斜坡与水平面的夹角表示斜坡与水平面的夹角很小，所以很小，所以sin tg，G1 G, ,并因并因G = mg, ,上式上式可化成可化成2021vgstggs （3）85 ms )(220 tggvs 或或代入已知数字得代入已知数字得解解2：取汽车和地球这一系统作为研究对象，取汽车和地球这一系统作为研究对象，根据根据功能原理，有功能原理，有)021()sin020 mvGssfr （4）即即 sin

56、2120GsmvGs 85 ms 代入已知数字亦得代入已知数字亦得例例1010 一个质量一个质量m = 2 kg 的物体从静止开始，沿四分之一的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从的圆周从A 滑到滑到B，已知圆的半径，已知圆的半径R = 4 m，设物体在，设物体在B B 处的速度处的速度v = 6 m/s，求在下滑过程中，摩擦力所作的功，求在下滑过程中，摩擦力所作的功。NGfrORABvdcosdvfmgmtdcosdvmgfmamt则则解解1 1：根据功的定义，根据功的定义，以以m 为研究对象，受力分析为研究对象，受力分析. .dAf s阻9000cosddvmgRmv v 221mvmgR解

57、解2 2：根据根据动能定理，动能定理，对物体受力分析，只有重力和对物体受力分析，只有重力和摩擦力作功，摩擦力作功，21cos d2mgsAmv阻90201cosd2AmvmgR阻mgRmv221解解3：根据功能原理，根据功能原理，以物体和地球为研究对象以物体和地球为研究对象0eA,inAA阻pkEEA阻mgRmv2212142.4J2AmvmgR 代入已知数字得代入已知数字得负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力负号表示摩擦力对物体作负功，即物体反抗摩擦力作功作功42.4 J J 3-3 一根原长一根原长 l0 的弹簧，当下端悬挂质的弹簧，当下端悬挂质量为量为m的重物时，弹簧长的重物时，

58、弹簧长l = 2l0 。现将弹簧。现将弹簧一端悬挂在竖直放置的圆环上端一端悬挂在竖直放置的圆环上端A点。设环点。设环的半径的半径R=l0把弹簧另一端所挂重物放在光滑把弹簧另一端所挂重物放在光滑圆环的圆环的B点，如图所示。已知点，如图所示。已知AB长为长为1.6R。当重物在当重物在B无初速地沿圆环滑动时，试求：无初速地沿圆环滑动时，试求： （1）重物在）重物在B点的加点的加速度和对圆环的正压力；速度和对圆环的正压力； （2）重物滑到最低点）重物滑到最低点C 时的加速度和对圆环时的加速度和对圆环的正压力。的正压力。 ABRC目录目录 结束结束cos=1.6R/2R= 0.8agm sinm=tag

59、sin=t= 9.80.6=5.88m/s22FNcos=+cosgmRxbkF=gm0.6R=2N=cosgmcosgm0.6=N=gm0.48gm0.28gm0.2N=N=gm0.2NABRCFNgm解：解：=037目录目录 结束结束C点：点：+=FNRcgmmv2()12Bxk2cos2+ gmR 1.6R+mv212c1Cxk22=an=v2cRg= 0.8an= 0.89.8=7.84m/s2mN =N =v2cR0.8mg NkgmRFCxk=系统机械能守恒，选系统机械能守恒，选C点为零势能点。点为零势能点。gv2c= 0.8 R解得：解得：目录目录 结束结束第五章气体动理论 1.

60、 宏观量宏观量状态参量状态参量 描述宏观属性的相互独立的物理量。描述宏观属性的相互独立的物理量。 如如 压强压强 p、体积、体积 V、温度、温度 T 等。等。 p (pressure)SI单位：单位： Pa 1 Pa = 1 N/m21 mmHg = 1.333 102 Pa 1 atm = 1.013 105 Pa其它单位：其它单位： V (volume)SI单位：单位：m3其它单位：其它单位：1 l = 10-3 m3 1 cm3 = 10-6 m32. 微观量微观量 描述系统内个别微观粒子特征的物理量。描述系统内个别微观粒子特征的物理量。 如分子的质量、如分子的质量、 直径、速度、动量、