魏宗舒版概论3.3

1、一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 二、二维连续型随机变量二、二维连续型随机变量 三、两个常用的分布三、两个常用的分布 四、二维连续型随机变量的独立四、二维连续型随机变量的独立3.3 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布五、小结五、小结n 维随机变量的概维随机变量的概念念1212 , ,(),(),(),(),(),().nnEnnn 设是一个随机试验它的样本空间是设是定义在上的随机变量 由它们构成的一个维向量叫做维随机向量或维随机变量定义定义3.3 元元函函数数个个实实数数对对于于任任意意nxxxnn,2112(,).n称 为 随 机 变 量的 联 合 分 布 函

2、数121122( ,),nnnF x xxPxxx1122() ()()nnPxxx图示图示 （ ）( ) , ,( )( ),( , ),.E 设 是一个随机试验 它的样本空间是设和是定义在 上的随机变量由它们构成的一个向量叫作二维随机向量或二维随机变量一、二维随机变量及其分布函数 定义定义2.二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义分布函数的定义 ( , ), ,: ( , )()(),( , ),.x yF x yPxyPxy 设是二维随机变量对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数或称为随机变量 和 的联合分布函数xoy),(yx , xy. ),(域域

3、内内的的概概率率在在如如图图所所示示区区的的函函数数值值就就是是随随机机点点落落yxF(2) 分布函数的性质分布函数的性质),(),(,),(11212oyxFyxFxxyyxyxF 时时当当意意固固定定的的即即对对于于任任的的不不减减函函数数和和是是变变量量).,(),(,1212yxFyxFyyx 时时当当对对于于任任意意固固定定的的, 1),(02o yxFo3 , y对于任意固定的, 0),(lim),( yxFyFx且有且有,x对对于于任任意意固固定定的的, 0),(lim),( yxFxFy, 0),(lim),( yxFFyx. 1),(lim),( yxFFyxo4( , )(

4、0, ),( , )( ,0),( , ),.F x yF xyF x yF x yF x yxy即关于右连续 关于也右连续xoyyxo112212125( ,),(,),x yxyxxyy对于任意. 0),(),(),(),( 21111222 yxFyxFyxFyxF有有证明证明1212,P xxyy , 0 212,PxyYy22,Pxy. 0),(),(),(),(21111222 yxFyxFyxFyxF故故112,Px yy 21,Pxy12,Pxy11,Pxy06 边际分布函数( , )( , )F x yF x y 若二维随机变量（ ， ）的联合分布函数已知，则其两个分量 与的

5、分布函数可由求得：(x)(,)( ,)FPxF x ( ),( )( ,)FxFyF x y 我们称是联合分布的边际分布函数，简称分布函数。(y)(,)(, )FPyFy ( , )( , ),( , ),( , )( , ) d d( , ),( , )( , ),.yxF x yp x yx yF x yp u vu vp x y 对于二维随机变量的分布函数如果存在非负的函数使对于任意有则称是连续型的二维随机变量 函数称为二维随机变量的概率密度 或称为随机变量 和的联合概率密度1.定义定义3.4二、二维连续型随机变量(2)( , ) d d(,)1.p x yxyF ( , )( , )

6、d d .GPGp x yxy .),()(01 yxp2.性质性质(3), ( , )G xOyG 设 是平面上的一个区域 点落在 内的概率为2( , )(4)( , ) ( , ),( , ).F x yp x yx yp x yx y 若在连续则有p( , )x y 若二维连续随机变量（ ， ）的联合密度函数已知.(x)(= (,)( ,)=( , )( , )xxFPxPxF xpd dpdd ）( )( )( , )FxPxFxP xd 可知是一个连续型分布函数，其密度函数 （-()()(,)Fypypy d 同 理也 是 连 续 型 分 布 函 数 ，其 密 度 函 数 ：( ),

7、( )pxpy我们称为二维随机变量 和的边际分布密度函数。表示介于表示介于 p(x, y)和和 xOy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1.( ,)( ,) ddGPGp x yxy ( , ) 1,p x y dxdy 3.说明说明( , ) ,( , ).PGGzp x y 的值等于以 为底 以曲面为顶面的柱体体积.),(,表表示示空空间间的的一一个个曲曲面面几几何何上上yxpz 例例 1设连续型随机变量设连续型随机变量 的概率密度函数为的概率密度函数为（ ， ）2(),0,0( , )0,x yCexyp x y 其它求求(1) 常数常数C; (2) 分布

8、函数分布函数F(x,y); 解解 (1) 因为因为 1),(dxdyyxf所以所以2()0022001C1 12 2C=4x yxyedxdyCedxedyC 则4求（ ， ）落在图中区域G内的概率3.( ),( )( ),( ).FxFyfxfy求边际分布函数以及相应的边际密度函数 2()22004(1)(1),0,0,0 xyu vxyedudveexy 其它.（3）2 ()00()(,)4,00,0 xxFxpddeddxx 21,00 ,0 xexx( ,)xyfx y dxdy (2) F(x, y) =-2-21-,02,0),( )0,00,0yyeyeyF yP yF yyy同

9、理可得 （( , )4.P( ,)( ,)x yGGp x y dxdy 112()00122(1)20(4)2(1)1 3yx yyyedx dyeedye -22,0( )(0,0 xexP xFxx） 的边际密度为的边际密度为1.均匀分布均匀分布定义定义 设设 G 是平面上的有界区域是平面上的有界区域,其面积为其面积为 A,若二若二维随机变量维随机变量 具有概率密度具有概率密度则称则称 在在 G上服从上服从均匀分布均匀分布.1,( ,),( ,)A0,.x yGp x y其它三、两个常用的分布 （ ， ）（ ， ）2.二维正态分布二维正态分布若二维随机变量若二维随机变量 具有概率密度具有

10、概率密度2211222221 212()2 ()() ()1 2(1)21 21( , )21x x y y p x ye121212,0,0, 11. 其中为常数(,),xy 1212( ,),. 则称服从参数为的二维正态分布 记为221212( , ) (,)N ( , ) 二维正态分布的图形二维正态分布的图形解解 令令则有,2211yvxu22221( )( , )11exp(2)2(1)21Xfxf x y dyuuvdv dvuveu)1 (2)(exp12121222212可见可见 例例2 设设 服从服从N(1,12,2,22,)，求边缘密度。求边缘密度。( , ) 221122

11、(, ) , (, ).NN 2222()221()2yfye 类 似似 地地 有有222121221()2111( )2212utxfxeedte 2,1vutp令 定义定义3.5 四、二维连续型随机变量的独立性四、二维连续型随机变量的独立性( , ),( ),( ),( , )( )( )F x yF xFyx yF x yF xFy 设二维随机变量（ ， ）的联合分布函数为又 与 的分布函数为若任意的（ , )有 则称随机变量 与 是相互独立的。 定理定理1 若若 的联合密度的联合密度 处处连续，处处连续， 相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是 ( , )( )( )( )(

12、 )xyF x ypu dupv dvFxFy 与( , ) p(x,y)( ,)( ).()p x ypxpy( ,)( ).( )x ypxpy解;充分性 已知p( ,)( ).( ).p x ypxpy故()( )()( )xyxypu dupv dvppv dudv( , )xyp u v dudv ( , )( ).( )F x yF x Fy 设 与 相互独立，则 必要性：必要性：221212( , ) (,0)N 若二维随机变量，问 与 是否独立？22122212()()1212,)1(,)2xyp xye 解 ： (有 密 度 函 数2211() /2( )112xpxe容易得

13、 例3( ,)( )( ),p x ypx py显然 则 与 相互独立。=0同样有：若与相互独立，则必有。2()2222()212ypye 同理 222121结论：对二维正态分布N(, ),来说 =0是随机变量 与 相互独立的充要条件。五、小结1. 二维随机变量的联合二维随机变量的联合 分布函数分布函数(,),.Fx yPxyo21211(,)(,),xxF xyF xy当时 ,1),(02o yxF.1),(lim),( yxFFyxo3( , )(0, ),( , )( ,0),( , ),.F x yF xyF x yF x yF x yxy即关于右连续 关于也右连续2. 二维连续型随机变量的概率函数二维连续型随机变量的概率函数.d),(),(vuvupyxFyxd .),()(01 yxp(2)( , )(,)1.p x y dxdyF 2(,)( 4 )(,) .Fxypxyxy性质：(3) ( , )( ,) ddGPGp x yxy 3.二维随机变量相互独立二维随机变量相互独立1 .( , )( )( )F x yF xFy（）与 相互独立2 . ( , )( ).( )p x ypx py（ ） 若（ ， )是连续型，则 与 相互独立2223 . 121（ ）=0是 N(, )的变量与 相互独立的充要条件。解解(1)( , )d d1,p