有限元课件2单元位移模式与形函数n

1、1 课程名称：计算结构力学及有限元课程名称：计算结构力学及有限元 第一篇有限元基础第一篇有限元基础 参考教材：曾攀编参考教材：曾攀编有限元基础教程有限元基础教程高等教育出版社出版高等教育出版社出版参考教材：徐芝纶编参考教材：徐芝纶编弹性力学简明教程弹性力学简明教程（第三版）高等教育出版社出版（第三版）高等教育出版社出版 任课教师：张晓志任课教师：张晓志 21.1 有限元方法概念及相关问题有限元方法概念及相关问题1.2 弹性平面应力或应变问题弹性平面应力或应变问题31.1 有限元方法概念及相关问题有限元方法概念及相关问题1. 有限元方法概念有限元方法概念2. 有限元方法的分析步骤有限元方法的分析

2、步骤3. 有限元方法的优点与应用有限元方法的优点与应用4. 有限元基础课程的主要教学内容有限元基础课程的主要教学内容41.有限元方法概念有限元方法概念 结构力学中的位移法，是杆系结构有限单元法的基础结构力学中的位移法，是杆系结构有限单元法的基础 计算结构力学中的计算结构力学中的矩阵位移法矩阵位移法，就是杆系结构有限单元法，就是杆系结构有限单元法 弹性力学有限单元法离散连续介质（或广义离散结构）弹性力学有限单元法离散连续介质（或广义离散结构） 的矩阵位移法的矩阵位移法 有限元法，简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学有限元法，简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学 问题。即首先将连续体变换成

3、为离散化结构，然后再用结问题。即首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结 构力学方法进行求解的一种数值方法。构力学方法进行求解的一种数值方法。 仅限于讨论弹性力学平面问题的（位移）有限单元法仅限于讨论弹性力学平面问题的（位移）有限单元法 位移法位移法，力法，混合法，力法，混合法 52. 有限元法分析流程或步骤有限元法分析流程或步骤解综合方程解综合方程k= p求结构节点位移求结构节点位移计算结构内力和应力计算结构内力和应力系统分析系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵k形成等价节点荷载形成等价节点荷载p )离散（剖分）结构离散（剖分）结构为若干单元为若干单元

4、单元分析单元分析(建立单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵ke形成单元等价节点力形成单元等价节点力)6 把连续体变换成为离散化结构举例。弹性悬臂板把连续体变换成为离散化结构举例。弹性悬臂板的剖分与集合。的剖分与集合。 划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能划分的单元大小和数目根据计算精度和计算机能力来确定。力来确定。12345678910p5764 56345678 单元、节点需编号单元、节点需编号73.有限元法主要优点与应用有限元法主要优点与应用（1）物理概念清晰，容易掌握。（离散、插值、能量原理、）物理概念清晰，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析）数学分析）（2）适用性强，应用范围广，

5、几乎适用于所有连续体和场）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题；问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题；动与静；动与静；线性与非线性线性与非线性）（3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。（4）无需）无需建立和求解偏微分方程建立和求解偏微分方程。 有限单元法与有限单元法与有限差分法的对比？有限差分法的对比？84. 有限元基础课程的主要教学内容有限元基础课程的主要教学内容a a、有限元分析方法、有限元分析方法b b、有限元程序设计、有限元程序设计c c、有限元程序应用、有限元

6、程序应用91.2 弹性平面问题弹性平面问题1. 弹性力学基本假定弹性力学基本假定2. 两种弹性力学平面问题两种弹性力学平面问题3. 弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示弹性平面问题基本量及方程的矩阵表示4. 边界（或支撑）条件边界（或支撑）条件5. 弹性平面问题的经典解法弹性平面问题的经典解法101. 弹性力学基本假定弹性力学基本假定 连续性连续性 完全弹性完全弹性 均匀性均匀性 各向同性各向同性以上四条合称为理想弹性体假定以上四条合称为理想弹性体假定 小变形假定（小变形假定（线性叠加原理适用线性叠加原理适用）112. 两类弹性力学平面问题两类弹性力学平面问题 平面应力问题平面应力问题 平面应变

7、问题平面应变问题12 平面应力问题有限元分析的目的平面应力问题有限元分析的目的a、获得单元位移场、获得单元位移场b、获得单元应变场、获得单元应变场c、获得单元应力场、获得单元应力场13两种平面问题都是空间问题的近似两种平面问题都是空间问题的近似弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个任何一个弹性体都是空间物体弹性体都是空间物体，一般的外力都是空，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所

8、考虑的弹性体但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状具有特殊的形状，并且承受的是并且承受的是特殊外力特殊外力，就有可能把空间问题，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。分量、应变分量和应力分量即可。14平面平面应力应力问题问题 厚度为厚度为t的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以薄板的中面为以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为面，以垂

9、直于中面的任一直线为z轴。由于薄板两表面轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另外由于另外由于平板很薄平板很薄，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：，外力又不沿厚度变化，可认为在整个薄板内各点均有：于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于xoy平面的三个应力分平面的三个应力分量，即量，即 ，所以称为，所以称为平面应力问题平面应力问题。x xy y0 0t/2t/2z zy y图 1-10yxxyyx、000yzzyxzzxz，0)(0)(0)(222t

10、zzytzzxtzz，15平面应力问题平面应力问题三维应力问题三维应力问题 xytzxyzxyyzzxxyyzzx xyxy可以简化为：可以简化为：16平面应力问题的应变平面应力问题的应变对应的剪应变：对应的剪应变：由物理方程中的第三式可见：由物理方程中的第三式可见：不独立，在分析问题时不必考虑。于不独立，在分析问题时不必考虑。于是应变矩阵简化为：是应变矩阵简化为：zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxgggeee111)(1)(1)(100zxyz，)(yxze xyxy17平面应力问题的物理方程平面应力问题的物理方程物理方程简化为：物理方程简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形

11、式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：11 12(1)xxyyyxxyxyxyeege2221 112(1)12xxyyxyxyxyxyeeee18平面应力问题矩阵物理方程平面应力问题矩阵物理方程矩阵方程表示：矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵d 为：为：21010 110 02xxyyxyxye d 21010 11002ed19平面应力问题的几何方程平面应力问题的几何方程只有只有 三个应变分量需要考虑，所以三维几何方程三个应变分量需要考虑，所以三维几何方程简化为：简化为： xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz， xyxyuxvyuvyxx

12、yyx、20平面应力问题平面应力问题弹性体的虚功方程弹性体的虚功方程简化为简化为 * ttfdxdydz * ttfdxdyt21平面应变问题平面应变问题 一纵向一纵向(即即z向向)很长，且沿横截很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力和体力，而且不沿长度变化的面力和体力，如图如图1-11所示。所示。 由于物体的纵向很长由于物体的纵向很长(在力学上在力学上可近似地作为无限长考虑可近似地作为无限长考虑)，截面尺，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为一横截面为xy面，任一纵线为面，任一纵线为z轴轴时，则

13、所有一切应力分量、应变分时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿量和位移分量都不沿z方向变化，它方向变化，它们都只是们都只是x和和y的函数。此外，在这的函数。此外，在这一情况下，由于对称一情况下，由于对称(任一横截面都任一横截面都可以看作对称面可以看作对称面)，所有各点都只会，所有各点都只会有有x和和y方向的位移而不会有方向的位移而不会有z方向方向的位移，即的位移，即 w = 0 因此，这种问题称为平面位移问因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为题，但习惯上常称为平面应变问题平面应变问题。0 0y yx x图 1-1122平面应变问题的几何方程平面应变问题的几何方程既然既然w

14、= 0，且，且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由空间问题几何方程的函数，由空间问题几何方程可得可得 。于是矩阵几何方程简化为方程。于是矩阵几何方程简化为方程 xyzxyyzzxuvwxyzuvvwwuyxzyxz， xyxyuxvyuvyx0zxyzz23平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程因为因为由空间物理方程可得由空间物理方程可得又由物理方程又由物理方程1中的第三式可得：中的第三式可得：在平面应变问题中，虽然在平面应变问题中，虽然 ，但但 一般并不等于零，不过它可以一般并不等于零，不过它可以由由 及及 求得，在分析问题时不必考求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量

15、虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。需要考虑。xy00zxyz，00zxyz，)(yxz0zzxyyx、zxzxyzyzxyxyyxzzzxyyzyxxgggeee111)(1)(1)(124平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程物理方程可以简化为：物理方程可以简化为：(1)()(1)(12 )1(1)() (1)(12 ) 1(1)122(1)(1)(12 )2(1)xxyyxyxyxyxyeeee25平面应变问题物理方程的矩阵表示平面应变问题物理方程的矩阵表示将将(1-25)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵d则为：则为： d

16、101(1)10 (1)(12 ) 112002(1)xxyyxyxye 101(1)10 (1)(12 ) 112002(1)ed26平面应变问题的平面应变问题的适用条件适用条件 需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问需要说明一下，工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿沿z向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作

17、平面应变问题来考虑时，这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。27平面应力与应变问题的弹性矩阵平面应力与应变问题的弹性矩阵平面应力情况下的弹性矩阵平面应力情况下的弹性矩阵平面应变情况下的弹性矩阵平面应变情况下的弹性矩阵二者关系：二者关系： 21010 11002ed 101(1)10 (1)(12) 112002(1)ed21ee128 平面应力问题平面应力问题特定弹性体特定弹性体在在

18、特定荷载特定荷载作用下，如果其应力状态作用下，如果其应力状态满足条件：满足条件：0tzzxzy称该弹性体处于平面应力状态，称相应的问题为称该弹性体处于平面应力状态，称相应的问题为平面应力问题。此时，平面应力问题。此时，0txyxy0,()/zxzyzxye 29 平面应变问题平面应变问题特定弹性体特定弹性体在在特定荷载特定荷载作用下，如果其应变状态作用下，如果其应变状态满足条件：满足条件： 0tzzxzy称该弹性体处于平面应变状态，称相应的问题为称该弹性体处于平面应变状态，称相应的问题为平面应变问题。此时，平面应变问题。此时， 0txyxy0,()zxzyzxy 303. 弹性弹性平面平面问题

19、基本量及方程的矩阵表示问题基本量及方程的矩阵表示31第二次课第二次课第第6章章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题63 位移模式与形函数位移模式与形函数（三结点三角形单元的单元分析）（三结点三角形单元的单元分析）32回顾：回顾： 有限元法分析流程或步骤有限元法分析流程或步骤解综合方程解综合方程k= p求结构节点位移求结构节点位移计算结构内力和应力计算结构内力和应力系统分析系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵k形成等价节点荷载形成等价节点荷载p )离散（剖分）结构离散（剖分）结构为若干单元为若干单元单元分析单元分析(建立单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵

20、ke形成单元等价节点力形成单元等价节点力)33jmijmiivivjv图 2-8mviujumuivjvmviujumu(a)(b)ee 单元分析的目的单元分析的目的 建立结点位移与结点力之间的转换关系建立结点位移与结点力之间的转换关系 mmjjiievuvuvu ixiyejxjymxmyfffffff结点位移结点位移 结点力结点力 34 单元分析单元分析 取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力：取结点位移作基本未知量。由结点位移求结点力： 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。就是要求出单元刚度矩阵。

21、 单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下： eeefk结点位移内部各点位移应变应力结点力(1)单元分析(4)(3)(2)35单元分析单元分析63 单元位移模式与形函数单元位移模式与形函数1、单元位移模式概念与相关问题、单元位移模式概念与相关问题2、形函数概念与性质、形函数概念与性质3、位移模式与解答的收敛性、位移模式与解答的收敛性361、单元位移模式概念与相关问题、单元位移模式概念与相关问题1）位移模式概念）位移模式概念2）全局位移函数与局部（单元）位移函数全局位移函数与局部（单元）位移函数3）位移模式与单元结点位移之间的关系）位移模式与单元结点位移之间的关系371、单元位移模式概

22、念与相关问题、单元位移模式概念与相关问题1）位移模式概念）位移模式概念 “位移模式位移模式”也称也称 “位移函数位移函数”，是，是单元内部位单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数移变化的数学表达式，是坐标的函数。381、单元位移模式概念与相关问题、单元位移模式概念与相关问题2）全局位移函数与局部（单元）位移函数全局位移函数与局部（单元）位移函数一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响一般而论，位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取计算结果的精度。在弹性力学中，恰当选取全局全局位移位移函数不是一件容易的事情。函数不是一件容易的事情。有限元方法的基本思想是有限元方

23、法的基本思想是采用有限多个采用有限多个局部位移函数逼近全局位移函数局部位移函数逼近全局位移函数。当单。当单元划分得足够小时，把元划分得足够小时，把单元位移函数单元位移函数设定为简单的多设定为简单的多项式就可以获得相当好的精度。项式就可以获得相当好的精度。这是有限单元法特有这是有限单元法特有的重要优势之一。的重要优势之一。39 不同类型单元会有不同的位移函数。这里，以不同类型单元会有不同的位移函数。这里，以三结点三角形单元为例，说明设定位移函数的有关三结点三角形单元为例，说明设定位移函数的有关问题。问题。一个三节点三角形单元，其节一个三节点三角形单元，其节点点i、j、m按按逆时针逆时针方向排列。

24、方向排列。每个节点位移在单元平面内有每个节点位移在单元平面内有两个分量：两个分量：),(mjiutiii（6-1） 一个三角形单元有一个三角形单元有3个节点（以个节点（以 i、j、m为为 序），序），共有共有6个节点位移分量。其个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移单元位移或单元节点位移列阵列阵为：为：ijmuiujumvivjvmxy3）位移模式与单元结点位移之间的关系）位移模式与单元结点位移之间的关系40 本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点位移的关系）为简单多项式：位移的关系）为简单多项式：yaxaayaxaau654321(6-3）

25、式中：式中：a1、a2、a6待定常数，由单元位移的待定常数，由单元位移的6个分量确定。个分量确定。a1、a4代表刚体位移，代表刚体位移，a2、 a3 、 a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是代表单元中的常应变，而且，位移函数是连续函数。连续函数。 tmmjjiimjiuuu(6-2）ijmuiujumvivjvmxyuv625352,aaaaayvaxuxyyx41待定系数的确定待定系数的确定iiiiiiyaxaayaxaau654321jjjjjjyaxaayaxaau654321mmmmmmyaxaayaxaau654321(6-4） 现在，通过单元节点位移确定位移函数中的

26、待定现在，通过单元节点位移确定位移函数中的待定常数常数a1、a2、a6 。设节点。设节点i、j、m的坐标分别为的坐标分别为（xi、yi）、（）、（ xj、yj ）、（）、（ xm、ym ），节点位移分别），节点位移分别为（为（ui、vi）、）、 （uj、vj） 、 （um、vm）。将它们）。将它们代入式（代入式（6-3），得式（），得式（6-4）yaxaayaxaau654321(6-3）42从式从式(6-4）左边）左边3个方程中解出待定系数个方程中解出待定系数a1、a2、a3为为 mmmjjjiiiyxuyxuyxuaa211mmjjiiyuyuyuaa111212mmjjiiuxuxuxa

27、a111213(6-5） 43式中式中a为三角形单元的面积，有为三角形单元的面积，有 mmjjiiyxyxyxa11121(6-6） 特别指出：特别指出：为使求得面积的值为正值，本单元节点号为使求得面积的值为正值，本单元节点号的次序必须是的次序必须是逆时针逆时针转向，如图所示。至于将哪个节转向，如图所示。至于将哪个节点作为起始节点点作为起始节点i，则没有关系。，则没有关系。 将式将式(6-5）代入式）代入式(6-3）的第一式，整理后得）的第一式，整理后得)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaau同理同理)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbayc

28、xbaycxbaaijmxy（2）（1）（7）44)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaau)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbaycxbaa(6-7）式中式中 ),(mjiijmmjax yx ymjiyybmjixxc(6-8） ijm式中（式中（i、j、m）意指：按）意指：按i、j、m依次轮换下标，可依次轮换下标，可得到得到aj、bj、cjam、bm、cm。后面出现类似情况时，。后面出现类似情况时，照此推理。式照此推理。式(6-8）表明：）表明： aj、bj、cjam、bm、cm是是单元三个节点坐标的函数。单元三个节点坐标的函数

29、。452、形函数概念与性质、形函数概念与性质1）形函数的概念）形函数的概念2）形函数的确定）形函数的确定3）位移函数与形函数的关系）位移函数与形函数的关系4）形函数的性质）形函数的性质461）形函数的概念）形函数的概念 形函数是假定单元结点位移分量为（形函数是假定单元结点位移分量为（0，1）状态时所对应的单元位移函数。状态时所对应的单元位移函数。 形函数是用单元节点位移分量来描述位移形函数是用单元节点位移分量来描述位移函数的插值函数。函数的插值函数。47)()()(21mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaau)()()(21mmmmjjjjiiiiycxbaycxbay

30、cxbaa令令 )(21ycxbaaniiii),(mji(6-9） 位移模式位移模式(6-7）可以简写为）可以简写为(6-10） mmjjiimmjjiinnnunununu 式式(6-10）中的）中的ni、nj、nm是坐标的函数，反应了是坐标的函数，反应了单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又称插值函数。称插值函数。 48形函数的行列式表达形函数的行列式表达 11110.51( , ,)211iiijjjjmmmmxyxynxyaxyi j ma

31、xyxy)(21ycxbaaniiii), (mji(6-9） ijmmjax yx ymjiyybmjixxc(6-8） 49用形函数把式用形函数把式(6-10）写成矩阵，有）写成矩阵，有mmjjiimjimjivuvuvunnnnnnvu000000缩写为缩写为 dn(6-11）3）位移函数与形函数的关系）位移函数与形函数的关系50n为形函数矩阵，写成分块形式：为形函数矩阵，写成分块形式：mjinnnn (6-12）其中子矩阵其中子矩阵),(00mjiinnnniiii(6-13）i是是22的单位矩阵。的单位矩阵。51 形函数是有限单元法中的一个重要函数，它具形函数是有限单元法中的一个重要

32、函数，它具有以下性质：有以下性质：性质性质1 形函数形函数ni在节点在节点i上的值等于上的值等于1，在其它节点，在其它节点 上的值等于上的值等于0。对于本单元，有。对于本单元，有 4）形函数的性质）形函数的性质520),(0),(1),(mmijjiiiiyxnyxnyxn（i、j、m）性质性质2 在单元中任一点，所有形函数之和等于在单元中任一点，所有形函数之和等于1。对。对 于本单元，有于本单元，有1),(),(),(yxnyxnyxnmjimmjjiimmjjiinnnunununuxyn（i，j，m）ni =1ijm公式证明、和利用iiiiiiicbaycxbaan)(2153xyn（i

33、，j，m）ni =1ijmnj =1ijmnm =1ijmni =1ijmnj =1nm =1也可利用行列式代数余子式与某行或列元素也可利用行列式代数余子式与某行或列元素乘积的性质（等于行列式值或乘积的性质（等于行列式值或0）证明。）证明。54性质性质3 在三角形单元的边界在三角形单元的边界ij上任一点（上任一点（x，y），有），有 0),(),(1),(yxnxxxxyxnxxxxyxnmijijijiixxixjxyni(xi，yi)j (xj，yj)m (xm，ym)ni(x、y)1ijijijiijijixxxxxxxxxxxxxxyxn1),(证证55性质性质4 形函数在单元上的面积

34、分和在边界形函数在单元上的面积分和在边界上的线积分公式为上的线积分公式为 ijdlnadxdynijiai213(6-14）式中式中 为为 边的长度。边的长度。 ijij在三角形的形心，在三角形的形心， 1/3在三角形的在三角形的ij和和im边的中点，边的中点， 1/2inin56yaxaayaxaau654321(6-3）ijmuiujumvivjvmxyuv补充说明：位移函补充说明：位移函数与形函数的推导数与形函数的推导 mmjjiimmjjiinnnunununu 形函数是假定单元结点位移分量为（形函数是假定单元结点位移分量为（0，1）状态时所对应的单元位移函数。状态时所对应的单元位移函

35、数。57计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵和位移函数0yxyxajmmjiayybmji0 xxcjmi0yxyxamiimj0yybimjaxxcmij2ijjimayxyxaayybjimaxxcijm58计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 由三角形的面积由三角形的面积2aa2ax)0ax0(a1)ycxba(a21n2iiiiay)ay00(a1)ycxba(a21n2jjjjayax1)ayaxa(a1)ycxba(a21n22mmmmayax10ay0ax00ayax10ay0axn59计算单元位移函数举例计算单元位移函数举例 mmjjiimjimjivuvuvunnnnnnvu000000 dn(6-11）举例验证形函数性质；加权平均；内插举例验证形函数性质；加权平均；内插603、位移模式与解答的收敛性、位移模式与解答的收敛性61 （1）位移函数的个数位移函数的个数等于等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中单元中任意一点的位移分量个数。本单元中有有u和和v，与此相应，有，