广东省揭阳一中高三上学期第二次段考理科数学试题及答案

1、1揭阳一中揭阳一中 9292 届高三第二次段考理科数学试卷届高三第二次段考理科数学试卷2013-12-52013-12-5、选择题（本大题共、选择题（本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）1 1、设不等式、设不等式20 xx的解集为的解集为 m m，函数，函数( )ln(1 |)f xx的定义域为的定义域为 n n，则，则mn为为（）a a 00，1 1）b b （0 0，1 1）c c00，11d d （-1-1，002 2、已知、已知a是实数，是实数，i1 ia 是纯虚数，则是纯虚数，则a等于（等于（）a a1b b1c c2d d23 3、设

2、、设 p p 是是abcabc 所在平面内的一点，所在平面内的一点，2bcbabp ，则（，则（）a.a.0papb b.b.0pcpa c.c.0pbpc d.d.0papbpc 4.4.已知圆已知圆 c c：的圆心为抛物线的圆心为抛物线的焦点的焦点，直线直线 3x3x4y4y2 20 0与圆与圆 c c 相切，则该圆的方程为相切，则该圆的方程为( () )a ab bc cd d5 5将函数将函数 y y2cos2x2cos2x 的图象向右平移的图象向右平移2个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短缩短到原来的到原来的21倍（纵坐标不变倍（纵坐标

3、不变） ，得到的函数解析式为，得到的函数解析式为( () )a ay ycos2xcos2xb by y2cosx2cosxc cy y2sin4x2sin4xd dy y2cos4x2cos4x6.6. 设某大学的女生体重设某大学的女生体重 y y（单位单位：kgkg）与身高与身高 x x（单位单位：cmcm）具有线性相关关系具有线性相关关系，根据根据一组样本数据一组样本数据 （x xi i， y yi i）（i=1i=1， 2 2， ， n n） ， 用最小二乘法建立的回归方程为用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是则下列结论

4、中不正确的是( () )a.ya.y 与与 x x 具有正的线性相关关系具有正的线性相关关系b.b.回归直线过样本点的中心（回归直线过样本点的中心（x，y）c.c.若该大学某女生身高增加若该大学某女生身高增加 1cm1cm，则其体重约增加，则其体重约增加 0.85kg0.85kgd.d.若该大学某女生身高为若该大学某女生身高为 170cm170cm，则可断定其体重比为，则可断定其体重比为 58.79kg58.79kg7.7. 已知函数已知函数22( )(2)f xxbaxab是偶函数是偶函数，则此函数的图象与轴交点的纵则此函数的图象与轴交点的纵2坐标的最大值为坐标的最大值为( () )a.a.

5、2b.2b.2c.4c.4d.d.2 28 8、如右图如右图，矩形矩形oabc内的阴影部分由曲线内的阴影部分由曲线( )sin (0, )f xx x及直线及直线(0, )xa a与与x轴围成轴围成，向矩形向矩形oabc内随机投掷一内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为点，若落在阴影部分的概率为163，则，则a的值为的值为（）a a31b b32c c43d d65二、填空题二、填空题（本大题共（本大题共 7 7 小题小题, , 分为必做题和选做题两部分分为必做题和选做题两部分每小题每小题 5 5 分分, , 满分满分 3030 分）分）（一）必做题（一）必做题: : 第第 9 9 至至 13

6、13 题为必做题题为必做题, , 每道试题考生都必须作答每道试题考生都必须作答9 9、若函数、若函数)(2()(2cxxxf在在2x处有极值，则函数处有极值，则函数)(xf的图象在的图象在1x处的切线处的切线的斜率为的斜率为。1010、 若关于若关于x x的不等式的不等式2|1|2|1()xxaaxr的解集为空集，则实数的解集为空集，则实数a a的取值的取值范围是范围是。11.11.设 向 量设 向 量a，b，c满 足满 足0abc ， 且， 且0 ba， 则， 则| 3,| 4ac， 则， 则|b=_=_1212给定下列四个命题：给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那

7、么这两个平面相互平行；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是真命题的是。1313某程序框图如图某程序框图如图1 1所示，该程序运行后输出的结果所示，该程序运行后输出的结果k的值是的值是3odcba（二）选做题（二）选做

8、题: : 第第 1414、1515 题为选做题题为选做题, , 考生只能选做其中一题考生只能选做其中一题, , 两题全答的两题全答的, , 只计前只计前一题的得分。一题的得分。14.14. （坐标系与参数方程选做题坐标系与参数方程选做题）设设、分别是曲线分别是曲线2sin0和和2s()42in上的动点，则、的最小距离是上的动点，则、的最小距离是15.15. （几何证明选做题）（几何证明选做题）如图，圆如图，圆o是是abc的外接圆，过点的外接圆，过点 c c 的切线交的切线交ab的延长线的延长线于点于点d，2 7cd ，3abbc。 则则bd的长的长_(_(2 2分分) )ac的长的长_(3_(

9、3 分分) )三三、解答题解答题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，共共 8080 分分. .解答应写出必要过程或演算步骤解答应写出必要过程或演算步骤）16.16.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）函数函数rxzkxkxxf,)2214cos()2cos()(。（1 1）求）求)(xf的周期的周期； （2 2）)(xf在在),0上的减区间；上的减区间；（3 3）若）若)(f5102，)2,0(，求，求)42tan(的值。的值。17.17. （本小题满分本小题满分 1212 分分）某次有某次有 10001000 人参加的数学摸底考试人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如其成绩

10、的频率分布直方图如图所示，规定图所示，规定 8585 分及其以上为优秀分及其以上为优秀. .（1 1）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数 a,a, b b 的值；的值；区间区间7575，80)80)8080， 85)85)8585， 90)90)9090， 95)95)9595， 10010085809010095频率组距分数750.010.020.030.040.050.060.074人数人数5050a a350350300300b b（2 2）现在要用分层抽样的方法从这）现在要用分层抽样的方法从这 10001000 人中抽取人中抽取 4040

11、 人的成人的成绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（3 3）在（）在（2 2）中抽取的）中抽取的 4040 名学生中，要随机选取名学生中，要随机选取 2 2 名学生参名学生参加座谈会，记加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数其中成绩为优秀的人数”为为 x x，求，求 x x 的分布列与的分布列与数学期望数学期望. .18.18.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分）已知几何体已知几何体abced的三视图如图所示，的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 4 的等腰的等腰直角三角形，正视图为直角梯形直角三角形，正

12、视图为直角梯形（1 1）求异面直线）求异面直线de与与ab所成角的余弦值；所成角的余弦值；（2 2）求二面角）求二面角aedb的正弦值；的正弦值；（3 3）求此几何体的体积的大小）求此几何体的体积的大小19.19.（本小题满分（本小题满分 1414 分）分）已知数列已知数列na前前 n n 项和为项和为ns，首项为，首项为1a，且，且nnsa ,21成等差数列成等差数列. .（i i）求数列）求数列na的通项公式；的通项公式；（iiii）数列满足）数列满足)(log)(log322122 nnnaab，求证：，求证：211111321 nbbbb20.20. （本小题满分（本小题满分 1414

13、 分）已知三点分）已知三点 o(0,0)o(0,0)，a(a(2,1)2,1)，b(2,1)b(2,1)，曲线，曲线 c c 上任意一点上任意一点m(xm(x，y)y)满足满足| |mamb| |om ( (oa ob ) )2.2.(1)(1)求曲线求曲线 c c 的方程；的方程；5(2)(2)点点 q(xq(x0 0，y y0 0)()(2x2x0 02)2)是曲线是曲线 c c 上的动点上的动点，曲线曲线 c c 在点在点 q q 处的切线为处的切线为 l l，点点 p p 的坐标的坐标是是(0(0，1)1)，l l 与与 papa，pbpb 分别交于点分别交于点 d d，e e，求，求

14、qabqab 与与pdepde 的面积之比的面积之比2121( (本小题满分本小题满分 1414 分分) )已知函数已知函数xxxgxxf221)(,ln)(2 （）设）设)() 1()(xgxfxh （其中（其中)(xg是是)(xg的导函数的导函数） ，求，求)(xh的最大值；的最大值；（）求证）求证: : 当当0ba时，有时，有aabafbaf2)2()( ；（）设）设zk , ,当当1 x时时, ,不等式不等式4)(3)() 1( xgxxfxk恒成立，求恒成立，求k的最大值的最大值. .揭阳一中揭阳一中 9292 届高三第二次段考理科数学答案届高三第二次段考理科数学答案一一 、aabc

15、ddbbaabcddbb9.9. -5-510.10.）（），（ 01-11.11.712.12. 13.713.714.14.1-215.15.4,4,72316.16.解解： （1 1）)222cos(2cos)2214cos()2cos()(xkxxkxxf)42(sin22cos2sinxxx， （zk ） 3 3 分分6所以，所以，)(xf的周期的周期2412t。 4 4 分分（2 2）由）由zkkxk,2234222，得，得zkkxk,42542。 6 6 分分又又),0 x，令令0k，得，得252 x；令；令1k，得，得2327x（舍去）（舍去）)(xf在在),0上的减区间是上的

16、减区间是),2。 8 8 分分（3 3）由）由)(f5102，得，得51022cos2sin，58sin1， 53sin 1010 分分又又)2,0(，542591sin1cos2 1111 分分43cossintan，7241691432tan1tan22tan2 1313 分分)42tan(1731724117244tan2tan14tan2tan。1414 分分17.17.解：解：解解： （1 1）依题意，）依题意，0.04 5 1000200,0.02 5 1000100ab . . 4 4 分分（2 2）设其中成绩为优秀的学生人数为）设其中成绩为优秀的学生人数为x x，则，则3503

17、00 100401000 x，解得：，解得：x x=30=30，即其中成绩为优秀的学生人数为即其中成绩为优秀的学生人数为 3030 名名. .6 6 分分（3 3）依题意，）依题意，x x的取值为的取值为 0 0，1 1，2 2，2102403(0)52cp xc，1110302405(1)13c cp xc，23024029(2)52cp xc，所以所以x x的分布列为的分布列为x x0 01 12 27p p3525132952352930125213522ex ，所以，所以x x的数学期望为的数学期望为32. .1212 分分18.18.解解： （1 1）取）取ec的中点是的中点是f，连

18、结，连结bf，则则/bfde，fba或其补角即为异面直线或其补角即为异面直线de与与ab所成的角所成的角2 2 分分在在baf中，中，4 2ab ，2 5bfaf10cos5abf4 4 分分异面直线异面直线de与与ab所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为105 5 5 分分（2 2）因为）因为ac 平面平面bce，过，过c作作cgde交交de于于g，连，连ag可得可得de 平面平面acg，从而，从而agde，agc为二面角为二面角aedb的平面角的平面角7 7 分分在在acg中，中，90acg，4ac ，8 55cg ，5tan2agc5sin3agc二面角二面角aedb的的正弦值为的的正弦

19、值为53 1010 分分（3 3）1163bcedvsac，几何体的体积为几何体的体积为 1616 1212 分分方法方法 2 2： （1 1）以）以c为原点，以为原点，以 caca，cbcb，cece 所在直线为所在直线为 x,y,zx,y,z 轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系则则 a a（4 4，0 0，0 0） ，b b（0 0，4 4，0 0） ，d d（0 0，4 4，2 2） ，e e（0 0，0 0，4 4）(0, 4,2)de ，( 4,4,0)ab ，10cos,5de ab ，异面直线异面直线de与与ab所成的角的余弦值为所成的角的余弦值为105（2 2）平面）平面

20、bde的一个法向量为的一个法向量为(4,0,0)ca ，设平面，设平面 adeade 的一个法向量为的一个法向量为( , , )nx y z，所以所以( 4,4,2)ad ，(0, 4,2)de ，8则则nadnde， 0,0n adn de 从而从而4420 xyz，420yz，令令1y ，则，则(2,1,2)n ，2cos,3ca n ，二面角二面角aedb的的正弦值为的的正弦值为53（3 3）1163bcedvsac，几何体的体积为几何体的体积为 1616920.20.解：解：(1)(1)由由ma( (2 2x,x,1 1y y) )，mb(2(2x,x,1 1y y) )，得，得1 1

21、 分分| |mamb| |2 2x x2 22 22 2y y2 2，2 2 分分om ( (oa ob ) )( (x x，y y) )(0,2)(0,2)2 2y y，3 3 分分由已知得由已知得2 2x x2 22 22 2y y2 22 2y y2 2， 4 4 分分化简得曲线化简得曲线c c的方程是的方程是x x2 24 4y y. . 6 6 分分10(2)(2)直线直线papa，pbpb的方程分别是的方程分别是y yx x1 1，y yx x1 1，7 7 分分曲线曲线c c在在q q处的切线处的切线l l的方程是的方程是y yx x0 02 2x xx x2 20 04 4，8

22、 8 分分且与且与y y轴的交点为轴的交点为f f0 0，x x2 20 04 4 ，9 9 分分分别联立方程，得分别联立方程，得y yx x1 1，y yx x0 02 2x xx x2 20 04 4，y yx x1 1，y yx x0 02 2x xx x2 20 04 4，解得解得d d，e e的横坐标分别是的横坐标分别是x xd dx x0 02 22 2，x xe ex x0 02 22 2，1111 分分则则x xe ex xd d2 2，| |fpfp| |1 1x x2 20 04 4，故故s spdepde1 12 2| |fpfp| | |x xe ex xd d| |1 12 21 1x x2 20 04 4 2 24 4x x2 20 04 4，而而s sqabqab1 12 24 41 1x x2 20 04 4 4 4x x2 20 02 2，则，则s sqabqabs spdepde2.2.即即qabqab与与pdepde的面积之比为的面积之比为 2.2. 1414 分分21.21.（本题满分（本题满分