高一数学函数的奇偶性人教A版必修一精编版

1、xy0o3-2421-1192f(x) = x观察下图函数图像有什么共同的特征呢？观察下图函数图像有什么共同的特征呢？o3-2221-113f(x) = x 这两个函数的图像这两个函数的图像都关于都关于y轴对称轴对称f(x)=x2x-3-2-101230149149x-3-2-101230123123f(x) = x 从从函数值对应表可以看到互为相反数的点的函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？纵坐标有什么关系？ 函数的奇偶性的定义函数的奇偶性的定义 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域的定义域内的任意一个内的任意一个x，都有，都有f(-x)=f(x),那么

2、称函那么称函数数y=f(x)为偶函数为偶函数.偶函数图象的性质偶函数图象的性质: : 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称轴对称. .反过来反过来, ,如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y y轴对称轴对称, ,那么这个函数为偶函数那么这个函数为偶函数. .观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？xy12( )(,1f xxx xy1-12( )(, 11,)f xxx 思考：思考： 如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y y轴对称，轴对称，它的定义域应该有什么特点？它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称定义域关于原点对称. .o3-2221-113-1-2-33

3、f(x) = x观察下图图像有什么共同的特征呢？观察下图图像有什么共同的特征呢？o3-2221-113-1-2-3f(x)=x 两个函数的图像都两个函数的图像都关于原点对称关于原点对称.f(x)=xx-3-2-101230-1-2-3123f(x)=x3x-3-2-101230-1-8-271827 从从函数值对应表可以看到互为相反数的点的函数值对应表可以看到互为相反数的点的纵坐标有什么关系？纵坐标有什么关系？ 函数的奇偶性的定义函数的奇偶性的定义 一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域的定义域内的任意一个内的任意一个x，都有，都有f(-x)=-f(x),那么称函那么称函数数

4、y=f(x)奇函数奇函数.奇函数图象的性质奇函数图象的性质: : 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称. . 反过来反过来, ,如果一个函数的图象关于原点对称如果一个函数的图象关于原点对称, , 那么这个函数为奇函数那么这个函数为奇函数. .-23yox3 ,2,)(xxxf观察下面函数图像，看是奇函数吗？观察下面函数图像，看是奇函数吗？思考：思考： 如果一个函数的图象关于原点对称，如果一个函数的图象关于原点对称，它的定义域应该有什么特点？它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称定义域关于原点对称. .yox-2-22 22 , 2,)(xxxf 1、函数是奇函数或是偶函数称为

5、函数、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性整体性质质. . 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）原点对称）3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，、奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数即：若函数f(x)为奇函数为奇函数, 则则f(-x)=f(x)成立。成立。 若函数若函数f(x)为偶函数为偶函数, 则则f(

6、-x)= f(x) 成立成立。o3-2221-1132f(x) = xo3-2221-113o3-2221-113-2-33f(x) = xo3-2221-11321f(x)=xf(x) = x奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于： 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性. . 简化函数图象的画法简化函数图象的画法. .（1）判断函数）判断函数 的奇偶性的奇偶性.（2）如图是函数）如图是函数 图像的一部分，能图像的一部分，能否根据否根据f(x)的奇偶性画出它在的奇偶性画出它在y 轴左边的图像吗？轴左边的图像吗？ 3f(x) = x +x3f(x) = x +xyx0（1）奇函数）奇函数

7、（2）根据奇函数的图）根据奇函数的图 像关于原点对称像关于原点对称例例1 说出下列函数的奇偶性说出下列函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数奇函数f(x)=x -2 _偶函数偶函数 f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 结论：一般的，对于形如结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数， 若若n为偶数，则它为偶函数为偶数，则它为偶函数.若若n为奇数，则它为奇函数为奇数，则它为奇函数.例例2：判定下列函数是否为偶函数或奇函数：判定下列函数是否为偶函数或奇函数.(1) f(x) = 5x.解

8、：解：（1）对于函数）对于函数f(x)=5x，其定义域为，其定义域为（-，+ ）对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有f(-x) = -5x = -f(x)所以函数所以函数f(x)=5x为奇函数为奇函数.2(2)f(x) = (x-1)（2）对于函数）对于函数 的定义域为的定义域为:（-，+ ）对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有2f(x) = (x-1)22f(-x) = (-x-1) = (x+1)f(x)且且f(-x)-f(x)所以函数所以函数 既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数.2f(x) = (x-1).1(3)f(x) = x+x（3

9、）对于函数）对于函数 的定义域为的定义域为x x0 对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有1f(x) = x+x11f(-x) = -x+= -(x+) = -f(x),-xx 所以函数所以函数 是奇函数是奇函数.1f(x) = x+x(4)f(x) = 3.（4）对于函数）对于函数f(x)=3的定义域为的定义域为（-，+ ） 对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有f(-x)=3=f(x)，所以函数所以函数f(x)=3是偶函数是偶函数.奇函数奇函数偶函数偶函数既奇又偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数（5）f(x)=0.（5）对于函数）对于函数f(x)=0

10、的定义域为的定义域为（-，+ ）对于定义域中的每一个对于定义域中的每一个x，都有，都有f(-x)=0=f(x)=-f(x)，所以函数所以函数f(x)=0既是偶函数也是奇函数既是偶函数也是奇函数.根据奇偶性根据奇偶性, , 函数可划分为四类函数可划分为四类: :判断或证明函数奇偶性的基本步骤：判断或证明函数奇偶性的基本步骤：注意：注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于关于y y轴对称或者关于原点对称。轴对称或者关于原点对称。一看一看看定义域看定义域是否关于原点对称是否关于原点对称二找二找找关系找关系f(x)与与f(-x)三判断三判断下结论下结论奇或

11、偶奇或偶练习练习 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：3;(1) f(x) = -3x(2) f(x) = x +1;.2(3) f(x) =2-x 解：解：(1) 因为因为 所以所以f(x)是是奇函数奇函数. 因为因为 f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以所以f(x)是偶函数是偶函数. 因为因为 ，所以，所以f(x)是偶函数是偶函数.33f(-x) = -3(-x) = 3x = -f(x)2f(-x) =2-(-x) = f(x)2(4)f(x) = -x (x-3,1); ;20(5) f(x) =9-x +(x-3)(6)f(x) = 3x-2.所以就谈不上与所

12、以就谈不上与f(-3)相等了，由于任意性受破坏。相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性所以它没有奇偶性.（5）函数的定义域为）函数的定义域为-3,3),故故f(3)不存在，同上可知不存在，同上可知函数没有奇偶性函数没有奇偶性.故函数没有奇偶性故函数没有奇偶性.解：（解：（4）当）当x=-3时，由于时，由于3-3,1，故，故f(3)不存在，不存在，(6)f(-x) = -3x-2,f(-x)f(x)f(-x)-f(x)且且 2x0f x = x -2x 时时， 22222(2) t 0,f -t = -t- 2(-t)f t = -f -t = -t - 2t(t 0) t x f(x) =

13、 -x - 2x(x 0)x - 2x(x0)f x =-x - 2x(x 0)则 将 换 又又成成 (1) f 1 = -1,f -1 = -f 1 = 1解解：例例3 已知函数已知函数y=f(x)是定义在是定义在R上奇函数，当上奇函数，当 求（求（1)f(-1) ； (2)若若t0,求求f(t).例例4 判断函数判断函数 是否具有奇偶性？是否具有奇偶性？32f(x) = -x +ax解：当解：当a=0时，时， 此时函数此时函数f(x)为奇函数为奇函数.当当a0时，时， 此时此时f(x)=f(-x),f(x)=-f(x)都不能在定义域内恒成立，都不能在定义域内恒成立，即函数即函数 既不是奇函

14、数也不是偶既不是奇函数也不是偶函数函数.33f(x) = x ,f(-x) = -x = f(x)3232f(x) = x +ax ,f(-x) = -x +ax32f(x) = x +ax (a0)1、两个定义：对于、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x, 如果都有如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质：、两个性质： 一个函数为奇函数一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数一个函数为偶函数 它的图象关于它的图象关于y轴对称轴对称 课堂小结课堂小结 3.判断函数奇偶性的步骤和方法：判断函数奇偶性的步骤和方法： 先看定义域是否关于原点对称，先看定义域是否关于原点对称， 然后在找然后在找f(x)与与f(-x)间的关系间的关系4.奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规奇函数，偶函数作一些简单运算后会出现一些规律：律： 奇奇+奇奇=奇奇 偶偶+偶偶=偶偶 奇奇X奇奇=偶偶 偶偶X偶偶=偶偶5.已知函数性质，求其它区间上函数的解析式已知函数性质，求其它区间上函数的解析式1.一次函数一次函数y=kx