第3章 静定梁和静定刚架

1、第三章 静定梁和静定刚架3-1 单跨静定梁3-2 多跨静定梁3-3 静定平面刚架3-4 少求或不求反力绘弯矩图3-5 静定结构的特性31 单跨静定梁 单跨静定梁应用很广，是组成各种结构的基本构件之一，是各种结构受力分析的基础。这里做简略的回顾和必要的补充。1. 反力常见的单跨静定梁有：简支梁外伸梁悬臂梁反力只有三个，由静力学平衡方程求出。A2qaaa 练习：求图示梁的支反力练习：求图示梁的支反力=-+0qaFF Fy=0BA=+0232qaaqaa-FB=-=qaFqaFBA2523取梁整体：取梁整体：解：解：FAFBA2qaaa MA=0( )( )BCqBCq一、梁的弯曲内力一、梁的弯曲内

2、力1.1.横截面上存在两种内力横截面上存在两种内力: : 剪力剪力FS: 相切于横截面的内力系的相切于横截面的内力系的合力合力, ,作用线通过形心作用线通过形心; ;弯矩弯矩M: 垂直于横截面的内力系的垂直于横截面的内力系的合力偶合力偶, ,矩心为横截面形心矩心为横截面形心; ;42 剪力和弯矩，剪力图和弯矩图剪力和弯矩，剪力图和弯矩图FABablFAFBFAASFMCbFMbFMMAAC0:0=-=ASSAyFFFFF=-=0:0截面法：切、代、平截面法：切、代、平FBFBSFM取右半边梁，同样可算出取右半边梁，同样可算出FS, M取左半边梁取左半边梁: 作用力与反作用力作用力与反作用力mm

3、3.内力的正负规定:剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩M：使微段梁产生下凹形的为正弯矩；反之为负弯矩。Fs(+)Fs()Fs()Fs(+)M(+)M(+)M()M()下侧受拉为正（左顺右逆）下侧受拉为正（左顺右逆）左上右下为正左上右下为正2. 内力 一般横截面上有三个内力分量:FN、Fs、M。基本方法截面法。AKFAyFNFsMF1KABF1F2FAx 截面法截面法是将结构沿所求内力是将结构沿所求内力的截面截开，取截面任一侧的部的截面截开，取截面任一侧的部分为分为隔离体隔离体，由平衡条件计算截，由平衡条件计算截面内力的一种基本方法。面内力的一种基本方法。 轴力轴力FN 拉力

4、为正；拉力为正； 剪力剪力Fs 绕隔离体顺时针转为正绕隔离体顺时针转为正(左上右下左上右下为正为正)； 弯矩弯矩M 使梁下侧受拉为正使梁下侧受拉为正(左顺右逆左顺右逆为正为正) 。 FN 数值等于该截面一侧所有外力(包括荷载和反包括荷载和反力力)沿截面法线方向投影的代数和。（拉力为正）拉力为正） Fs 数值等于该截面一侧所有外力沿截面切线方向投影的代数和。（左上右下为正） M 数值等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。（左顺右逆为正）)(kN290)(kN150y=BABFFFMmkN26)5 . 12(8215kN781511S=-=-=MFmkN3025 . 15 . 1125 .

5、 129kN11295 . 11222S=-=-=-=MF例例 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1- -1 1与与2 2- -2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNAB15kN29kN解：解：1 1、求支座反力、求支座反力2 2、计算、计算1-11-1截面的内力截面的内力3 3、计算、计算2-22-2截面的内力截面的内力15kNF=8kNS1F1M29kNq=12kN/mS2F2M例：求指定截面上的内力例：求指定截面上的内力 FsA左左，FsA右右，FsD左左，FsD右右，MD左左，MD右右 。解：解： FA = 14.

6、5 kN () FB = 3.5 kN ()CmkNq3=M=3kN.m2m2m4mADB14.5kN3.5kNKNqQA62- -= =- -= =左KNRQQQBDDD5 . 3-=-=右左kNsFA632-=-=左kNFSA5 . 8325 .14=-=右kNFFSDSD5 . 3-=右左看截面看截面A左侧左侧看截面看截面D右侧右侧mkNMD.435 . 32=-=左mkNMD.463215 .1442=-=左mkNMD.73632145 .142=+-=右mkNBDM.75 . 32=右看截面左侧看截面左侧mkNq3=M=3kN.m2m2m4mADB14.5kN3.5kN看截面右侧看截

7、面右侧看截面左侧看截面左侧看截面右侧看截面右侧mkNq3=M=3kN.m2m2m4mADB14.5kNM图图绘在杆件受拉侧，无需标注正负号。绘在杆件受拉侧，无需标注正负号。FN图、图、 Fs图图可绘在杆件任一侧，需标注正负号可绘在杆件任一侧，需标注正负号作内力图的方法：作内力图的方法： 列内力方程法、微分关系、叠加法列内力方程法、微分关系、叠加法3. 利用微分关系作内力图 梁的荷载集度 q 、剪力 Fs 、弯矩 M 三者间存在如下的微分关系：)(xqdxdFs-=FsdxdM=)(22xqdxMd-=Ax(b)F(a)FdxF +dFM+dMMAyFBFFeMAq(x)BqSSS据此，得直梁内

8、力图的形状特征利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）梁上情况q=0Fs Fs 图图M M 图图水平线斜直线q=常数q qq q斜直线抛物线Fs=0 处有极值F 作用处有突变突变值为F有尖角尖角指向同F如变号有极值 m作用处无变化有突变 铰或自由端 (无m）M=0 )(xqdxdFs-=FsdxdM=)(22xqdxMd-= M图为直线的区段，可利用微分关系直接求得图为直线的区段，可利用微分关系直接求得Fs图：图： M图的斜率即为图的斜率即为Fs，如段梁的剪力值为：，如段梁的剪力值为： 剪力正负号的判定：剪力正负号的判定：若弯矩图是从基线顺时针方向转的（若弯矩图是从基线顺时针方向转的（

9、以小于以小于90的转角），则剪力为正的转角），则剪力为正，反之为负。，反之为负。Fs=M/l2、图示多跨静定梁，在截面、图示多跨静定梁，在截面 点处，点处，Fs图和图和M图均连续。图均连续。思考题思考题BA简易法绘制内力图的一般步骤： （1）求支反力; （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点，如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：选定控制截面,如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各控制点。 （4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。4. 利用叠

10、加法作弯矩图 当梁同时受几个荷载作用时，用叠加法作弯矩图很方便。当梁同时受几个荷载作用时，用叠加法作弯矩图很方便。此时可不必求出支反力。此时可不必求出支反力。 设从梁上任取一段AB 其受力如（a）图所示，（b） 因此，梁段AB的弯矩图可先绘出梁两端力偶MA、MB和分布荷载q分别作用时的弯矩图，再将两图的竖标叠加，即可求得所求的弯矩图。MAMB+8qL2ABLMAMB（a a）MAMBABMAMB8qL2 则它相当（b）图所示的简支梁。 实际作图时，先将两端弯实际作图时，先将两端弯矩矩MA、MB绘出并联以绘出并联以虚线虚线，再以此虚线为基线绘出再以此虚线为基线绘出简支梁简支梁在荷载在荷载F作用下

11、的弯矩图作用下的弯矩图。 值得注意的是竖标值得注意的是竖标Fab/l仍应沿竖向量取仍应沿竖向量取(而非从垂直而非从垂直于虚线的方向量取于虚线的方向量取)。最后所。最后所得的图线与水平基线之间的图得的图线与水平基线之间的图形即为叠加后所得的弯矩图。形即为叠加后所得的弯矩图。 (b)lFabMAMB(a)FalbAAMBBM 这种方法只需将两杆端弯矩求出并连以直线（虚线），然这种方法只需将两杆端弯矩求出并连以直线（虚线），然后，在此基础上叠加相应简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法后，在此基础上叠加相应简支梁在荷载下的弯矩图，这种方法称为称为区段叠加法区段叠加法或或简支梁叠加法简支梁叠加法，简称，简称

12、叠加法叠加法。 P29 例 3-1 作梁的 Fs、M 图。解：首先计算支反力 由MB=0, 有 RA820930754410+16=0 得 RA=58kN（） 再由Y=0, 可得 RB=20+30+5458=12kN（） FAy=58kN（）FBy=12kN（）作剪力图（简易法）作弯矩图： 1.分段：2.定点:MC=0 MA=20kNmMD=18kNm ME=26kNmMF=18kNm MG左=6kNmMG右=4kNm MB左=16kNmMC=0, MA=201=20kNmMD=202+581=18kNmME=203+582301=26kNmMF=12216+10=18kNmMG左=12116

13、+10=6kNmMG右=12116=4kNm MB左=16kNm3.联线FAyFBy20388 Fs Fs图图(kN)(kN)201826186416 M M图图(kN(kNm)m)0108452=12 分为CA、AD、DE、EF、FG、GB六段。 Fs Fs图图(kN)(kN)几点说明： 1.作EF段的弯矩图用简支梁叠加法2.剪力等于零截面K 的位置 3.K截面弯矩的计算MK=ME+FsE x=26+81.6=32.4kNmFsK=FsEqx=85x=0 FAyFByKMmax=32.4knN M M图图(kN(kNm)m)x=1.6m38812 Fs Fs图图(kN)(kN)20Kx1.6

14、mMk2615222qx32 多跨静定梁 1.多跨静定梁的概念 若干根梁用铰相联,并用若干支座与基础相联而组成的静定结构。 2.多跨静定梁的特点:(1)几何组成: 可分为基本部分和附属部分。基本部分： 不依赖其它部分的存在而能独立地维持其几何不变性的部分。附属部分： 必须依靠基 本部分才能维持其几何不变性的部分。如BC部分。层叠图： 为表明梁各部分之间的支撑关系，把基本部分画在下层，而把附属部分画在上层，如(b)图所示，称为层叠图。（a）（b b）如：AB、CD部分。基本部分基本部分 基本部分基本部分 ABCD(b)(a)（2 2）受力分析）受力分析: : 作用在基本部分上的力不传递给附属部分

15、作用在基本部分上的力不传递给附属部分, ,而而作用在附属部分上的力可传递给基本部分，如图作用在附属部分上的力可传递给基本部分，如图. . 注意注意: : 多跨静定梁的内力计算顺序可根据作用于结构上的荷多跨静定梁的内力计算顺序可根据作用于结构上的荷载传力路线决定载传力路线决定, , 先附属部分后基本部分先附属部分后基本部分，从最上层的附属部分，从最上层的附属部分开始，将附属部分的支反力反向施加于基本部分进行计算。开始，将附属部分的支反力反向施加于基本部分进行计算。（a）（b）BAF1F2FBFCF2F1练习练习:区分基本部分和附属部分并画出关系图区分基本部分和附属部分并画出关系图P33 例 3-

16、2 计算下图所示多跨静定梁 解：分析几何组成解：分析几何组成基本部分基本部分: AB、CF附属部分附属部分: BC 画层叠图(b)按先属附后基本的原则计算各支反力(c)图。逐段作出梁的弯矩图和剪力图。101012125 5 M M图图 (kN(kNm)m)18185 52.52.59.59.5 Fs Fs图图(kN)(kN)10109 95 512120 00 0（a)5 55 55 54918kNm5 56kN/m7.521.53 30 0(c)ABCDEF4kN10kN6kN/m2m2m2m2m2m2m2m(b)10kNBCABCDEF铰铰B处的的集中荷载处的的集中荷载4kN完全由悬臂完全

17、由悬臂AB(基本部分基本部分)承受承受.校核： Fs: 集中力作用处、支座处有突变，突变方向从左-右看，与集中力方向一致。P36例 34 作此多跨静定梁的内力图解： 本题可以在不计算支反力的情况下，首先绘出弯矩图。弯矩为直线的梁段， 在此基础上，剪力图可据微分关系或平衡条件求得。例如：FsCE=2kNFsB右=7.5kNkN2444=+可利用微分关系计算。如CE段梁：FsCE=弯矩图为曲线的梁段，可利用平衡关系计算两端的剪力。如BC段梁,由MC=0, 求得：kN5 . 7424244=+-FsB右=RA=11.5kNRC=10.5kNRE=4kNRG=6kNRA=11.5kNRC=10.5kN

18、RE=4kNRG=6kN4 48 85 52 22 24 47 75 54 44 4 M M图图 (kN(kNm)m)4 40 00 082 20 00 0 Fs图图（kN) 按一般步骤是先求出各支座反力及铰结按一般步骤是先求出各支座反力及铰结处的约束力，然后作梁的剪力图和弯矩图。处的约束力，然后作梁的剪力图和弯矩图。 但是，如果能熟练地但是，如果能熟练地应用弯矩图的形状应用弯矩图的形状特征以及叠加法特征以及叠加法，则在某些情况下也可以，则在某些情况下也可以不不计算反力计算反力而首先绘出弯矩图。而首先绘出弯矩图。ll/2l/2PllMMl/2l/2Pl/2l/2l/2PlP41lP41l/2l

19、/2l/2l/2l/2qqllP412q41l2q41l例如例如BC段梁，取段梁，取BC梁为隔离体，由梁为隔离体，由 和和 可分可分别求得：别求得： 剪力图作出后，可由结点平衡来求支座反力。剪力图作出后，可由结点平衡来求支座反力。取结点为隔离体，由取结点为隔离体，由 可得：可得：0CM=()442kN4S CEF+=0BM=4 4 2428.5kN4LSCF- -+= -4 4 2427.5kN4RSBF -+=0yF=8.5210.5kN()CF =+=图3-12(c )(b )(a )4 m4 k N /m1 m2 m2 m2 m2 k NGHDEFC1 m6k N4k N2 mA241

20、0 .5k N1 1 .5k N448M图 (k Nm)FS BRLS CFB2 k N m4 k N mC4 k N /m4A(d )(e )47 .58 .5224CF2 k N8 .5 k NCFS图 (k N)BA多跨静定梁的受力特点：多跨静定梁的受力特点： 弯矩较小而且均匀。在荷载与跨度总长相同的情况下，弯矩较小而且均匀。在荷载与跨度总长相同的情况下，多跨静定梁与一系列简支梁相比，材料用料较省，但由于有多跨静定梁与一系列简支梁相比，材料用料较省，但由于有中间铰，使得构造上要复杂一些。中间铰，使得构造上要复杂一些。 281qlqllxlx172. 0=2086. 0ql2086. 0q

21、l2086. 0qlq22125. 081qlql =33 静定平面刚架 1.刚架的概念： 2. 刚架的基本型式（1）悬臂刚架（2）简支刚架（3）三铰刚架由直杆组成的具有刚结点的结构。3. 计算刚架内力的一般步骤: （1）计算支反力，一般支反力只有三个，由平衡方程求得。三铰刚架支反力有四个，还可利用中间铰处弯矩为零的条件建立一个补充方程。 （2）按“分段、定点、联线”的方法，逐杆绘制内力图。说明：（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Fs、FN的正负号规定同梁。Fs、FN图可画在杆的任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截面的内力用两个下标表示，例如：MAB表示AB杆A端的弯矩

22、。MMABABP38 P38 例例3-53-5 作图示刚架的内力图作图示刚架的内力图解：解：（1）计算支反力）计算支反力由X=0 可得：HA=68=48kNFAx=48kN，由MA=0 可得：RB=kN426320486=+FBy=42kN由Y=0 可得： VA=42-20=22kNFAy=22kN（2）逐杆绘）逐杆绘M图图CD杆：MDC=0MCD=mkN482462=（左）MCD=48kNm（左）CB杆：MBE=0MEB=MEC=423 =126kNm（下）MEB=MEC=126kNm（下）MCB=426-203 =192kNm（下）MCB=192kNm（下）AC杆（计算从略）MAC=0MC

23、A=144kNm（右）48192126144（3）绘Fs图CD杆：FsDC=0, FsCD=24kNCB杆：FsBE=-42kN, FsEC=-22kNAC杆：FsAC=48kN, FsCA=24kN22kN22kN48kN48kN42kN42kN（4）绘N图（略）（5）校核:内力图作出后应进行校核。M图:通常检查刚结点处是否满足力矩的平衡条件。例如取结点C为隔离体（图a），MC=48192+144=0满足这一平衡条件。Fs(FN)图： 可取刚架任何一部分为隔离体，检查Fx=0和Fy=0是否满足。 例如取结点C为隔离体（图b），Fx=2424=0Fy=2222=0满足投影平衡条件。（a a）C

24、48kN48kNmm192kN192kNmm144kN144kNmm（b b）C有:24kN 0 22kN024kN 22kN有：34 少求或不求反力绘制弯矩图 弯矩图的绘制，以后应用很广，它是本课最重要的基本功之一。 静定刚架常常可少求或不求反力绘制弯矩图。 基本技巧P42：1. 悬臂及简支部分，弯矩图先绘出。2. 充分利用弯矩图的形状特征(铰处为零，无荷直杆段弯矩图为直线，剪力相同区段弯矩图斜率相同等）。 3.刚结点处的力矩平衡条件。4. 用叠加法作弯矩图。5. 平行于杆轴的力及外力偶产生的弯矩为常数。6. 与杆轴重合的力不产生弯矩等。 其他技巧的利用：MM 连接两个杆端的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两个连接两个杆端的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两个杆端的弯矩值相等，方向相反。杆端的弯矩值相等，方向相反。P42例3-8 绘制刚架的弯矩