汤普森群及其性质

1、苏州大学本科生毕业设计（论文）本 科 毕 业 设 计（论 文）学院(部)数学科学学院题 目汤普森群及其性质年 级2014级专业数学与应用数学班 级基地班学号1407402016姓 名江宜原指导老师吴建春职称副教授论文提交日期2018年5月9日目录第1章 分段线性同胚，分段点的定义(2)第2章 汤普森群的定义及其图像(4)第3章 树对图(5)第3.1节 树对图和同胚(5)第3.2节 简化树对图(6)第3.3节 树的乘法(7)第4章 汤普森群F的表现及其标准型(9)第4.1节 无限表现(9)第4.2节 标准型(9)第4.3节 正规标准型(10)第4.4节 有限表现(10)第5章 代数结构(13)第

2、5.1节 子群(13)第5.2节 交换群的同态(13) 第5.3节 两个基本定理(14)摘要在这里，我们将调查几何群理论中的一组群，汤普森群F.这个群似乎无处不在.它最初是由理查德汤普森在1965中提出来的，他正在这个群里研究其元素的一些问题.自此，汤普森群出现在逻辑、同伦理论、范畴理论、形状理论、映射类组和数据存储的上下文中.In this office hour we will investigate one of the most well-studied groups in geometric group theory, Thompsons group F . This group s

3、eems to be ubiquitous. It was first defined in 1965 by Richard Thompson, who was studying the word problem for groups. Since then, the group F along with its cousins T and V has arisen in the contexts of logic, homotopy theory, category theory, shape theory, mapping class groups, and data storage. T

4、hompsons enigmatic group F has a number of seemingly paradoxical behaviors. For instance:1.F is finitely presented and it contains a copy of F F ,2.F is (again) finitely presented and is an HNN extension of itself, andF has exponential growth but contains no free groups of rank 2.关键词分段线性同胚、二叉树对图、有限表

5、现、无线表现前言我们对汤普森群F有三种不同的描述：作为一组0,1上的分段线性同胚的解析性质；在几何层面上，有如根的二叉树形式的图形；在标准型和关系上的组合.关于F还有很多其他的描述.事实上并没有F的原始描述.汤普森最初描述F为有限多个变量的一组关联词语，可以看作是对树的描述.汤普森群也可以被描述为一个图组，利用对树对图的描述和所在群的乘法运算成为一个图的组合.汤普森群是理查德汤普森在几份未发表的手写笔记中，提出的三个群，通常记为FTV.内容简介：上述提到的三个群里最广泛研究的是群F.这里的汤普森群是单单指群F.从群的基础开始介绍汤普森群，从它的构建条件二元有理数的分段线性同胚到其树对图和代数结

6、构的性质都有一一的阐述.第1章 分段线性同胚，分段点的定义在讲汤普森群F的定义之前，要先认识一下分段线性同胚.一个分段线性同胚的单位区间0，1,它是一个双射0，10，1，并且存在连续逆函数.这样一个函数的图像位于二维空间0，10，1,并且具有每一条水平线和每一条垂直线与图像在一点相交的性质（即图像是保定向的，必单调递增）.1注：一个0，1上的分段线性同胚是在0，10，1上的一个有限线段组合的图形.这些线段的斜率要么全部是正的，要么都是负的.这里只考虑保持定向的0，1分段线性同胚，即所有的斜率为正（等价地，分段线性同胚保留0和1的定位即确定图像的两个端点）.这些同胚保持左0, 右1的方向.这些0

7、，1上的分段线性同胚形成了一个群，同时也有乘法群中的同胚，逆的性质.现举例：图：插值之间两个细分区间0,1和0,1进行的分段线性同胚来自文献1下面是一般情况下可以保持定向分段线性同胚性的方法.引入一个正整数n，在0，1上选择n个点，最开始和最末端的两点给予0和1，0=p1p2pn=1,0=q1q2qn=1.然后在0，10，1上画出各个点（p1，q1）（pn，qn）.最后，把点按顺序逐线段连接起来.任何pi和qi的选择，都是基于这是一个保向分段线性同胚0，1图的前提.更重要的是，这个方法使每一个在0，1上的分段线性同胚保持方向.定义1.1：将（pi，qi）定义为分段点（连接点），（qi+1-qi

8、）/（pi+1-pi）定义为点（pi，qi）的右斜率，也是点（pi+1，qi+1）的左斜率.从分段点的描述中，在0，1可以看到有不计其数保持方向的同胚.所以迄今为止得到的群是不可数的.需要要增加更多的限制来获得一个可数的群.定义1.2：“二元有理数”是整数k和n组合的有理数k/2n.在0，1上的保向分段线性同胚，会考虑那些具有以下属性的群：1.有许多有限的分段点，每一个分段点都是一对二进有理数.2.所有斜率都为2的次幂.下面来证明这种在二维空间0，10，1的二元有理数同胚按照函数复合运算构成的是一个群F：1. 单位元为恒等变换e(t)=t,0t1任意fF，ef=fe=f,可知e为单位元.2.

9、每个元素f都有其逆元g.任意fF，存在gF，若点（pi，qi）是f的分段点，那么点（qi，pi）是g的分段点，可以使得fg=gf=e（e为单位元）.3. 元素的乘法满足结合率函数复合运算本身就满足结合率.证毕.第2章 汤普森群的定义及其图像定义2.1:在二维空间0，10，1的一些二元有理数分段线性同胚按照函数复合运算构成的群即为汤普森群F.也可以说，一个分段线性同胚是汤普森群F中的一个元素.分段点可以在其图像上能清晰地看出，即为两个线段之间的连接点（包括左右两端点）.下面举两个例子：x0(t)= x1(t)= 第3章 树对图现在将给出一种完全不同的方法来表示F的元素.第一个定义是在微积分的基础

10、上的；第二个定义是在组合和图形理论的基础上的.在这个新定义中，F中的元素将由一对有根二叉树表示.一个有根的二叉树是由一组二进制的插入符组成，每一个插入符的顶部都有一个父节点，两个向下的边缘和底部有两个子节点.与插入符数相同，数对图有两个树.3.1 树对图和同胚下面是如何从树对图得到一个在0,1上的分段线性保向同胚的方法.每一棵树都可以看作是按连续减半程序细分单元间隔0，1的指令.从根节点（根的符号的父节点）和单元间隔0，1出发，0和1是它的两个端点.根的符号对应于将整个区间的一半，将区间0，1细分成新的区间0，1.1每个附加符号指定一个区间要减半，引入一个新的点来进行细分.例如，如果根节点的右

11、子节点有一个符号连接，那么区间,1要细分，引入来进行细分，获得新的细分0,1；可见：来自文献1在这种方式中，树的每个节点对应0，1上的一个区间.如果一个节点是另一个节点的一个子节点，这意味着对应第一区间包含在对应第二区间里.因此，每个根二叉树有n个叶节点（叶节点是无子节点的节点，即价为1），我们将单位区间细分成段，每个长度为2-k（k是深度，或从根到相应节点的距离），在细分中包含n+1点.给定一对相同数目叶节点的树，我们将分段线性插值间进行细分，从而得到F中的元素.我们可以画出上面x0和x1的数对图：3.2 简化树对图群F中的一个元素f对应着有许多树对图（这样的“许多”是无限多）.例如，如果S

12、和T是同一棵树对图上的，那么（S，T）代表了身份同胚，即为该元素的树对图.给一个元素f的代表树对图，可以通过引入新的分支（细分）同时在两树生成新的对应的叶子节点，从而获得一个创建额外代表的不同的树对图代表元素f.当对比各个连接点形成的同胚，发现新树对图对应的分段线性保向同胚都是一样的，只是出现一个在线段中间部分的额外的点.一个例子是如图所示，已经在每个树的相应节点图添加了虚线符号.图片会越来越复杂，我们将不再在0，1上标签节点.为了保持轨道的叶节点对应于彼此，我们可以按从左到右的顺序用0到n标记每棵树的叶节点.但这就导致产生了简化树对图的概念.如果有个i使得在树的第i个和第（i+1）个叶节点的

13、是同一个父节点的子节点，那么这树对图是不可简化的.不可约的树对图会逐渐减少，因此我们要去除冗余对（即对产生的树的节点重新编号）.图中的树对图是可以简化的，因为叶节点1和2在两个树中都是同一个父节点的子节点.来自文献1所以说，如果两个数对图可以简化成一个相同的，那么它们是等价的；这是因为在F中所对应的元素是相同的.在每一个这样的等价类中，这是一个独特的不可简化的树对图.3.3 树的乘法从树对图的角度来看，F中的乘法如下：将两个树对图（S1，T1）和（S2，T2）相乘，得（S2，T2）（S1，T1）（这里的乘法是函数组合形式），比较T1和S2.如果它们是相同的，那么立即将其组成为（S1，T2）.但

14、它们有可能不相同，在这种情况下，通过创建两个减数代表对树对图的两个等价类，使中间两树相吻合.找到对应的代表（S1,T1）（S1，T1）和（S2，T2）（S2，T2），这里的树T1和S2是相同的.可以这样做来不断扩大子节点，即通过增加插入符和创建新的子节点.具体来说，扩大了不是子节点S2的子节点T1，然后同样扩大不是子节点T1的叶节点S2，所有的都是在以不改变元素的同时扩大在节点S1和T2上的子节点.如果认为树T1和S2都为无限的二叉树，我们就有T1= T1S2=S2.一旦有适当的代表，我们就有（S2，T2）（S1，T1）=（S1，T2）.给定元素（S1，T1）和（S2，T2）的树对图让它们相乘

15、，在同一组的元素添加虚线分支和编号从而创建新的树对图（S1，T1）和（S2，T2）.其中的T1和S2是相同的，可以得到：（S2，T2）（S1，T1）=（S1，T2）.下图如是：得到（S1，T2）：来自文献1第4章 汤普森群F的表现及其标准型给汤普森群F作两个群的表现，第一个是无限且对称的，第二个是有限的.4.1 无限表现一个标准的无限表现群F有无限多的标准型和关系.对于每个整数i0都有一个xi，当0i j，有以下表现：F（x0,x1,|xi-1xjxi=xj+1,ij）.这与先前对F的描述一致，x0和x1线正好与分段线性取向保持同胚x0和x1，正如看到的，当i2时，我们有xi+1=x0-1xi

16、x0.所以认为，F是由前面所说的两个元素x0和x1产生.下面将会来证明这一点.所有的关系都可以将低标志标准型转化成高标志标准型到下一个标准型.如果给予一个F的元素xi，这些关系是通过移动其逆到另一方的一种简单方法.例如，有x4x0 = x0x5.移动x0到x4的左边来改变4到5的关系.我们可以重写这个等式：x0-1x4 = x5x0-1.这种情况下，移动x0-1可再次改变4到5的关系.4.2 标准型对正常形式直角群用来解决那些组字问题.我们的想法是，如果想知道群中的两个形式是否代表同一个元素，那么应该把这些词转换成它们的标准型，并比较它们.如果每个组元素有一个唯一的标准型，那么就解决了问题.回

17、到群F.如果给予一个F的元素xi，我们可以用上述的定义关系推动所有低指数标准型正指数到前面和低指数标准型负指数到后面.如果这样做，可以得到F中元素的标准型：前面xi的正常形式，xi的指数为正，且以i递增，后面的xi的指数为负，且以i递减.它是这样的一个形式：xi1r1xi2r2xikrkxjl-slxj2-s2xj1-s1,其中所有的指数满足ri,si0，排列i1i2ik和j1j21时，xi=x0-i+1x1x0i-1.界定关系的无限集合显然也有一些冗余.例如，考虑关系：x2-1x5x2=x6.如果结合整个表达的x0-1，提高各项指数，获得的结果为：x3-1x6x3=x7.这两个等式在上面给出

18、的无限群关系中表现为两种不同的关系形式.事实上，所有这些无限多关系都可以是两个非平凡关系的结果.通过上面的关系我们可以得到x2、x3、x4但是总有一些xi无法用x0和x1产生，所以需要再加入两个关系：x1x0-1x1x0x1=x0-2x1x02, x1-1x0-2x1x02x1=x0-3x1x03.这些是长度为10和14的关系.Cannon,J.W.;Floyd,W.J.两人基于多年的研究对汤普森群有全方面的了解.在他们看来，汤普森群F有许多不寻常的性质，成为了几何群论中不少猜想的反例.群F可以是有限表现的无限群.群F不是单群，但它的换位子群F,F是单群.F对其换位子群的商F/F,F是秩为2的

19、自由阿贝尔群.F是全序群，有指数增长率，它没有子群同构于秩为2的自由群.23数学家Higman提出了一个以有限表现单群组成的无限群族.和群F相同，是有限多个变量的一组关联词语的组成，可以看作是对图的描述，也可以被描述为一个树图像的组合，利用对图像的描述和所在群的代数运算成为一个图的组合.4证明：还有一个重要的工作，就是要证明上面的表现确实是汤普森群F的表现.上面已经讨论了为什么两种表现是同构组，因此仍然要研究为什么无限表现实际上是F的表现.为此，要做出F元素的树对图（虽然作为讨论，但能很容易做出树对图和分段线性同胚的转换）.主要任务是在简易树对图表和xi的标准型之间建立一个双射.关键在于我接下

20、来要定义的叶节点指数的概念.首先，我们假设如果根的二叉树的边缘将一个父节点连接到它的左子节点，那么它是一个左边缘.同样地，我们有右边缘.树的右边是根节点，所有的边和节点通过完全由右边缘组成的路径连接到根.对于单个树T，叶节点指数ei是最长路径的长度,具有以下属性:1.路径开始于标记为i的叶节点，2.路径完全由左边缘组成，3.路径达不到树的右边.（路径的长度是边的数目大小）.右边叶节点的叶节点指数是0.类似地，任何叶节点在树的右边子节点的指数也是0.来自文献1考虑图所示的树.叶节点0的叶节点指数为2，因为从叶节点0开始的第三个左边缘接触到树根，该根是树右侧的一部分.叶节点1和2的叶节点指数都是1

21、，因为它们的第二个边是右边缘，而不是左边缘.叶节点3的叶节点指数是0，因为它是一个右子节点，没有完全由左边缘组成的路径.同样，叶节点6, 9, 12，13和14的指数都是0.另外一些非零叶结点指数的点是4, 5, 7和8，它们都是1，最后是叶节点11，叶节点指数为2.给定一树对图（S，T），我们通过叶节点指数得到它的xi的标准型.例如：x0i0x1i1xninxn-jnx1-j1x0-j0,其中，元素的正指数ik由树S中叶节点的叶节点指数构成,负指数jk是由树T构成的.例如，叶节点指数i3是S中第三叶节点的叶节点指数，确定x3在标准型里的正指数.许多这些叶节点指数可能是0，所以我们会在写标准型

22、的正常形式时忽略这些节点指数.如果上图中的示例树还原到树对图中的第一棵树，则关联的标准型的正则部分为x02x1x2x4x5x7x8x112.我们注意到，我们一般使用这种简化树对图的方法来获得独特的标准型，我们也可以通过不满足正常形式的标准型来建立树对图，是在xi和xi-1同时存在的情况下，必须存在一个xi+1+1.通过树对图的还原我们能在标准型的正常形式下进行操作的得到类似的降解.这一观察有助于我们确保这两个确实是同一组的描述.同时我们证明了F的已知表现确实是F的表现，我们也证明了F是有限生成的，因为其中的一个表现是有有限多个标准型的.第5章 代数结构现在已经知道F是无挠的，它包含很多交换子群

23、，它是有限生成的，进一步地说它是有限表现的.一般来说，可以通过理解它的子群，商，自同态和群作用来理解一个群的代数结构.下面将探讨汤普森群F的这几个方面1.5.1 子群通过上面已经知道可以使用凸函数来证明F包含其子群都同构于Z，ZZ，和秩是可数的自由交换群.单位区间自然与区间0，有同构关系，因此，如果考虑群F中支持在0,上的所有元素，可以得到F的一个同构子群.此外，如果考虑群F中支持在，1上的所有元素，将获得与第一个相似的另一个F的同构子群.因此，F有一个子群同构于FF.当得到上面这个结论时，继续可以发现F有许多子群同构于FFF这样形式的群.事实上，可以找到一个与F的直积同构的子群，它可以重复多

24、次，而且是取自连续的二元区间0,，,.可知：F包含其子群都同构于FFF.5.2 交换群的同态从F到Z的自然同态，是从F的描述中得到的分段线性同态映射.给定fF，可以考虑f的斜率接近0，因为它只有有限多个分段点.斜率是2的次幂.所以有映射0：FZ,flog2(0点处的右斜率)记录0附近的基部2对数的斜率是明确定义的.事实上，它是一个同态：如果F的两个元素在0附近具有斜率2j和2k，那么它们的组成具有斜率2j+k.类似地，存在一个同态1:FZ,flog2(1点处的左斜率)记录1附近的斜率.这些同态很容易定义和理解.我们从F到Z中找不到任何与交换群相关的同态.群Gab是G模去G中交换子的群.从G到它

25、的退化是一个自然同态.这个同态称为退化映射.一个群的退化之所以如此重要，是因它具有以下属性：假设A是任一交换群，：GA是任意同态，那么通过退化可得到等价类即：GGabA.由第一同构定理，这个属性可知A是Gab的商.例如，如果Gab是平凡的，那么G没有同态于任一非平凡交换群.如果Gab是有限的，则G没有满射同态于任一无限交换群.群Gab可以得到从G到交换群群的任意同态.遵循前面的除已经给出的0和1外，没有其他FZ上的同态.可知F的退化为Z2，即FabZ2，它的映射为：01：FZZ. 这不难证明.证明：首先，01是满射的.这由计算可得：0（x0）=-1 1（x0）=10（x1）=0 1（x1）=1

26、.由于01是从F到Z2的一个满射同态，可知F的退化是以Z2为商的.另一方面，F有一个由两个元素(x0)、（x1）组成的生成集，所以F的退化是由两个元素生成的交换群.但是任何这样的群都可以是Z2的商.结合这两个命题：F的退化是Z2的商；F的退化是以Z2为商的.因此，其退化就是Z2,即FabZ2.5.3 两个基本定理定理5.3.1：F是无挠的（即每个非平凡元素都有无穷阶）.证明：对于F中的任一非平凡元素，考虑满足左斜率为1，右斜率不为1条件的最小的分段点.在其左边，作任意次的运算，其左斜率依然为1；在其右边，作任意次运算得到的任何平凡元素的右斜率都不等于1.因此，这个运算后得到非平凡元素是群F的一

27、个元素.定理5.3.2：对每个k0，F包含其子群都同构于Zk.对于F的任一元素，支持是固定集的补.不难看出F不相交支持的元素必然会交换.因此，给定任意k，就可以构造具有不相交支持的k函数.（注意我们在这里使用了事实1）关于不相交支持的一对元素的例子，请参见图：虚线的元素x1在区间0,中有支持，而实线的元素x2在, 1中有支持，因此两个元素可交换.来自文献1虚：x1（t）= 实：x2（t）=下面可以用树对图的乘法来证明x1x2=x2x1。画出x1和x2的树对图:x1x2的运算过程：得到x1x2：x2x1的运算过程：得到同x1x2相同的x2x1：证毕.知x1与x2可交换.结论汤普森群及其性质国内外有许多专家学者对其进行过研究.大体是从分段线性同胚开始介绍，引出汤普森群F的