第三章货币的时间价值工程经济学

1、张彩江张彩江 工程经济学工程经济学 Engineering Economics 暨南大学硕士学位课程 第三章第三章 货币的时间价值货币的时间价值 教教 材材 教教 材材 工程经济学，陆春菊，徐莉，清华大学 出版社，2017 工程经济学原理，朴赞锡（Chan,S, Park），机械工业出版社，2015 参参 考考 工程经济学第二版，刘晓君主编，中国建筑工 业出版社，2014 工程经济学第五版，邵颖红等，同济大学出版 社，2014 工程经济学第四版，李南主编，科学出版社， 2013 货币的时间价值概念货币的时间价值概念 终值终值 现值现值 年金年金 4 1 2 3 目录目录 1.货币时间价值概念

2、l思考： l 今天的100元是否与1年后的100元价值相 等？为什么？ 未来未来 现在现在CFCFCF 公司 股价计算 投资決策 融资決策 个人 房屋抵押贷款 汽车分期贷款计算 1.货币时间价值概念 已探明一个有工业价值的油田，目前 立即开发可获得100亿元，若5年后开发， 价格上涨可获到160亿元。我们何时开发这 个油田比较有利呢？ ？ 1.货币时间价值概念 货币货币的时间价值的时间价值，也称为也称为资金资金的时间价值的时间价值， 是指是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加货币经历一定时间的投资和再投资所增加 的价值，的价值，它表现为同一数量的它表现为同一数量的货币货币在不同的时在不同的时

3、 点上具有不同的价值。点上具有不同的价值。 如何理解货币时间价值？ l 1、货币时间价值是货币在周转使用中产 生的，是货币所有者让渡货币使用权而参与 社会财富分配的一种形式。 l 2、通常情况下，货币的时间价值相当于 没有风险和没有通货膨胀条件下的社会平均 资金利润率。 l 3、货币时间价值以商品经济的高度发展 和借贷关系的普遍存在为前提条件。 l 4、货币时间价值在投资项目决策中具有 重要的意义。 概念定义、资金的时间价值（概念定义、资金的时间价值（Time Value of Money ） 1.资金的时间价值涵义 l定义：是指资金在使用过程中，随着时间变化所发生的增值， 又称为货币的时间价

4、值 2.资金时间价值计算:几个基本术语 l现值（Present Value）:从现在的观点看到的价值,是指未来一 定时间的特定货币按一定利率折算导现在的价值； l终值（Future Value）: 从将来的观点看到的价值，是指现在一 定数额的资金按一定的利率计算的一定时间后的价值。 l单利（Simple Interest） l复利(Compound Interest) l名义利率（Nominal Interest Rate） l有效利率（Effective Interest Rate） 3.复利终值与现值 l复利终值 6105. 15%,10,/1 ,/ ,/)1 ( )1 ( , ）利终值系

5、数表”，如（元钱的终值表，称“复可直接查 ）（ ）表示，则有：用符号（：称为复利终值系数， ，则：，终值为，期数为利率为假设现值为 来价值。的本金和利息在内的未 过一段时间后，所获得的收（或者付）款项经复利终值：是指一次性 PF niPFPF niPFi ipF FniP n n n n n l复利现值 ）（ ）表示，则有：用符号（：称为复利现值系数， niFPFP niFPi n ,/,/ ,/,/)1 ( 时间线时间线 l0，1，2，n 时点 li 利率 lCFn 第n期现金流 CF0CF1CF3CF2 0123 i% 时间线时间线 -100 ？ 0123 6%10%8%9% 4 -300

6、 2. 终值 l将某特定时点的金钱价值复利成为未来特定时点之金 钱价值（复利就是将今天价值转换成为终值的过程）， 一般而言我们可以利用以下的复利公式来计算终值： n iPVFVn)1( 或是以查终值利率因子表(Future Value Interest Factor)的方式求算终值： )( ,ni FVIFPVFVn 未来未来 现在现在 PV：现值 FV：终值 2.终值终值 l PV PV 现值，期初余额现值，期初余额 l FV FV 终值，期末余额终值，期末余额 复利：以上仪器的利息加上本金为基数计复利：以上仪器的利息加上本金为基数计 算党旗利息的方法。算党旗利息的方法。 -100 ？ 01

7、23 10% 45 2.终值终值 -100 ？ 0123 10% 45 FV1= PV(1 + i) FV2= PV(1 + i)2 FV3= PV(1 + i)3 FV4= PV(1 + i)4 FV5= PV(1 + i)5 FVn= PV(1 + i)n 2.终值的计算方法终值的计算方法 1. 代数运算法 2. 利息表法（查表运算法） 3. 财务计算器法 4. 电子表格法（EXCEL） 利息表法利息表法 FVn= PV(1 + i)n FVIFi.n - 利率为利率为i，其数为，其数为n的终值利息因子的终值利息因子 = PV(FVIFi.n) -100 ？ 012 3 10% 45 FV

8、5=PV(1 + 0.1)5= PV(FVIF10%，5) 期数期数（n）0%5%10%15% 11.00001.05001.10001.1500 21.00001.10251.2101.3225 51.00001.27631.61052.0114 =161.05 附录A 表A-3 （P878） 2.终值 l当复利利率固定不变， 终值与到期期数成正向 变动关系。也就是说， 若是相同之现值金额数、 利率固定之下，相对距 离现在越久价值越高。 l若期间固定不变，则利 率越高，终值越高。也 就是说若通货膨胀很大 或银行基本利率很高， 则相同之现值、期间下， 终值金额将变大。 图图 2 2.终值 l我

9、们来看看复利与单利的我们来看看复利与单利的差异差异。本金本金$100$100元元，利率为利率为14%14%的情況下，的情況下， 可以看出自第四年后，复利与单利间本利和的差距越来越大，这是因可以看出自第四年后，复利与单利间本利和的差距越来越大，这是因 为复利每一期以上一期本利和为计算利息的基础。由图为复利每一期以上一期本利和为计算利息的基础。由图1 1，更清楚地，更清楚地 看出复利与单利增加的趋势。看出复利与单利增加的趋势。 图1 复利与单利之差异 表 1 复利与单利的差异 年期复利单利 0100100 1114114 2129.96128 3148.1544142 4168.8960156 5

10、192.5415170 6219.4973184 7250.2269198 8285.2586212 9325.1949226 10370.7221240 0 100 200 300 400 500 600 700 0246810 12 年 终值 复利 单利 例题1 也可以选择运用EXCEL试算表中 之函数运算功能，操作如下： 1.选择插入函数 2.选择函数类別中财务 3.选择函数名称中FV 4.在出现对话框中填入适当的数字 5.在Rate中填入利率 6.在Nper中填入期间期数 7.Pmt无需输入(指年金) 8.在Pv中填入现在存入之金额 9.在Type中选择期初或期末付款 10.或直接键入

11、公式： = FV(8%,3,1000000,0) =FV(8%,3, 1000000,0) 11.按Enter即得答案 = $ 1,259,712.00 l假设现在你有1,000,000元存放 在工商银行，固定利率之定期 存款，年利率为8%，三年之 后你将拥有多少资本存放于工 商银行定存款户头? 712,259, 1 000,000, 1 %)81 (000,000, 1 308. 0000,000, 1 3%,8 3 3 FVIF FV nrPV 真希望钱真希望钱 可以天天可以天天 自己长大自己长大 求求 i 期数期数（n）0%5%10%15% 11.00001.05001.10001.15

12、00 21.00001.10251.2101.3225 51.00001.27631.61052.0114 -100 161.05 0123 ？% 45 FV5=PV(1 + i)5= PV(FVIFi%,5) =161.05 (FVIFi%，5) = - = - = 1.6105 FV5 161.05 PV 100 附录A 表A-3 （P878） 求求 n 期数期数（n）0%5%10%15% 11.00001.05001.10001.1500 21.00001.10251.2101.3225 51.00001.27631.61052.0114 -100 161.05 012 10% n FV

13、5=PV(1 + 0.1)n= PV(FVIF10%，n) =161.05 (FVIF10%，n) = - = - = 1.6105 FVn 161.05 PV 100 附录A 表A-3 （P878） 例子例子 已探明一个有工业价值的油田，目前立 即开发可获得100亿元，若5年后开发，价格 上涨可获到160亿元。我们何时开发这个油 田比较有利呢？（假设再投资收益率为10%） FV5=PV(1 + 0.1)5= PV(FVIF10%，5) =161.05 161.05 160 所以目前立即开发比较有利所以目前立即开发比较有利 3.现值 l现值（Present Value）是在某特定时点（过去或未

14、来）之金钱价 值折合成目前之金钱价值，而折现(Discounting)就是将上一 节复利的概念反推回去求得过去某时点上实际的现金价值。单期 支付额的现值为 l一连串现金流量Ct的现值为 n t t t n n i C i C i C i C PV 1 2 21 )1 ( )1 ( . )1 ()1 ( 未来未来 现在现在 未来未来 现在现在C1C2Cn )( )1 ()1 ( ,nin n n n PVIFFV i FV i C PV 3.现值现值 FVn= PV(1 + i)n= PV(FVIFi.n) PV= - = FVn(PVIFi.n) (1 + i)n FVn PVIFi.n -

15、利率为利率为i，其数为，其数为n的现值利息因子的现值利息因子 PV= ? 例题 l京子小姐希望存一笔钱在银行里，两年后能有100,000元，在 银行年利率6.5%定存下，京子小姐现在应该存入多少钱? l假设你希望30年后退休，且拥有1千万元的存款放在银行內定 存，假设固定年利率4%，现在应该准备多少钱? 93.165,88 %)5 . 61 ( 000,100 000,100%)5 . 61 ( 2%,5 . 6 2 2 PVIFFV PV PV n l当折现利率固定不变，现值 与到期期数成反向变动关系。 也就是说，若是相同之终值 金额数、折现率固定之下， 距离现在越久价值越低。 l若期间固定

16、不变，则折现利 率越高，现值越低。也就是 说若通货膨胀很大或银行基 本利率很高，则相同之终值、 期间下，现值将变小。 3.现值 3.现值 l终值利率因子与现值利率因子是互为倒数关系的。 终值利率因子（Future Value Interest Factor，FVIF）= (1+i)t 现值利率因子（Present Value Interest Factor，PVIF)= t i)1 ( 1 基本现值公式（Basic Present Value Equation）： t t t i FV PV iPVFV )1( )1( 且由以上公式得知现值利率因子与终值利率因子乘积为1 (FVIFi , n)

17、 (PVIFi ,n) = 1 4.年金年金 若你在未来的3年的每年年末向股票市 场投资10000元，你预测每年的投资收益率 为10%，那么3年后你能获得多少钱呢？ ？ 4.年金年金 年金是指一定时期内时间间隔相等，金额 相等的货币收支系列。 如分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养 老金、分期支付工程宽、分期支付利息、租金 、保险费等通常表现为年金的形式。年金按付 款方式可分为普通年金（后付年金）普通年金（后付年金）、即付年即付年 金（先付年金）金（先付年金）和永续年金永续年金 3.普通年金（Annuity）概念定义 l定义：是指一定时期内，每隔相同的时间、发生的相同数额系 列收（或付）的款项

18、l按付款时间可以分为： l普通年金或后付年金（Ordinary Annuity）：指每期期末 发生的年金； l预付年金(Annuity Due)：每期期初发生的年金； l递延年金(Deferred Annuity)：指在一定时期内，从0开 始，隔m期以后才发生等额系列收付的一种年金形式； l永续年金（Perpetual Annuity）：指无限期等额收付的 年金 4.普通年金与先付年金普通年金与先付年金 普通年金普通年金是指每期期未有等额收付款 项的年金。又称后付年金后付年金。 如果货币发生额在每期的期初，年金 就被称为先付年金先付年金。 普通年金的终值普通年金的终值 100001000010

19、000 0123 10% 11000 12100 FV = 33100 后付年金终值是一定时期内每期期末金额收付款项 的复利终值之和。 FVA3=PMT(1 + 0.1)2+PMT(1 + 0.1)1+PMT(1 + 0.1)0 普通年金的终值普通年金的终值 后付年金终值是一定时期内每期期末金额收付款项 的复利终值之和。 =PMT(1 + 0.1)n-1+PMT(1 + 0.1)n-2 =PMT(FVIFAi,n) + + PMT(1 + 0.1)0 FVAn n 1=t 1n- i)+(1PMT= FVIFAi,n - 年金终值利息因子年金终值利息因子 普通年金终值的计算普通年金终值的计算

20、若你在未来的3年的每年年末向股票市场投 资10000元，你预测每年的投资收益率为10%， 那么3年后你能获得多少钱呢？ FVA3=10000(1 + 0.1)2+10000(1 + 0.1)1+10000(1 + 0.1)0 =10000(FVIFA10%,3) 期数期数（n）1%5%10%15% 11.00001.00001.00001.0000 22.01002.05002.10002.1500 33.03013.15253.31003.4725 附录A 表A-4 （P880） =33100 先付年金的终值先付年金的终值 FVAn (先付年金先付年金) = PMT (FVIFAi，n) (

21、1+i) 1000010000 0123 10% 11000 12100 FV = 33100 10000 100001000010000 11000 12100 +13310 FV = 36410 012 10% 3 后付年金 先付年金 普通年金的终值普通年金的终值 普通年金现值是一定时期内每期期末金额收付款项 的复利现值之和。 100100100 0123 10% 90.91 82.64 75.13 248.68 = PV ) i+1 1 (100+) i+1 1 (100+) i+1 1 (100=PVA 32 n 普通年金的终值普通年金的终值 普通年金现值是一定时期内每期期末金额收付款

22、项的复利现值之和。 ) i+1 1 ( PMT+ ) i+1 1 ( PMT+) i+1 1 (PMT=PVA n2 n n 1=i ) t+1 1 ( t PMT=)PVIFA( PMT=n, i PMTPMTPMT 0123 10% PV1 PV2 PV3 PVIFAi,n代表年金现值利息因子代表年金现值利息因子。 先付年金的终值先付年金的终值 nPVAi)+)(1PVIFA( PMT=n, i PMT PMT PMT 0123 10% PV1 PV2 PVIFAi,n代表年金现值利息因子代表年金现值利息因子。 永续年金永续年金 永续年金是指这些年金可以无限的永续下去 ，或永续发生。如优先

23、股 +) i+1 1 (PMT+) i+1 1 (PMT+) i+1 1 (PMT=PV n2 i PMT = 非均衡的现金流量系列非均衡的现金流量系列 年金所涉及的是均衡的现金流，但实际中有 许多的决策会涉及到非均衡的现金流。如普通股 的股利支付通常的将随着时间的推移而不断变化。 非均衡的现金流量系列的现值非均衡的现金流量系列的现值 某公司今年投资一个的500万元的项目，预计未来 四年分别能产生100、300、300、50万元的收入，这个 项目对公司有利吗？ 0 100 1 300 2 300 3 10% 50 4 90.91 247.93 225.39 34.15 98.38 = PV -

24、500 非均衡的现金流量系列的现值非均衡的现金流量系列的现值 ) i+1 1 (CF+) i+1 1 (CF+) i+1 1 (CF=PV n n 2 21 n 1=i ) t+1 1 (CF t = t n 1=i )PVIF(CF=t, it 0 100 1 300 2 300 3 10% 50 4 90.91 247.93 225.39 34.15 98.38 = PV -500 非均衡的现金流量系列的终值非均衡的现金流量系列的终值 0 CF1 1 CFn-1 n-1 i% CFn n FVn-1 CF0 FV1 FV0 PV = CF0(1+ i) + CF1(1+ i) +CFn n

25、 1=t tn, i t n 1=t t)FVIF(CF=) i+1(CF= n n-t n-t 半年期以及其它复利计息时期半年期以及其它复利计息时期 前面的例子都是假设每年计算一次利息，这 被称为年度复利。 如果每半年计算一次利息成为半年复利。 而许多的抵押贷款、汽车贷款都是按月度还 本付息的，因此，理解如何分析非年度利复利是 非常重要的。 半年期以及其它复利计息时期半年期以及其它复利计息时期 （1）将所有的利率转化成 “时期利率” ； （2）将年数转换为 “期数” ： 时期利率 = 年利率 / 每年复利计息的期数 期数 = 年数 每年的期数 半年期以及其它复利计息时期半年期以及其它复利计息

26、时期 假设你把100元存入银行，年利率为6%，这笔 存款在帐户上3年。 首先考虑年度复利的情况： 如果利率每半年支付一次： 时期利率 = 6% / 2 = 3% 期数 = N = 32 = 6 10.119=)06.1(100=FV 3 3 41.119=6)03.1(100=FV3 半年期以及其它复利计息时期半年期以及其它复利计息时期 由于存在的各种不同的计息周期，我们需要比 较复利计息期间不同的金融资产就需要转换到一个 共同的比较基础。 （1）名义的或公布的利率 （2）有效的或等价的年利率（EFF%或EAR） 如果按年计复利也会得出同样的结果（未来 价值）的年利率，就称为有效的年利率。 有

27、效年利率=EAR或EFF%= - 有效年利率=EAR或EFF%= - 0.1) m i +1( Nom m %09.6=0.1) 2 06.1 +1( 2 半年期以及其它复利计息时期半年期以及其它复利计息时期 复利计息次数超过一年一次的福利终值： iNom是名义的或公布的利率，而m是每年计福 利的次数，n为年数 ) m i +1(PV=FVn Nom mn 半年期以及其它复利计息时期半年期以及其它复利计息时期 例子： 许多银行的信用卡每月收取1.5%的利息，而 在银行的广告词中宣称，年度利率（APR）为 1.5%*12=18% 。而他们的有效年利率是多少呢？ 有效年利率=EAR或EFF% -

28、%6.19=0.1) 12 18.0 +1(= 12 比较各种不同类型的利率比较各种不同类型的利率 1.名义的或公布的利率名义的或公布的利率： 这种利率是由银行、经纪人或者其他的金融 机构报出的利率。消费贷款的名义利率也称为年 度利率（APR）。如前面银行宣称信用卡的年度 利率为18%。 2.时期利率，时期利率，i iPERPER： 这是每期由贷款人收取的或者有借款人支付 的利率。它可能是每六个月、每个季度、每个月， 甚至每一天或者任何每一其他时间长度的利率。 例如银行对信用卡贷款每月收取1.5%的利息。 比较各种不同类型的利率比较各种不同类型的利率 3.有效的（等价的）年利率（有效的（等价的

29、）年利率（ERAERA）： 这是与时期利率每年计算m次的福利结果相同 的年利率。如银行实际对信用卡贷款用户每年收 取19.6%。 有效年利率=EAR或EFF% - %6.19=0.1) 12 18.0 +1(= 12 非整数的时期数非整数的时期数 假设你向银行借了10000元，采用按天计算复 利的方法，年名义利率为10%，而一天按360天计 算，那么9个月后，你要向银行归还多少钱？ 时期利率 = iPER = 0.10 / 360 = 0.00027778/天 天数 = 0.75360 = 270 终值 = 10779=)00027778.1(10000 270 贷款的等额偿还贷款的等额偿还

30、如果贷款按照每期相同的金额归还，那么就 称为分期等额偿还的贷款。许多的汽车贷款，住 房抵押贷款以及绝大多数的经营贷款都属于这种 类型。 n 1=t tn2 ) i+1 1 (PMT=) i+1 1 (PMT+) i+1 1 (PMT+) i+1 1 (PMT=PV )PVIFA( PV = ) i+1 1 ( PV =PMT n, i n 1=t t 贷款的等额偿还贷款的等额偿还 例子： 公司借款1000元，未来三年中每年年末等额 偿还，贷款方依据每年年初未归还贷款的余额收 取6%的利息，今后每年偿还的金额？ 3 1=t t32 ) 06.1 1 (1000=) 06.1 1 (1000+)

31、06.1 1 (1000+) 06.1 1 (1000=PV 11.374= 6730.2 1000 = )PVIFA( 1000 =PMT 3%,6 一.一.间间断断型的复利公式（复利期间为半年复利一次或是其他复利期间）型的复利公式（复利期间为半年复利一次或是其他复利期间） 在前述的终值公式，都是假设复利期间为一期，但是如果复利期在前述的终值公式，都是假设复利期间为一期，但是如果复利期 间並非一期一次，则终值公式可以修改为下列公式：间並非一期一次，则终值公式可以修改为下列公式： 二.二.连续复利连续复利(Continuous Compounding)(Continuous Compoundi

32、ng)公式公式 ( (略略) ) 连续连续复利是指复利的期间为每一瞬间，因此每一期复利的期数就复利是指复利的期间为每一瞬间，因此每一期复利的期数就 成为无限多次，终值的公式就可以用下面的公式表示：成为无限多次，终值的公式就可以用下面的公式表示： 连续复利与折现 mn n m i PVFV)1 ( mn m m i PVFV)1 (lim 经过推导经过推导之后变成连续复利终值公式如下之后变成连续复利终值公式如下 in ePVFVn e = 2.718282 4.名义利率与实际利率的关系 1)1 (lim1)1 (lim 1)1 ( )1 ()1 ( : ,/ r r r m m m m m m e m r m r m r r m r r r mrmr 令实际率为 次，每次利率为，一年内计息设名义率为 三三、每年复利、每半年复利、连续复利的利息变动差异、每年复利、每半年复利、连续复利的利息变动差异 连续复利与折现 贷款的摊销 一、如何计算摊销贷款(贷款金额为年金现值) l摊销贷款的计算方式，首先要计算每期的还款金额 (Payment)，还款金额就是一种