剪切与扭转变形

1、第八章 剪切与扭转PPPPPPP(b)PM(a)PP单剪面单剪面PP/2P/2PP/2/2PPQQQQP双剪面双剪面（2）剪力：剪切面）剪力：剪切面 上的内力上的内力（3）剪应力：剪力在剪切面上的分布集度）剪应力：剪力在剪切面上的分布集度（一）、剪切实用计算，假设：（一）、剪切实用计算，假设：剪力在剪切面上是均匀分布的剪力在剪切面上是均匀分布的PP剪应力剪应力 （平均剪应力）、（平均剪应力）、（名义剪应力）（名义剪应力）PPPPPFQ AQAQ剪切强度条件241dA铆钉面积：PP假设：挤压力在挤压计算面积上是均匀分布的假设：挤压力在挤压计算面积上是均匀分布的挤压面(b)bs(c)(a)PbsC

2、P挤 压 面(b)bs(c)(a)PbsCPtbsPbsAF bsbstdAbsMdPP解：解：键受力键受力2dMFePdblMAQe2dhlMAFebsPbs4PP例例2：销钉连接：销钉连接, FP18kN , t1=8mm , t2=5mm , =60Mpa bs=200MPa , d=16mm ， 试校核销钉的强试校核销钉的强度。度。PP/ 2/ 2P/2/2PPQQQQP MPadFAQP8.44422bsPbsPbsMPadtFAF6 .1401解：双剪面解：双剪面FPp例题例题3 ：木接头：木接头 求求、bsbcbhbhFAQP解：解：chFAFPbsPbs例题例题4 4：边长为：

3、边长为a a的正方形截面立柱，放在尺寸为的正方形截面立柱，放在尺寸为L LL Lh h的基础上，求基础的的基础上，求基础的。L立柱基础PFh剪 切 面p地基对基础的约束反力集度地基对基础的约束反力集度pFP/L2FQ=p(L2a2)、剪切面面积剪切面面积A4ah 2224ahLaLFP解：解：例题例题 5： 已知：已知：、 、bs、D、t、d。求求FP解：解：1.由强度条件由强度条件 AFdFANPP 4122. 由剪切强度条件：由剪切强度条件： dtFtdFAQPP 3. 由挤压强度条件：由挤压强度条件：bsPbsbsbsPbsdDFAF224 FPminFPN、FPQ、FPbs abFAQ

4、P2bspbscbF2a=100mmc=10mm170解：上钣受力图解：上钣受力图54PP53P52P5P11MPa3 .1531010201701023063）（板的板的强度：强度：铆钉的强度铆钉的强度MPa5 .14641020510230623MPa23010102051023063第三节第三节 扭扭 转转 变变 形形掌握导出圆轴扭转时横截面上切应力公式的方法。 掌握圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律，并 能熟炼地进行圆轴扭转的强度和刚度的计算。能进行简单的扭转超静定问题的分析计算。 外力矩特点：在杆的轴线上外力矩特点：在杆的轴线上1、直接法：M=Pd2、功率法: M=9549Pk/n内

5、力的正负号规则内力的正负号规则某个横截面上的扭矩，某个横截面上的扭矩，其数值等于该截其数值等于该截 面左端（或右端）全部外面左端（或右端）全部外力矩的代力矩的代 数和。外力矩与扭矩正向相反的为正，反之为负。数和。外力矩与扭矩正向相反的为正，反之为负。 扭矩、扭矩图：例：例： 图示传动轴，主动轮图示传动轴，主动轮A A输入功率输入功率P PA A=50 =50 马力，从动轮马力，从动轮B B、C C、D D输出功率分别为输出功率分别为 P PB B=P=PC C=15=15马力马力 ，P PD D=20=20马力，轴的转速为马力，轴的转速为n=300n=300转转/ /分。作轴的扭矩图。分。作轴

6、的扭矩图。rpm 300=PS20PS15 PS50nPPPPDCBA解：解：mN11703005070247024nPmAAmN4683002070247024mN3513001570247024nPmnPmmCDBCB1PS=735W TmB1351 N mT2702 N mTmD3468N mTmB1351 N mT2702 N mTmD3468N mdAdQ=dAdM=dQ. x截面位移为 d=dx= (d/dx) AAdAdMT T T虎克剪切定律虎克剪切定律GEtgG tgE 2(1)EG说明说明3个性能只有个性能只有2个独立个独立此式在第此式在第9章给出证明章给出证明 虎克剪切定

7、律只是虎克剪切定律只是弹性阶段弹性阶段 本构关系本构关系全程全程本构关系如何？本构关系如何？ 要做纯剪切实验要做纯剪切实验 （如薄壁圆管扭转）（如薄壁圆管扭转） 得到得到 图图 剪切比例极限应力（线弹性阶段）剪切比例极限应力（线弹性阶段） p s b 剪切屈服极限应力（进入塑性阶段）剪切屈服极限应力（进入塑性阶段） 剪切强度极限应力（破坏阶段）剪切强度极限应力（破坏阶段） 其中其中 p s b = (d/dx)T=dM= dAdAG代入平衡公式代入平衡公式根据胡克定律根据胡克定律dxdGG pAIdxdGdAdxdGT 2= (d/dx)T=dM= dAdAG其中其中ApdAI2得得pGITd

8、xd 代入应变公式代入应变公式dxd pGIT pIT pIT pGITGpIT 对圆截面对圆截面 ddA2 于是于是ApdAI24420221 . 032 d2 dDDAIDAp对于实心圆截面：DdO)1 (3232)(244442/2/3DdDdIDdpdDOd对于空心圆截面：最大切应力在截面边缘最大切应力在截面边缘其中其中2/dIWpp轴半径轴半径 = D/2rpIT pppWTdITITmaxmaxmaxmax ) 2/( maxpWTmaxmax圆轴扭转的强度条件圆轴扭转的强度条件 理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 与许用正

9、应力与许用正应力之间存在下述关系：之间存在下述关系：对于塑性材料对于塑性材料 (0.5一一0.577) 对于脆性材料，对于脆性材料， (0.81.0) l 式中，式中， l代表许用拉应力。代表许用拉应力。强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxpWTmaxTWpmaxpWT）（空：实：433116 16 DDWp 2 2 2 2d d 2AMATrTTrrArTrAeAAA：平均半径所作圆的面积。 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚r101（r：为平均半径）薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力 r101例例1 1：一厚度为：一厚度为30mm30mm

10、、内直径为、内直径为230mm 230mm 的空心圆管，的空心圆管，承受扭矩承受扭矩T=180 T=180 kNmkNm 。试求管中的最大剪应力，。试求管中的最大剪应力，使用：使用： (1)(1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论； (2)(2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得2max2 rT)1 (1643maxDT(2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理论可求得43329023011629. 010180MPa2 .6203. 013. 021018023MPa5 .56例例2 2：内外径分别为：内外径分别为20m

11、m20mm和和40mm40mm的空心的空心圆截面轴，受扭矩圆截面轴，受扭矩T=1kNT=1kNmm作用，计算横作用，计算横截面上截面上A A点的剪应力及横截面上的最大和最点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。小剪应力。解：解：AApTI100000150043210544.(.) 6366.MPapWTmax)5 . 01 (1604. 0100043 8488.MPaminmax.10204244MPa例例3 3：一空心圆轴，内外径之比为：一空心圆轴，内外径之比为=0.5=0.5，两端受扭，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加

12、一倍，内外径之比仍保持不变，则截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一，面积增大一倍后内外径分别变为倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为最大许可扭矩为1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)828. 222/3311DDTT得例例4 4：一直径为：一直径为D1D1的实心轴，另一内外径之比的实心轴，另一内外径之比 d2d2D2D20.80.8的空心轴，若两

13、轴横截面上的扭矩的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1D2/D1。解：由解：由TDTD132341616108(.)DD214311081192.得例例5：某汽车主传动轴钢管外径某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁，壁厚厚t=2.5mm，传递扭矩，传递扭矩T=1.98kNm， =100MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。若将空心轴改若将空心轴改成实心轴，比较轴的合理性成实心轴，比较轴的合理性33pp4444p103 .202/101 .77)1 (32mmDIWmmDI5 .97PMPaWTmaxmax解

14、：计算截面解：计算截面参数：参数： 由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足故轴的强度满足要求。要求。 同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一三分之一，故故空心轴较实心轴合理空心轴较实心轴合理。 31334. 044)2(222dtDDAA实空空心轴与实心轴的截面面积比空心轴与实心轴的截面面积比(重量比重量比)为：为： MPadWTmaxmax5 .9716/1098. 133p由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。MPamax5 .97若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使则则pGITGdd xTGIp TGIp180 m/rad

15、/mpIGlTT，则若constTGIxpld刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。 max 例例6：图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB与与MC 作用，试计算作用，试计算该轴的总扭转角该轴的总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核轴的刚，并校核轴的刚度。度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1扭转变形分析扭转变形分析利用截面法

16、，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 NmCMBMAMllrad1050. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则： 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。 由此得轴由此得轴AC的总扭转角为的总扭转角为rad100.33rad101.17-rad1050. 12-22BCABAC

17、2 刚度校核刚度校核 轴轴AC为等截面轴，而为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度可见，该轴的扭转刚度符合要求符合要求。 /m43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx例例7 7：长为：长为 L L=2m =2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶m=20N/m m=20N/m 的作的作用，如图，若杆的内外径之比为用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，G G=80GPa =80GPa ，许用剪应力，许用剪应

18、力 =30MPa=30MPa，试设计杆的，试设计杆的外径；若外径；若 =2/m =2/m ，试校核此杆的刚度，并求，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。右端面转角。 由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT解：解：设计杆的外径设计杆的外径maxTWp 116D 43）（pW314max 116）（TD代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。 89. 1)1 (108018040324429D40NmxT右端面转角右端面转角为：为：弧度）( 033. 0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP 例例8 8：某传动轴设计要求转速：某传动轴设计要求转速n n = 500 r / min= 500 r / min，输入功，输入功率率N N1 1 = 500 = 500 马力，马力， 输出功率分