四边形的好点与好线

1、四边形的好点与好线、关于四边形的好点.构成四个三角形.如定义 平面四边形内有一点P,将P点与四个顶点连结, 果这四个三角形面积相等，则点 P叫做这个四边形的好点.如图1,在四边形ABCD中，有一点P,连结PA PB PC PD,如果Spab=S pbc=Spcd=Spda,则点P为四边形ABCD勺好点.为了研究好点的存在及其位置，我们先看如下的结论.引理 在厶ABC所在的平面上，使得 Sapab=Spac的点P的轨迹，是 ABC中 BC 上的中线.证明 .设点P是厶ABC勺中线AD上任意一点.如图2.S ABE=S ACD B、C两点到AD的距离相等.对于 ABPP ACP都以AP为底边，且B

2、、C两点到AP的距离相等，故S pab=SPAC,即厶ABC中, BC上的中线上任意一点P,都满足条件 SPAB=SPAC.(2).假设点P不在 ABC的中线AD上，如图3 .设CP交AD于M连结BM 由前一部分证明可知，S AB=S ACM,则&ABPV S AB=S ACM S ACP,所以，不在 ABC的 中线AD上的点P不满足条件EEC图3综合(1)、(2)，引理得证.下面给出四边形中存在好点的判定定理.定理1四边形中存在好点的充要条件是四边形中有一条对角线平分另一条 对角线，且好点是前一条对角线的中点.证明(1) 充分性.如图4,在四边形ABCD中，对角线相交于0,且AC平分BD.设

3、AC的中点 是P,则有ADP & PCD, s PAB & PBC. AC平分 BD 即 B0=D0根据引理可知，Sa paD=S pab, Sa pdc=S pbc，则点P是四边形ABC冲的好点.(2) 必要性.如图5,在四边形ABCD中, AC交BD于0, AC的中点是E.设四边形ABCD 的好点是P点.I SapaB=Sapbc,(根据引理可知), 点P在厶ABC的中线BE上.Spad=Spcd,(同理，可知),点P在厶ADC的中线DE上.如果BE与 DE不重合，则点P就是BE与DE的交点E,即点P为AC的中点.*PAE=SPAB,PBC=SPCD,根据引理，点P在厶ABD中 BD的中线

4、上，人。是厶ABD中 BD的中线，即 AC平分BD如果BE与 DE重合，则BD平分AC 且点P在BD上.又. Sa PAE=SPAD，(根据引理)，点P是BD的中点.综合(1)、，定理得证.二、关于四边形的好线定义 过四边形的顶点，且将四边形分成面积相等的两部分的直线，叫做四 边形的一条好线.1. 四边形好线的作法：如图6,四边形ABCD勺对角线相交于0,设ACk CO 过点A作BD的平行线GH交CB延长线于G,交CD延长线于H.设GC的中点为E,CH的中点为F,连结DE BF及DG GH/ BDS ABC=S DGC. E是GC中点,则DE是四边形ABCD D点的好线.同理，BF是四边形AB

5、CDS B点的好线用同样的方法，我们可以作出过另 外两个顶点的好线.2. 四边形好线的一个性质定理2过四边形相对两个顶点的两条好线分别与四边形周界相交，这两个 交点的连线必与这两个相对顶点的边线平行.证明 如图7,在四边形ABCDK DE BF是过顶点D B的两条好线，点E 在BC上，点F在CD上，连EF、BD.BEF=Sdef，即B D两点到EF的距离相等. EF/ BD定理得证.3. 四边形的四条好线是否相交于个点？我们有如下判定定理.定理3四边形的四条好线相交于一点的充要条件是：四边形有一条对角线 平分另一条对角线.证明（1）充分性对角线相交于 M DE BF是四边形ABCD勺两条如图8

6、,在四边形ABCD中 好线，DE与BF相交于0点.已知AC平分BD,即MB二M.D根据引理, &AB=SADC,即AC是过点A C的好线.连结E、F,根据定理2,有EF / BEDDF EBFC CECEEBBM根据塞瓦定理的逆定理，BF、CM DE相交于一个点O.于是，四边形ABCD 的四条好线相交于一点.(2)必要性如图9,四边形ABCD勺两条好线DE BF相交于O,连结CO并延长，交BD 于M,交AD于N.已知四边形ABCD勺四条好线相交于一点，故 CN是过点C的好线.连结EF, 根据定理，EF/ BD,缶门 DE EB所以疋灵在中，BF、DE. CM相交于0点，根据塞瓦定理，有餐 器=1. FC EB MDDF CE “” * = 1FC EE BM=M.D又v CN是四边形ABCD勺好线， M为BD的中点,二 3 MBC S MC,则 S DMN=SABMN连结 AM，S am=SAMD，点N与点A重合，即AC与CN重合, AC是四边形ABCD勺好线.已证明CN平分BD AC平分BD综合(1)