弹塑性力学-02(张量初步)

1、1指标符号与张量运算指标符号与张量运算 为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。为了推导简洁，采用了张量指标符号及相应的运算。这里作一简介这里作一简介指标符号与求和约定指标符号与求和约定 张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。张量是具有多重方向性的物理量，有多个分量。例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中例如弹性力学中的应力张量和应变张量在三维空间中都有都有9个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示，个分量。张量可以用指标符号来简洁地表示，指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量指标符号由一个名称和一组指标组成，例如应力张量可以记为：可以记为： ( ,1,2,3)i ji

2、 j2( ,1,2,3)i ji j其中其中 是应力张量的名称，是应力张量的名称，9个分量都用同一名称；右下角的个分量都用同一名称；右下角的i和和j称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方称为指标，指标的数目等于张量的阶数，即张量所具有的方向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空向性的数目；后面括号标明了指标的取值范围，即张量所在空间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以间的维数，对三维空间每个方向性有三个分量，每个指标可以取值为取值为1或或2或或3。当式中的当式中的i和和j相互独立地分别相互独立地分别1，2，3取时可以得到取时可以得到9种排列，种排列，

3、于是用一个符号于是用一个符号 就全面地表示了应力张量的就全面地表示了应力张量的9个分量。通常个分量。通常约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的约定：在笛卡儿直角坐标系中一律采用位于右下角的“下指下指标标”；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希；三维空间的指标用拉丁字母表示；二维空间的指标用希腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的腊字母表示。按此约定，本书对用拉丁字母或希腊字母表示的指标不再用括号加注取值范围。指标不再用括号加注取值范围。ij3 指标分两类指标分两类：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某：哑指标和自由指标。在表达式或方程的某项中成对出现（即重复

4、出现两次）的指标，称为哑指标，简项中成对出现（即重复出现两次）的指标，称为哑指标，简称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦称哑标。哑标定义了一种运算法则，即按照爱因斯坦（Einstein A.）求和约定，把该项在该指标的取值范围内）求和约定，把该项在该指标的取值范围内遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：遍历求和。例如，两个矢量和之点积的分量表达式为：31 1223 31iiia ba ba baba b引进对哑标的求和约定代替叠加号引进对哑标的求和约定代替叠加号 31iiiaba b除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出现（即出现一除哑标外，在表达式或方程的某项中非成对出

5、现（即出现一次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。次或重复出现三次及三次以上）的其他指标都是自由指标。例如，采用哑标后，线性变换写成例如，采用哑标后，线性变换写成4111 11221331221 12222332331 13223333;jjjjjjxa xa xa xa xxa xa xa xa xxa xa xa xa x再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：再引进自由指标，可以进一步合并成一个表达式：iijjxa x这里这里 是哑标，是哑标， 是自由指标。自由指标可以轮流取该指是自由指标。自由指标可以轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。标范围内的任何值，关系

6、式将始终成立。ij5每个自由指标代表一个方向性：当它取值每个自由指标代表一个方向性：当它取值1或或2或或3时，分时，分别代表该方向性在别代表该方向性在x或或y或或z方向上的分量。当方向上的分量。当i分别取分别取1,2,3时，给出三个分量方程。时，给出三个分量方程。若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具若表达式中出现两个或多个不同名的自由指标，则表示具有两个或多个方向性有两个或多个方向性 ( ,1,2,3)i ji j两个自由指标，表示应力是二阶张量。两个自由指标，表示应力是二阶张量。 哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和位移两哑标经过遍历求和变成一个无方向性的数，正如力和

7、位移两个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。个矢量经过点乘后得到功，就不再有方向性。 iijjxa x6哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来哑标仅表示要做遍历求和的运算，至于用什么字母来表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。表示则无关紧要，因此可以成对地任意换标。 iijjmmaba ba b只要指标仍是哑标且取值范围和相同只要指标仍是哑标且取值范围和相同 自由指标仅表示要在取值范围内轮流取值，因此也自由指标仅表示要在取值范围内轮流取值，因此也可以换标可以换标 iijjxa xkk jjxa x合理选择指标和及时进行换标是熟练应用指标符号的关合理选择指标和及时进行换标是熟练应用指

8、标符号的关键，应用时应该遵循如下原则：键，应用时应该遵循如下原则： 7（1）同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名。）同时取值的指标必须同名，独立取值的指标应防止重名。 例如，原来记为例如，原来记为 、 和和 的三个矢量的三个矢量 iajbkc满足矢量和关系满足矢量和关系 cab当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为当用指标符号表示此求和关系时不能直接代入写为 kijcab而应根据而应根据“合矢量的分量等于分矢量对应分量之和合矢量的分量等于分矢量对应分量之和”的规则的规则把指标换成同名，写成把指标换成同名，写成 iiicab或或 kkkcab8反之，若要把曾记为反之，若要把曾记

9、为 和和 的两个矢量的分量逐个地两的两个矢量的分量逐个地两两相乘，则指标应及时地换成异名，写成两相乘，则指标应及时地换成异名，写成 iaibijab这样当下标这样当下标 和和 轮流取轮流取1，2，3时，共得到九个数。时，共得到九个数。如果误写为如果误写为 则成为矢量点积则成为矢量点积 ij1 12 23 3iiababa ba b再如：再如： 1 12 23 3112233iijjaba ba bc dc dc dabc d这里用两对异名的哑标正确地表示了两个括号中相互独立的这里用两对异名的哑标正确地表示了两个括号中相互独立的遍历求和过程。如果误写成遍历求和过程。如果误写成 ，则，则 变成自由

10、指标，变成自由指标，失去了遍历求和的意义。失去了遍历求和的意义。 iiiiabc di9把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读把哑标误写成自由指标的形式是初学者常犯的错误，请读者自己判别下式中不等号的原因：者自己判别下式中不等号的原因： 2222123iiiaaaa aa（2）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干）在一个用指标符号表示的方程或表达式中可以包含若干项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整项，各项间用加号、减号或等号分开。自由指标的影响是整体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中，体性的，它将同时出现在同一方程或表达式的所有各项中，所以

11、自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同所以自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法名自由指标全部改成同一个新字母，否则未换名的项就无法与已换名的各项同时求同一方向上的分量。与已换名的各项同时求同一方向上的分量。 （3）哑标的影响是局部性的，它可以只出现在方程或表达式）哑标的影响是局部性的，它可以只出现在方程或表达式的某一项中，所以哑标只需成对地局部换名。表达式中不同的某一项中，所以哑标只需成对地局部换名。表达式中不同项内的同名哑标并没有必然的联系，可以换成不同的名字，项内的同名哑标并没有必然的联系，可以换成不同的名字，因为根

12、据求和约定，哑标的有效范围仅限于本项。因为根据求和约定，哑标的有效范围仅限于本项。10指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长指标符号也适用于微分表达式。例如，三维空间中线元长度和其分量之间的关系度和其分量之间的关系 2222123ddddsxxx2dd diisxx多变量函数的全微分可写成多变量函数的全微分可写成dd1,2,.,iiffxinx多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和多重求和可以用两对（或几对）不同哑标来表示。例如二重和 3311ijijijijija x xa x x这里共有九项求和。这里共有九项求和。 11对于不符合对于不符合“成对准则成对准则”的

13、特殊情况需要做特殊处理。例如，的特殊情况需要做特殊处理。例如，若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不加求和号。或者，在多余指标下加一横，表示该多余指标不计指标数。例如：计指标数。例如： 31 1 12223 3 31iiiiiiia bca b ca b cabcabc若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明若无法避免自由指标在同项内出现两次，一般应特别申明对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以对该指标不作遍历求和，或者将其中一个指标加下横，以示不计其数。

14、示不计其数。 例如方程例如方程 iiiica bd是自由指标是自由指标 i12综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自综上所述，通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。由指标又把许多方程缩写成一个方程。 指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因指标符号使书写变得十分简洁，但也必须十分小心，因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。在公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来公式推导过程中，要根据所描述问题本来的运算规律来合理选择和及时更换指标的名称。合理选择和及时更换指标的名称。 13练

15、习：练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式将下面表达式按求和约定写成展开形式ijija bcijij ijij1 j1j2 j2j3 j3ja bc =a b ca b ca b c11 1 121 2 131 3 112 1 22222323213 1 3232333 3 3=a b ca b ca b ca b ca b ca b ca b ca b ca b c14练习：练习：将下面表达式按求和约定写成展开形式将下面表达式按求和约定写成展开形式ijija bcijij ijij1 j1j2 j2j3 j3j= 11 1121213131121222223232131323233333=

16、+ 注意应力张量和应变张量的对称性，有注意应力张量和应变张量的对称性，有ijij11 1122223333121223233131=2 15张量运算张量运算-张量代数张量代数 相等相等 若两个张量和相等，则对应分量相等。以二阶张若两个张量和相等，则对应分量相等。以二阶张量为例：量为例： ijijTS和、差和、差 若两个同维同阶张量与之和（或差）是另一个若两个同维同阶张量与之和（或差）是另一个同维同阶张量，则和（或差）的分量是两个张量的对同维同阶张量，则和（或差）的分量是两个张量的对应分量之和（或差）。以二阶张量为例：应分量之和（或差）。以二阶张量为例： T = ABijijijTAB数积数积

17、张量和一个数（或标量函数）相乘得到另一个张量和一个数（或标量函数）相乘得到另一个同维同阶张量，其分量关系为同维同阶张量，其分量关系为T =AijijTA16并积并积 两个同维同阶（或不同阶）张量两个同维同阶（或不同阶）张量A和和B的并积（或称外的并积（或称外积）积）T是一个阶数等于是一个阶数等于A、B阶数之和的高阶张量，其分量阶数之和的高阶张量，其分量由由A、B两个张量的分量两两相乘而得。以两个张量的分量两两相乘而得。以A、B分别为三阶分别为三阶和二阶张量为例：和二阶张量为例：ijklmijklmTA B其中指标的顺序不能任意调换。其中指标的顺序不能任意调换。 缩并缩并 若高阶张量的指标符号中

18、出现一对哑标，则该对指标就若高阶张量的指标符号中出现一对哑标，则该对指标就失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。例如，三阶张失去了方向性，张量被缩并为低二阶的新张量。例如，三阶张量量 中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：中的第一和第三指标为哑标，则它被缩并为一个矢量：ijiTjijiST17jijiST若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。若哑标的位置不同，则缩并的结果也不同。 例如，例如， 是一个保留了是一个保留了 方向性的矢量，而上述方向性的矢量，而上述 是一个保留了是一个保留了 方向性的矢量。不同方向性的物理意义是方向性的矢量。不同方向性的物理意义是不一样的不一样的iij

19、jRTijijiSTj例如在应力张量例如在应力张量 中中 代表的是截面法线的方向代表的是截面法线的方向,而而 代代表的是截面上应力的分解方向。表的是截面上应力的分解方向。ijij内积内积 并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积并积运算加缩并运算合称为内积。在指标符号中，内积表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例表现为哑标的一对指标分别出现在相互并乘的两个张量中，例如：如：jkmijkimSA B18对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。对并积的不同指标进行缩并其结果也不同。 ijlijklkjkmRA BS点积点积 是最常用的一种内积，它是前张量是最常用的一种内积，它

20、是前张量A的最后指标与后的最后指标与后张量张量B的第一指标缩并的结果，记为的第一指标缩并的结果，记为 。其指标符号为：。其指标符号为：A BijkkmA BA B =两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。两个二阶张量的点积对应于矩阵乘法。线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的线性代数或者空间解析几何的点积是张量运算中缩并运算的特例特例19转置转置 张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量张量指标的顺序一般不能任意调换，若将张量 （指（指标符号为标符号为 ）的两个指标位置相互对换，则得到一个新）的两个指标位置相互对换，则得到一个新张量张量 （指标符号为（指标符号为 ），称为张量），称为

21、张量 的转置张量。的转置张量。若转置张量与原张量相等，即若转置张量与原张量相等，即 ，则为对称张量。，则为对称张量。若转置张量等于原张量的负值，即若转置张量等于原张量的负值，即 ，则为反对，则为反对称张量。称张量。TijT*TjiTTjiijTTjiijTT 加法分解加法分解 任意二阶张量任意二阶张量 均可唯一地分解成对称张量均可唯一地分解成对称张量和反对称张量和反对称张量A之和：之和： TSijijijTSA11;22ijijjiijijjiSTTATT上两式的运算也称为对称化和反对称化。上两式的运算也称为对称化和反对称化。20球形张量与偏斜张量球形张量与偏斜张量 任意二阶对称张量任意二阶对

22、称张量 均可分解为球形张均可分解为球形张量量 和偏斜张量和偏斜张量 之和：之和： SPDijijijSPD球形张量球形张量1;3ijijiiPS这里的这里的 是张量是张量 三个主对角分量之平均值；三个主对角分量之平均值； 是单是单位张量，其三个主对角分量均为位张量，其三个主对角分量均为1，其他分量均为，其他分量均为0。 Sij偏斜张量偏斜张量 ijijijDSP偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量偏斜张量是原张量与球形张量之差，其三个主对角分量之和为零。之和为零。21并矢量并矢量 把把 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个积是一个 阶张量。例如，并矢量阶张量。例如，并矢量 是一个三阶张量，是一个三阶张量，记为记为 ，它的指标符号表达式为：，它的指标符号表达式为：KKabcTijkijkTab c由于矢量的并积不服