初等数论习题实用PPT学习教案

1、会计学1初等数论习题实用初等数论习题实用1.,( , ).a ba b证明推论4.1即证的公因数与的因数相同第1页/共31页11112122:( , ),| ,| ,| ,| , | ,.,| , | ,|(),| .,|,|,( , ),|,( , ).nnnda bcc dd a d bc a c bca bcca cbrabqcabqcrrbrqcrcrra bcrca b 1 证明 记若即 为的公因数又若则,得即同理得如此下去可得而故即 为的因数Z.Z.Z Z第2页/共31页:( , ),| ,| ,| , | , ,( , ),| , | ,|, |( , ),( , ).da bc

2、c dd a d bc a c bca bs tasbta bcca cbcas cbtcasbtca bca b 1另证 记若由即 为的公因数 又存在使得则对若则即 为的公因数Z ZZ Z第3页/共31页00002.3( , ),( ,),.a baxbyaxbyaxby x yn应用第一节习题 证明其中是形如是任意整数 的数中的最小正数 并将此结果推广到 个的情形第4页/共31页0000000000002:()|(),1,0| ,0,1| ,|( , ).( , )| ,( , )| ,( , )|,( , ).axbyaxbyx yxyaxbyaxyaxbybaxbya ba ba a

3、bba baxbya baxby 证明 由则取取由第一题知又显然故Z Z第5页/共31页min00( , ), ,( , ),|0,( , ),( , )| ,( , )| ,( , )|()( , ),( , ).a bs ta basbtAaxby axbyxya bAa ba a bba baxbya baxbyaxbyAa bAaxby2另证:对使得记显然又由知ZZZZ第6页/共31页121 1221 12212:(,.).,.,.nnnnnnna aaa xa xa xa xa xa xa aa推广到 个整数的情形即其中是的线性组合里最小的整数.第7页/共31页1212121 12

4、21 12 21 12 212121 12 212:(,.),. ,(,.).,.|.0,1,(,.),(,.)|,1.(,.)|nnnnnn nn ninnin nna aas ssa aaa sa sa sAata ta tata ta ttina aaAa aaainata ta ta aa 证明 对使得记显然且故对有Z Z1 12 2121 12 21 12 2min1 122.(,.).n nnn nn nnnata ta ta aaata ta tata ta tAa xa xa x第8页/共31页2log4.(1).log2bn 证明本节式中第9页/共31页12221212121

5、22121234121324.:,0,2,0,00,22,1,22,.2220(1)0(2)20(3)20( )2nnnnbbrqrrrrbbrrrrbbrbqrbrrrrrrrrbbrrrrrn证明 对有事实上 若由若则此时 取同理或证由第10页/共31页221 221 21111111221.(1) (2) . ( ),0.,220,2,12,2log,22log22log.2log2nnnnnnnnnnnnnnnnb rrrbnrrrrrrrrrrrrrbbbnbn 得又故有ZZZZ第11页/共31页110003.(1),(1),2.nnnnnnnna xaxa xaa aaa设有一个整

6、数系数多项式且都不是零 则的有理根只能是以 的因数作分子 以 的因数作分母的既约分数并由此推出不是有理数第12页/共31页1110111101210111211100:,( , )1)(1),(1):()().0,.0,(.),(.),|,|,( ,nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnqxp qpqqqaaaapppa qaqpa qpa pa pq a qaqpa pa qp aqa qpa pq a pp a qp q 3证明 设是的有理根 代入式有由022)1|,|,202,201, 2,2,2.nq ap axx 又以为根 而的有理根只能为它们都不可能等于故不为有理数第1

7、3页/共31页第14页/共31页:1002,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9725.Eratosthenes1解 由筛法容易得到不超过的质数为共个第15页/共31页第16页/共31页853334322.827988482311 ,8105722663500023571117 23 37.解第17页/共31页第18页/共31页26:30!2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,:21解含有质因数它们在分解式中的指数分别是30303030+=15+7+3+1=26,2481630303

8、0+=10+3+1=14,3927303030303030303030+6+1=7,=4,=2,=2,=1 ,5257111317192329故30!13 17 19 23 29.第19页/共31页2.,:(1) ;nnn设 是任一正整数是实数 证明第20页/共31页: ,01 , 01,00010, .xxnnnxnnnxnnxnnxnnxnxnnxnnxnxnnnnxnn (1)证明又第21页/共31页(2).,12-1 .xnnxxxxnxnnn设 是任意正实数是正整数则第22页/共31页1(2)1: , ,0,1,2, -1. .12-1 .12 , ,0,1

9、,2, -2. 1,-1. 1.12 ixxx innnnxn xn xn xnxxxxnxnnniixxx inxxinnnnnnxn xn xn xxxxxnn证法 当时当时-1.1, . ,0,1,2, -1. 1,- , -1. .12-1 .nnxnkkixxxnnniin kxxin knnnxn xn xn xknxxxxnxnnn一般地 当时第23页/共31页12-1(2)2:( )- -,1123-1()1 - 12-1- -( ).120,( )0,0,( )0.,( )0.nf xnxxxxxnnnnnf xnxxxxxxnnnnnnnnxxxxxf xnnnxf xxf

10、 xnnxf x证法设则因为当时所以当时依此类推 当 为任意实数时同理,( )0.xf x 可证 当 为任意负数时第24页/共31页3:, - - - - 1.a baba baba b证明 若是任意实数则或第25页/共31页: , ,- - - . - 1, - 0, - - ; - 0, - - -1.aaa bbba bababababa bababa bab3.证明 设显然当时当时第26页/共31页11.:, 2 .22.: 2 4 8 16 32 12345. 3., .xxxxxxxxxxxxnnn证明 若 是任意实数 则证明 方程无实数解若 为正整数 则第27页/共31页:01.:1110,1,021,2221 0,0,2 0,;21131,1,122,2221 0,1,2 1,.2xxxxxxxxxxxxx1证明 不妨设分两种情况讨论当时从而结论成立当时从而同样结论成立第28页/共31页:,01,2481632 2 4 8 16 32 63 2 4 8 16 32 ,6363 2 4 8 16 32 630 1 37 1531,6363 2 4 8 16xnnZnnnnnnnnnnnnxxxxx 2证明 设则左边即 32 6357,123