数理方程波动方程的导出PPT学习教案

1、会计学1数理方程波动方程的导出数理方程波动方程的导出牛顿冷却定律牛顿冷却定律: q = k(u|S u0) q热流密度热流密度; u0外界温度外界温度; u|S物体温度物体温度 tanlim),(0 xutxuxx导数的意义导数的意义:xtxutxxutxuxxxx ),(),(),( ),(txut速度速度加速度加速度),(txutt第1页/共16页弦的横向振动问题弦的横向振动问题 一根一根均匀柔软均匀柔软的的细弦线细弦线, ,一端固定在坐标原点一端固定在坐标原点, ,另另一端沿一端沿 x 轴拉紧固定在轴拉紧固定在 x 轴上的轴上的 L 处处，受到扰动受到扰动，开始沿开始沿 x 轴轴( (平

2、衡位置平衡位置) )上下作微小横振动上下作微小横振动( (细弦线上细弦线上各点运动方向垂直于各点运动方向垂直于x 轴轴) )。试建立细弦线上任意点试建立细弦线上任意点位移函数位移函数u(x, ,t)所满足的规律所满足的规律。第2页/共16页 uxT1T2Ox x+dxgdsds设细弦上各点线密设细弦上各点线密度为度为, 细弦上质点细弦上质点之间相互作用力为之间相互作用力为张力张力T(x，t) 水平合力为零水平合力为零 T2 cos 2T1 cos 1 = 0 cos 1cos 2 1 T2T1T （为什么？）（为什么？）铅直合力铅直合力: F=m aT( sin 2sin 1) = ds ut

3、tsin 1 tan 1 （为什么（为什么?） T( tan 2tan 1) = ds utt 第3页/共16页dsdx 其中其中2aT 一维波动方程一维波动方程: : utt = a2 uxx 考虑有恒外力密度考虑有恒外力密度F(x，t)作用时作用时，可以得到一可以得到一维波动方程的非齐次形式维波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)T ux(x+dx，t)ux(x，t) = ds utt utt= a2 uxx 其中其中f(x,y)=F(x,y)/.第4页/共16页细杆的纵向振动问题细杆的纵向振动问题 细杆纵向振动时细杆纵向振动时，细杆各点伸缩细杆各点伸缩，质点位

4、移质点位移 u(x，t) 改变改变，质点位移相对伸长记为质点位移相对伸长记为 ux。 u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO 均匀细杆均匀细杆长为长为L，线线密度为密度为 ，杨氏模量为杨氏模量为Y，杆的一端固定在坐标原杆的一端固定在坐标原点点，细杆受到沿杆长方向的扰动细杆受到沿杆长方向的扰动( (沿沿x轴方向的振动轴方向的振动) )杆上质点位移函数杆上质点位移函数 u(x，t)。第5页/共16页细杆的纵向振动问题细杆的纵向振动问题u(x,t)u(x+dx,t)x x+dxLO 相对伸长：相对伸长： ux ),(),(),( tdxxudxtxutdxxux 导数定义：导数定义： 当当d

5、x 很小时，有很小时，有),(),( txutdxxuxx 第6页/共16页 用牛顿第二定律用牛顿第二定律 令令a2 = Y/ , dx0。化简化简，得得),(),(),(txudxtxutdxxuxxxx SY ux(x+dx，t)ux(x，t) = S dxutt utt = a2 uxxT(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)SY ux(x+dx, t) ux(x, t) 截面应力 P = Y ux ,Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP第7页/共16页弦振动问题定解条件弦振动问题定解条件 细弦一端固定在坐标原点细弦一端固定

6、在坐标原点, ,另一端固定在另一端固定在 x 轴上的轴上的 L 处处. .受到垂直于受到垂直于 x 轴方向的扰动轴方向的扰动, ,作微小横振动作微小横振动。初初始条件包括初始位移和初始速度。始条件包括初始位移和初始速度。 边界条件边界条件表示端点状态表示端点状态初始条件初始条件表示历史状态表示历史状态第8页/共16页u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或或: u(0,t)=0, u(L,t)=0初始条件初始条件: 边界条件：边界条件：弦振动问题定解条件弦振动问题定解条件 u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 或或: u(x,0)= (x) , u

7、t(x,0)=g(x) 第9页/共16页 LxxuxxuttLututLxuautxxtt0, 0)0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,2 LxLLxLhLxLhxx2/,/ )(22/0,/2)( OLL/2hxu波动方程定解条件波动方程定解条件I第10页/共16页波动方程定解条件波动方程定解条件II 细弦的线密度为细弦的线密度为 ,一端固定在坐标原点一端固定在坐标原点, ,另一端固另一端固定在定在 x 轴上的轴上的 L 处处. .弦的中点受到垂直于弦的中点受到垂直于 x 轴方向的轴方向的冲量冲量 I I 的作用的作用, ,作微小横振动作微小横振动。函数函数 u(x

8、,t) 表示位移表示位移 LxxxuxuttLututLxuautxxtt0),()0 ,(, 0)0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,2 otherLxLIx, 02/2/),2/()( 第11页/共16页波动方程定解条件波动方程定解条件III Lu(L,t)O细杆在细杆在 x = 0 点固定点固定, 在在 x = L 处受外力处受外力 F(t) 作用作用 ),()(tLSYutFuxtt F(t) SY ux( L , t ) = 0 SYtFuLxx/ )( LxxuxutSYtFuutLxuautLxxxxxtt0, 0)0 ,(, 0)0 ,(0,/ )(, 0|0,0,02第12页/共16页波动方程定解条件波动方程定解条件IV 弦的一端固定在原点弦的一端固定在原点, ,另一端与另一端与 x 轴上轴上 L 处的弹处的弹簧相接簧相接. .受到扰动受到扰动, ,作上下微小横振动作上下微小横振动。 在右端点处在右端点处(张力张力=弹性力弹性力) :令令 =T/K, 得得u + uxx=L=0 LxxuxutuuutLxuautLxxxxxtt0, 0)0 ,(, 0)0 ,(0, 0 , 0|0,0,02 Tux= - -Ku第13页/共16页u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 初始条件初始条件: 边界条件：边界条件：弦振动问题定解条件弦振动