数理方程热传导方程的导出PPT学习教案

1、会计学1数理方程热传导方程的导出数理方程热传导方程的导出其中, k 是导热系数, u(x, y, z) 是导热体中的温度,付里叶热传导定律: 在dt时段内,通过面积元dS流入体积元的热量 dQ 与沿面积元外法线方向的温度变化率 成正比, 也与 dS 和dt成正比nu dsdtnukdQ 1通过曲面进入导热体的总热量:dtdsnukQttS 211dxxdxx 三维热传导方程推导)coscoscos()( zyxuuununu 第1页/共11页通过曲面进入导热体的总热量: 21)(1ttVdtdxdydzuGraddivkQ温度升高所需热量: VdxdydztzyxutzyxucQ),(),(1

2、22 VttVttdtdxdydztucdxdydzdttuc2121 Q1 = Q22211()ttttVVuk div Grad u dxdydz dtcdxdydz dtt 第2页/共11页三维热传导方程: ut = a2uxx + uyy + uzz tucuGraddivk )(Q1 = Q2记 a2 = k/(c) tuuGraddiva )(2uatu 2第3页/共11页初始条件: u(x, y, z, 0)= (x, y, z)ut = a2uxx + uyy + uzz =uII. 第二类边界条件:),(tzyxnuS III. 第三类边界条件:),(tzyxunuS I.

3、第一类边界条件:),(tzyxuS (已知边界温度)(边界上有热流进入)(边界上有热交换)热传导问题三类边界条件第4页/共11页一维热传导方程: ut = a2uxx LxxxuttLututLxuauxxt0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,2 热传导方程的初边值问题(第一类边界条件)例如第5页/共11页L长的细杆边界上有热流进、出u(x, t )LO1. 在 x = L 处有热流 q 流出 ux | x=L = q / k2. 在 x = L 处有热流 q 流入 ux | x=L = q / k3. 在 x = 0 处有热流 q 流出 ux | x=L = q / k4

4、. 在 x = 0 处有热流 q 流入 ux | x=L = q / kdsdtnukdQ 这里 为沿热流方向的方向导数nu nukq 边界上有热交换)|(|11uukxukLxLx )|(|1010uukxukxx 第6页/共11页拉普拉斯方程与拉普拉斯算子二维热传导方程: ut = a2uxx + uyy三维热传导方程: ut = a2uxx + uyy + uzz 热传导问题中,如果物体内部没有热源,物体外围温度不随时间变化,则经过相当长时间以后,物体内部的温度将不再改变,趋于稳定状态。ut =0uxx + uyy + uzz =0 (Laplace方程)0222222 zuyuxu或第7页/共11页正方形区域上第一边值问题 yyuxuxuyuyxuuyyxx sin), 1(0)1 ,()0 ,(), 0(1,0, 0yshxshyxu sin),( 准确解:O1x1y第8页/共11页习题2.6（P.26）1第9页/共11页高斯公式 Vzy