有限元与数值方法讲稿34

1、1有限元与数值方法有限元与数值方法第四讲第四讲微分方程的等价积分形式微分方程的等价积分形式授课教师：刘书田授课教师：刘书田tel：84706149； email：教室：综合教学楼教室：综合教学楼 351 时间：时间：2013年年4月月07日：日：8：0010：202基于积分方程的数值方法的基本思想基于积分方程的数值方法的基本思想o 微分提法：真实解在任意点均满足微分方程o 积分提法：对于所有可能的解（u(x)中，真实的解应满足下式o 积分形式的近似解法：n 在有限个可能的解中，真实解的近似解为使下式取极小的解。( )0iita t xkxx 0;v x a uq dsv x rv x a uq

2、 ds3微分方程的算子形式o 在域内：o 边界上：n其中，a，b1，b2为微分算子 0 xa u 10uxbu 20qqxbu微分方程的等价积分形式微分方程的等价积分形式 1122120,uqv x a uq dsv x b uu dsv x b uq dsv x v x v xp 对于满足微分方程及其边界条件的解对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的；上式显然是成立的；p 如果对任意的函数如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明上式成立，则可以证明u是微分方程是微分方程的解。的解。4 0dxxgxf xf显然，如果在区域显然，如果在区域上，上， 几乎处处为零，则对任意

3、的有几乎处处为零，则对任意的有)(xg或采用数学的语言描述或采用数学的语言描述上式成立的条件是要求上式成立的条件是要求函数可积函数可积。 xxf0 0dxxgxf xxg)(xg 0 xf引理引理:如果对任意的如果对任意的 ，恒有，恒有则则 0dxxgxf如果如果f(x)=0f(x)=0代表了微分方程，则上面定理和引理建立了微分方程代表了微分方程，则上面定理和引理建立了微分方程和其积分形式之间的联系和其积分形式之间的联系(一一) 预备知识预备知识微分方程的等价积分形式微分方程的等价积分形式5等价积分形式等价积分形式若对任意函数列向量若对任意函数列向量 有有12.tv vv1122( )( )(

4、 ).)0tdv av ad v a uuu则该积分表达式与微分表达式则该积分表达式与微分表达式 完全等效。完全等效。 x0ua同理，若对任意函数列向量同理，若对任意函数列向量 有有12.tv vv1122( )( )( ).)0tdv bv bd v b uuu则该积分表达式与微分表达式则该积分表达式与微分表达式 完全等效。完全等效。 x0ub故称故称 为原微分方程为原微分方程 ( )( )0ttdd v a uv b u的的等价积分形式等价积分形式。 x0ua x0ub6等价积分形式可积的条件：等价积分形式可积的条件：1. 单值且在域内和边界上可积分单值且在域内和边界上可积分vv和2. 若

5、若 a 的最高阶导数为的最高阶导数为n，则，则u 的的n-1 阶导数阶导数必须连续，即必须连续，即u 具有具有 连续性连续性1n-co等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。等价积分方程对函数连续性的要求：函数是可积的。n被积函数在区域上有有限个间断点，则可积被积函数在区域上有有限个间断点，则可积连续连续：0cu连续连续：1cxu右图函数是右图函数是 c0 连续的，其二阶导数不可积连续的，其二阶导数不可积等价积分形式等价积分形式7 1122120,uqv x a uq dsv x b uu dsv x b uq dsv x v x v x quxvxvxvxv21取：取：上式可得到简化上

6、式可得到简化p 对于满足微分方程及其边界条件的解对于满足微分方程及其边界条件的解 u ,上式显然是成立的；上式显然是成立的；p 如果对任意的函数如果对任意的函数v(x)，上式成立，则可以证明上式成立，则可以证明u是微分方程是微分方程的解。的解。8积分弱形式积分弱形式( )( )( )( )0ttdd c vd ue vf u在很多情况下，可以通过分部积分方法将前述积分方程转化为另外一个等价形式：在很多情况下，可以通过分部积分方法将前述积分方程转化为另外一个等价形式：其中，其中，d d 和和 f f 通常包括相对通常包括相对 a a 和和 b b 较低阶的导数。较低阶的导数。这一形式称为微分方程

7、的这一形式称为微分方程的“弱形式弱形式”。p 解函数的连续性降低，其代价是试函数连续性要求提高了。解函数的连续性降低，其代价是试函数连续性要求提高了。p 弱形式经常是描述物理现象更为合理的形式，因为微分方程往弱形式经常是描述物理现象更为合理的形式，因为微分方程往往对解提出了过于光滑的要求。往对解提出了过于光滑的要求。p 对弱形式进行积分，是有限元方法的重要基础对弱形式进行积分，是有限元方法的重要基础( )( )0ttdd v a uv b u9一维问题的弱形式例子一维问题的弱形式例子( )q xcx例：受轴向分布载荷例：受轴向分布载荷 和端部集中力和端部集中力 p 的均匀杆的均匀杆22( )0

8、0(0)xtxxdaq xd ucxdxxldudxeaeedxtx lduaepdx微分方程表达形式为微分方程表达形式为该方程积分后可得该方程积分后可得2326tclpcuxxxeaeaea一维问题可以通过一维问题可以通过分部积分分部积分将等价积分形式转化为弱形式将等价积分形式转化为弱形式00 xu10一维问题的弱形式例子一维问题的弱形式例子22000( )00tlttlld ucxv xdxdxeadv ducxduvdxvdx dxeadx微分方程的积分等价形式为微分方程的积分等价形式为分部积分得到弱形式：分部积分得到弱形式：220( )0tld ucxv xdxdxea设解和试函数的形

9、式各为设解和试函数的形式各为212212,ua xa xvx vx边界条件的等效积分形似：边界条件的等效积分形似：1122( )( )( ).)0tdv bv bd v b uuu12()(0)()0tdu xlv u xvaepdx11自然边界条件的概念自然边界条件的概念( )( )( )( )0ttdd c vd ue vf u( )( )0ttdd v a uv b u12自然边界条件的概念自然边界条件的概念 2100100202xdxdx=d=dx12210200 xddvdxvdxdx13自然边界条件的概念自然边界条件的概念11010200 xxxdv ddddvdxvvvdx dx

10、dxdxdx(0)0, (1)(1)vvv 11020 xdv dvdxvdx dx14归纳：强式和弱式的对比归纳：强式和弱式的对比o 强式强式可直接求得系统方程的精确解可直接求得系统方程的精确解困难：复杂问题难以获得精确解；困难：复杂问题难以获得精确解； 数值求解时，近似函数要求有与微分方程同阶的可导性。数值求解时，近似函数要求有与微分方程同阶的可导性。有限差分法属于基于强式的数值方法。有限差分法属于基于强式的数值方法。o 弱式弱式降低了对近似函数的连续性要求，使得选取试函数更容易；降低了对近似函数的连续性要求，使得选取试函数更容易；基于弱式的方程通常是一组稳定性良好的离散方程，易于求解基于

11、弱式的方程通常是一组稳定性良好的离散方程，易于求解15二维、三维问题的积分形式16预备知识预备知识svpqrpcos(n,x) qcos(n,y) rcos(n,z)dadxdydzxyzddxdyypxqdyyxqdxyxp)(),(),(vsdxdydzzryqxprdxdyqdxdzpdydzdnxdxdsdydy=nxdsdx=-nyds或或divssvvddsdvdvasa naadivnddda ddddd a naa17由格林公式可推导出：ddddpqpqdxdyqdxdypdxdyxxx所以xdddqpppdxdypqdyqdxdypqn dqdxdyxxx类比于高等数学中单变

12、量函数的分部积分公式类比于高等数学中单变量函数的分部积分公式212121)()( )( )(xxxxxxdxxqxppqdxxqxp预备知识预备知识dpqp( x,y)q( x,y)dydxdyx而同理yddqppdxdypqn dqdxdyyx18同理，三维空间中，由此前公式可推导出：dddpqpqdxdydzqdxdydzpdxdydzxxx所以xddqppdxdydzpqn dqdxdydzxx预备知识预备知识而同理svpqpqdydzdxdydzxyddqppdxdydzpqn dqdxdydzyy19微分方程的等价积分形式微分方程的等价积分形式0dqnukvdxdyqyukyxukx

13、vq2d稳态热传导问题的弱形式稳态热传导问题的弱形式0qxukxiiuuu :0:qnukq微分方程（强形式）微分方程（强形式）已经事先满足是任意标量函数，和其中，uuuvvon20dsnxuvkdxdyxvxukdyxuvkdxdyxvxukdxdyxukxvdxdyxuvkxdxdyxukxvx利用格林公式利用格林公式ddxdyypxqdyyxqdxyxp)(),(),(2d热传导问题的弱形式热传导问题的弱形式0dqnukvdxdyqyukyxukxvqdxdsdydy=nxdsdx=-nydsn同理，同理，dsnyuvkdxdyyuyvkdxdyyukyvy21dyx nxuvkdxdy

14、xvxukdxdyxukxv, cos ds nx弱形式弱形式0qdsqnukvdsnyunxuvkdxdyvqyvyukxvxukyxyxtnyunxununu2d热传导问题的弱形式热传导问题的弱形式00quqdsqvdsnuvkdxdyvqyvyukxvxukdsqnukvdsnuvkdxdyvqyvyukxvxukqvvuq 22讨论讨论2d热传导问题的弱形式热传导问题的弱形式udsnuvk0qudsqvdsnuvkdxdyvqyvyukxvxukqonqnuk0uonv 023有限元与数值方法有限元与数值方法第四讲第四讲加权残数法加权残数法授课教师：刘书田授课教师：刘书田tel：847

15、06149； email：教室：综合教学楼教室：综合教学楼 351 时间：时间：2013年年4月月07日：日：8：0010：2024加权残数法（加权残数法（weighted residual method）加权残数法的基本思想是：构造包含参数的加权残数法的基本思想是：构造包含参数的微分方程的近似解，将近似解代入微分方程微分方程的近似解，将近似解代入微分方程和相应的边条件中，令得到的残差在适当加和相应的边条件中，令得到的残差在适当加权后在微分方程定义域上的平均值为零，从权后在微分方程定义域上的平均值为零，从而得到确定待求参数的代数方程式。而得到确定待求参数的代数方程式。近似解构造方法(通常取近似

16、解为基函数的线性组合)全局分片连续权函数构造方法子域法配点法最小二乘法伽略金法矩量法25 1111;( )( )( )( )niiinnniiiiiiiiiu xc uxa u xac u xa c u xc a u x残数（内部）残数（内部）残数（边界）残数（边界） 0quari 0gubrb 0qua 0 gub考虑微分方程和边界条件考虑微分方程和边界条件 xwdsxwgubdxxwqua0)()(权函数权函数 xw加权残数法（加权残数法（weighted residual method）近似解近似解26 qdxxwdxuaxwcqdxxwdxuacxwiiniiniii11: 11nnb

17、iibibibiiii :wc b u dswx gdscw b u dswx gds0 iii()ii wg()iqwg()bi wg()bqwg()()()()()()()()10(, )nibiqbqibiqbqii wi wwwi wi wwwicgggggggg()()()10nibqii wi wwicggg此处，一个方程，此处，一个方程，n个未知数个未知数（c1cn）加权残数法（加权残数法（weighted residual method）27n选选 n 个权函数个权函数 wj （j=1n）01qjnibijiijigggcj=1n n 个方程个方程求得求得c1cnjniijip

18、ck1 11nnnnpck加权残数法（加权残数法（weighted residual method）()()();iibqqiji wji wjjwjggggg28近似解构造方法近似解构造方法o 基函数系选择原则n连续性n线性无关n正交n完备 iw0 1 21 2ijw( x)w ( x)dx, ij,i, ,.; j, ,.典型的基函数系典型的基函数系多项式多项式三角级数三角级数梁振动振形梁振动振形柱稳定函数柱稳定函数b-b-样条函数样条函数通常取近似解为基函数的线性组合通常取近似解为基函数的线性组合-基函数的选择方法基函数的选择方法29o 域内残数法域内残数法 选取的基函数满足边界条件但不

19、满足微分方程选取的基函数满足边界条件但不满足微分方程o 边界残数法边界残数法 选取的基函数满足域内微分方程但不满足边界条件选取的基函数满足域内微分方程但不满足边界条件o 混合残数法混合残数法 选取的基函数域内微分方程和边界条件都不满足选取的基函数域内微分方程和边界条件都不满足按基函数的性质进行分类按基函数的性质进行分类30o 1.子域法子域法iii强迫余量在强迫余量在n个子域个子域 的积分为零的积分为零i iii xxxw 1, , 0 nidxrdxrxwiiii10n个方程，求得个方程，求得 c1cn取取子域上近似子域上近似按权函数的性质进行分类按权函数的性质进行分类31o 2.配点法配点

20、法 )dx(x-x xxxxxxxwjjjjj1 0,时； 时(令 0jiijixxrdxrxxdxrxw取取 j 个方程个方程n当子域法中，令面积当子域法中，令面积0，退化为配点法，退化为配点法32（最小二乘法的残数方程）（最小二乘法的残数方程）dsrdxribi22:定义dsrcrdxrcrcibjbijij21(*)ijwbjw 0*令dsrcrdxrcrbjbiji :即1 2( j, ,.,n):0i对应每一点误差的平方和最小，即接近真解。对应每一点误差的平方和最小，即接近真解。 iiicrfuar ibbcrgubr xucuii3.最小二乘法（最小二乘法（least square

21、 method）33jjxw 0rdxxrdxwjjrxdxdxrx2dxrxn一次矩一次矩二次矩二次矩n 次矩次矩r的的 j 次矩次矩4.矩法矩法0dxxzyxuzxxyxi伽辽金方程伽辽金方程wvu,iiua u把基函数作为权函数：把基函数作为权函数： xuwjj5.伽辽金法（伽辽金法（galerkin method）34以上方法的比较以上方法的比较o 以上方法都将原问题转化为代数方程组的求解以上方法都将原问题转化为代数方程组的求解 aa=co 配点法、子域法得到的是非对称的系数矩阵配点法、子域法得到的是非对称的系数矩阵a； 最小二乘法、最小二乘法、galerkin法得到的是对称的系数矩阵

22、法得到的是对称的系数矩阵ao 最小二乘法易于产生病态矩阵最小二乘法易于产生病态矩阵a；并且不能通过分部积分；并且不能通过分部积分法降低被积函数的微分阶次，因此要求单元间函数的充法降低被积函数的微分阶次，因此要求单元间函数的充分的连续性分的连续性35 2123111niiiu xxxcc xc xcx x设设 1iiu xx xn=2 时时 21211u xcx xcx x 1062232221xxxxxcxxcxr01x022xudxud10 x010 xuxu例题例题即即余量为余量为361.子域法求解：子域法求解：x0110.52 2100dxxrdxxr例题例题120.916670.276

23、0450.1250.916671.1927050.375cc 1702. 0,1876. 021cc2231200011122322602260cxxdxcxxxdxxdxcxxdxcxxxdxxdx 37 075. 0025. 00 xrxrxrj2.配点法：配点法：x00.750.2510101rdxcr3.最小二乘法：最小二乘法：0102rdxcr212xxcr32262xxxcr1695. 0,1875. 021cc1731. 0,1948. 021cc384. galerkin法：法： 1062232221xxxxxcxxcxr0)1 (10rdxxx0)1 (102rdxxx0622)1 (1032221dxxxxxcxxcxx0622)1 (10322212dxxxxxcxxcxx1707. 0,1924. 021cc39例题：一维稳态热传导问题例题：一维稳态热传导问题22( )( )0(0)where10/ 2( )=0/ 2(0)( )0daq xxldxxlq xlxll1211222sinsin( )( )x