3774470343倒格子

1、第四节第四节 倒格子倒格子 本节主要内容本节主要内容: :一、点阵傅里叶变换与倒格子一、点阵傅里叶变换与倒格子三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞二、正格子与倒格子的关系二、正格子与倒格子的关系四、四、 倒格子的点群对称性倒格子的点群对称性 晶体结构的周期性晶体结构的周期性, ,可以用可以用坐标空间坐标空间(r空间空间)的的布拉维格子来描述布拉维格子来描述, ,这是前几节我们所讨论的内这是前几节我们所讨论的内容容, ,也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述. . 然而然而, ,量子力学的学习使我们认识到量子力学的学习使我们认

2、识到, ,任何基任何基本粒子都具有波粒二象性本粒子都具有波粒二象性. .亦即具有一定能量和亦即具有一定能量和动量的微观粒子动量的微观粒子, ,同时也是具有一定的波长和频同时也是具有一定的波长和频率的波率的波, ,波也是物质存在的一种基本形式波也是物质存在的一种基本形式. . 波矢波矢k k可用来描述波的传播方向可用来描述波的传播方向. .那么那么晶体晶体结构的周期性是否也可以用波矢结构的周期性是否也可以用波矢k k来描述呢来描述呢？如果可以如果可以, ,在波矢在波矢k k空间空间, ,k k应满足什么条件呢？应满足什么条件呢？一、点阵傅里叶变换与倒格子一、点阵傅里叶变换与倒格子 布拉维格子具有

3、平移对称性布拉维格子具有平移对称性, ,因而相应的只因而相应的只与位置有关的物理量与位置有关的物理量, ,由于布拉维格点的等价性由于布拉维格点的等价性, ,均应是均应是布拉维格矢布拉维格矢r的周期函数的周期函数, ,如：如：格点密度、格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都等都是如此。是如此。不失一般性，上述函数可统一写为：不失一般性，上述函数可统一写为：( )()nf rf rr布拉维格矢布拉维格矢 由于由于f(r)是布拉维格矢是布拉维格矢r的周期函数的周期函数, ,所以可以将所以可以将其展开成傅里叶级数：其展开成傅里叶级数：( )( )ig

4、 rgf ra g e 展开系数展开系数 1. 1. 周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开 展开系数展开系数 1( )( )ig ra gf r edr 原胞体积原胞体积 ( )()nf rf rr因为：因为：1( )()ig rna gf rr edr 所以：所以：nrrr令令则则：nrrrdrdr()11( )( )( )nnigrrig rig ra gf r edrf r eedr 则则11( )( )( )nnig rig rig rig ra gf r eedrf r edr e ( )a g( )( )( )10nnig rig ra ga g ea ge( ) 01nig

5、ra gore( )( )0ig rgf ra g e 不合要求，应舍去不合要求，应舍去1nig re所以所以 由于由于 与与 存在上述对应关系存在上述对应关系, , 可以描述布可以描述布拉维格子拉维格子, ,自然自然 也可以描述同样的布拉维格子也可以描述同样的布拉维格子, ,且且 与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似似, ,因而因而, ,凡是波矢凡是波矢 和布拉维格矢满足和布拉维格矢满足 的波矢的波矢, ,一定也可以描述布拉维格子一定也可以描述布拉维格子. .这就是这就是倒格倒格子子的由来的由来. .1nig renrgggnrg( )()nf rf

6、 rr成立成立cos() 12;intnng rg rmwheremiseger1nig re也就是说也就是说, ,一定存在某些一定存在某些 使得当使得当 成立时成立时 g 由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒由于波矢的单位是坐标空间中长度单位的倒数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间数，所以，在固体物理学中，通常把坐标空间称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒称为正空间，而把波矢空间称为倒易空间或倒空间。空间。 从而对应上述矢量从而对应上述矢量g描述的布拉维格子称为描述的布拉维格子称为倒格子倒格子(reciprocal lattice)，而把，而把rn所描述的布所描述的布拉维格子称为正

7、格子拉维格子称为正格子(direct lattice)。 2. 倒格子倒格子(reciprocal lattice)的定义的定义 对布拉维格子中所有格矢对布拉维格子中所有格矢 ，满足，满足或或 (m为整数为整数)的全部的全部 端点的集端点的集合，也可以描述该布拉维格子。如果把合，也可以描述该布拉维格子。如果把 所描所描述的布拉维格子称为正格子，则述的布拉维格子称为正格子，则 所描述的布所描述的布拉维格子称为正格子的拉维格子称为正格子的倒格子倒格子, 也叫倒易点阵或也叫倒易点阵或简称为倒点阵简称为倒点阵.nr1hnig re2,hngrmhg 称为称为倒格矢倒格矢hgnrhg从倒格子的引入可知，

8、对于坐标空间中与布拉维格子从倒格子的引入可知，对于坐标空间中与布拉维格子有有相同平移对称性相同平移对称性的某物理量的傅里叶展开中，的某物理量的傅里叶展开中，只存只存在波矢为倒格矢的分量在波矢为倒格矢的分量，其它分量的系数为零其它分量的系数为零 利用利用倒格矢，倒格矢，满足满足 的傅里叶展开为的傅里叶展开为: : ( )()nf rf rr1()( )()hhhigighrhrga gf ra g ef r edr 意义：把意义：把上述上述满足满足坐标空间坐标空间中的中的某物理量某物理量转转变为变为倒格子倒格子空间空间,且且只存在波矢为倒格矢的分量只存在波矢为倒格矢的分量。3.3. 倒格子的基矢

9、倒格子的基矢将将1 12233nrn an an a代入代入2,hngrm得得：1122332hhhngan gan gam 欲使上式恒成立，且考虑到欲使上式恒成立，且考虑到n1,n2,n3为任为任意整数，则要求：意整数，则要求：1223132;2;2hhhgagahh ghah1,h2,h3为整数为整数 对布拉维格子中所有格矢对布拉维格子中所有格矢 ，满足，满足或或 (m为整数为整数)的全部的全部 端点的集端点的集合，构成该布拉维格子，称为正格子的合，构成该布拉维格子，称为正格子的倒格子倒格子(reciprocal lattice).nr1hnig re2,hngrmhg 称为称为倒格矢倒格

10、矢hg1 1223 3hghbh bh b显然显然, ,如果令如果令 h1,h2,h3为整数为整数 可知可知 亦应该不共面，从亦应该不共面，从而可以用而可以用 描述倒格子。描述倒格子。2ijijba 由于由于 为基矢，互不共面，则由为基矢，互不共面，则由123,a a a 123,b b b 1 12 23 3hghbh bh b1122332hhhngan gan gam1223132;2;2hhhgagahh gha或：或：当当2 ,2,1,2,30,ijijijbai jij满足时，满足时，则下式自然成立：则下式自然成立：其中其中ij 称为克罗内克称为克罗内克(kronecker)函数函

11、数 由于由于 为为倒格矢，如果把倒格倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间(reciprocal space), ,则则由于由于 不共面，自然不共面，自然可以成为可以成为倒易空间的基矢。倒易空间的基矢。1 1223 3hghbh bh b123,b b b 和和 对比对比, ,表明表明 对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。子是倒易空间的布拉维格子。1 12 23 3nrnanana1 12 23 3hghbhbhb 从而从而 且且 也可作为以也可作为以 为基的某一布拉维

12、格子的为基的某一布拉维格子的倒格子的定义。倒格子的定义。1 12 23 3hghbhbhb2;1,2,3;1,2,3ijijb aij123,a a a 讨论：讨论：2;1,2,3;1,2,3ijijb aij由由可知：可知：垂直垂直, ,因此，因此， 23,aa1b和和23aa1b与与平行平行1123()baa所以可令：所以可令：两边同时两边同时点乘点乘 1a111 123()2abaaa112322()aaa2311232 ()()aabaa原胞的体积原胞的体积 123231312222baabaabaa其中其中 是正格基矢是正格基矢123,aaa123aaa是固体物理学原胞体积是固体物理

13、学原胞体积同理可得同理可得23,b b 所以所以倒格子基矢与正格子基矢的关系倒格子基矢与正格子基矢的关系为：为： 与与 所所联系的各点的列阵即为联系的各点的列阵即为倒格子倒格子。1 12 23 3hghbhbhb123(,)h hh 为整数许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义许多的固体书中把上述描述作为倒格子的定义 由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因由正格子可以定义倒格子，反之亦可，因此，它们互为倒易格子。此，它们互为倒易格子。 二、倒格子与正格子的关系二、倒格子与正格子的关系 1. 体积关系体积关系 *32 ( (其中其中 和和 *分别为正、倒格子原胞的体积分别为正、倒格子原胞的体积)

14、 ) 除除 因子外，因子外，正格子原胞体积正格子原胞体积 和和倒格倒格子原胞体积子原胞体积 互为倒数互为倒数3(2 )*123bbb 32331122aaaaaa 311231213112a aa aa aa aa aa a cbabcacba 利用利用 1a=0332233*1(222)aaa 2. 2. 倒格矢与晶面倒格矢与晶面 倒格矢倒格矢 和和正格子中正格子中晶面族晶面族(h1h2h3)正交正交且其且其倒格矢倒格矢长度为：长度为：1 12 23 3hghbhbhb1232hh h hgd其中其中 是正格子是正格子晶晶面族面族( (h h1 1h h2 2h h3 3) )的面间距的面间

15、距1 2 3h h hd首先我们证明首先我们证明 倒格矢倒格矢 和和正格子中正格子中晶面族晶面族(h1h2h3)正交正交1 12 23 3hghbhbhb设平面设平面abc为为晶面族晶面族(h1h2h3)中中离原点最近的晶面离原点最近的晶面 abc在基矢在基矢 上的截距分别上的截距分别为为 。123,a a a 312123,aaahhh由图可知：由图可知：3113caoa ochhaa 3223cbob ochhaa hgca 311 1223 313()220aahbh bh bhhbco2a1aahg3ahgcb 321 1223 323()220aahbh bh bhh 所以所以倒格矢

16、倒格矢 和和正格子中正格子中晶面族晶面族(h1h2h3)正交正交1 12 23 3hghbhbhb1 2 331212311111122hhhhhhh hhaaannnhhhgagahhgh ggdgh1232hh h hgd接着我们再证明倒格矢接着我们再证明倒格矢长度为长度为 由于由于倒格矢倒格矢 与晶面族与晶面族(h1h2h3)正交正交. . 1 12 23 3hghbhbhb因而，因而，晶面族晶面族(h1h2h3)的的法线方向法线方向为为hgbco2a1aahg3a则则法线方向的单位矢量法线方向的单位矢量为：为：hhgng因而，面间距因而，面间距这个关系很重要这个关系很重要, ,后面分析

17、后面分析xrd时要用时要用 1 2 32hh hhdg 表明表明,对任一倒格矢对任一倒格矢 以其在倒易空间的坐标数以其在倒易空间的坐标数(h1，h2，h3)表征表征的正格子空间中的晶面族的正格子空间中的晶面族(h1h2h3)，一定以一定以 为法线方向，且面间距为为法线方向，且面间距为 1 12 23 3hghbhbhbhg2/hg3b1b2b1a2a3a3.倒格子基矢的方向和长度倒格子基矢的方向和长度12323131222;2baabaabaa231122aabd222bd332bd一个倒格一个倒格子子基矢是和正格子原胞中一组晶基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的面相对应的，它的方向是该

18、晶面的法线方向，方向是该晶面的法线方向，它的它的大小则为该晶面族面间距倒数的大小则为该晶面族面间距倒数的2 倍倍。3b1b2b1a2a3a设：设：1d23aa是是所在晶面族的面间距；所在晶面族的面间距；31aa2d是是所在晶面族的面间距；所在晶面族的面间距；12aa3d是是所在晶面族的面间距。所在晶面族的面间距。利用利用体积体积=底面积底面积*高高，则有：，则有：晶体结构晶体结构 正格子正格子 倒格子倒格子2.2.与晶体中与晶体中原子原子位置相对应位置相对应；2.2.与晶体中与晶体中一族一族晶面相对应晶面相对应；3.3.是与真实空间相联是与真实空间相联系的系的倒格子空间中点倒格子空间中点的周期

19、性排列的周期性排列；3.3.是是真实空间中点真实空间中点的周期性排列的周期性排列；4.4.线度量纲为线度量纲为 长长度度 4.4.线度量纲为线度量纲为 长长度度 -1-11 12 23 31.nrnanana1 122331.hghbh bh b已知晶体结构如何求其倒格子呢？已知晶体结构如何求其倒格子呢？晶体晶体结构结构正格正格子子正格子正格子基矢基矢倒格子倒格子基矢基矢倒格倒格子子123231312222baabaabaa2 ()20 ()ijijijb aij1 12233hghbh bh b123,a a a 123, ,b b b 三、布里渊区、倒格子的实例和对应晶胞三、布里渊区、倒格

20、子的实例和对应晶胞 1. 1. 布里渊区、布拉格平面布里渊区、布拉格平面在倒格子空间中以任意一个倒格点为原点，在倒格子空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其它所有倒格点连线的中垂面做原点和其它所有倒格点连线的中垂面(或中垂或中垂线线)，这些中垂面，这些中垂面(或中垂线或中垂线)将倒格子空间分割将倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为成许多区域，这些区域称为布里渊区布里渊区(brillouin zone)。把连接两个倒格点连线之间的垂直平分面称把连接两个倒格点连线之间的垂直平分面称为为布拉格平面布拉格平面。 在倒格子空间中在倒格子空间中,以一个倒格点为原点以一个倒格点为原点,从原点从原点出发出

21、发,不经过任何布拉格平面所能到达的所有点不经过任何布拉格平面所能到达的所有点的集合的集合,称为称为第第1布里渊区布里渊区(first brillouin zone),也也叫叫简约布里渊区简约布里渊区。显然。显然,它是围绕原点的最小闭它是围绕原点的最小闭合区域。合区域。 容易看出，第容易看出，第1布里渊区和前面所讲的维格纳布里渊区和前面所讲的维格纳-塞茨塞茨(wigner-seitz)原胞的取法一样，所以通常原胞的取法一样，所以通常人们把第人们把第1布里渊区定义为布里渊区定义为倒格子空间中的维格倒格子空间中的维格纳纳-塞茨原胞塞茨原胞。（1）第一布里渊区）第一布里渊区 除第除第1布里渊区外，还有

22、第布里渊区外，还有第2，第，第3，等所谓，等所谓高布高布里渊区里渊区。 从第从第n-1个布里渊区出发，只经过一个布拉格平面所个布里渊区出发，只经过一个布拉格平面所能到达的所有点的集合，称为能到达的所有点的集合，称为第第n布里渊区布里渊区。或者说，。或者说，从原点出发经过从原点出发经过n-1个中垂面个中垂面(或中垂线或中垂线)才能到达的区才能到达的区域域(n为正整数为正整数)称为称为第第n布里渊区布里渊区。 （2）高布里渊区）高布里渊区除第除第1布里渊区以外，布里渊区以外，高布里渊区均由一些小块组成高布里渊区均由一些小块组成；每个布里渊区的总体积相等每个布里渊区的总体积相等，均为，均为倒格子空间

23、倒格子空间中一个中一个原胞的体积原胞的体积。布里渊区尤其是简约布里渊区在布里渊区尤其是简约布里渊区在能带论电子和晶格振能带论电子和晶格振动动的讨论中非常重要的讨论中非常重要 aaaa1aai2aaj12aaiaaj（1 1）下图是一个二维）下图是一个二维晶体结构图晶体结构图，试画出其，试画出其倒格倒格点点的排列和布里渊区图。的排列和布里渊区图。2 ()20 ()ijijijb aij2. 常见倒格子、布里渊区的实例常见倒格子、布里渊区的实例111220abab212202abab1222biabjaa2a21 122hghbh b倒格子是边长为的正方倒格子是边长为的正方形格子。形格子。a212

24、aaiaaj2 ()20 ()ijijijb aijij第一布第一布里渊区里渊区第三布第三布里渊区里渊区第二布第二布里渊区里渊区a2a2布里渊区的面积布里渊区的面积=倒格子原胞的面积倒格子原胞的面积 高序号布里渊区高序号布里渊区的各个分散的碎片平移一个的各个分散的碎片平移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊或几个倒格矢进入简约布里渊区，形成布里渊区的区的简约区图简约区图。第一区第一区第二区第二区第三区第三区布里渊区的简约区图布里渊区的简约区图布里渊区扩展区图布里渊区扩展区图ija 2a 2第一区第一区第二区第二区第三区第三区第四区第四区第五区第五区第六区第六区第七区第七区第八区第八区第

25、九区第九区第十区第十区二维正方晶格的布二维正方晶格的布里渊区的简约区图里渊区的简约区图abjbaiaa 21jbbiab2221 ijjiba 2)(2ji )(0ji iaa 1jba 2倒格子仍为矩形。倒格子仍为矩形。 （2）二维矩形格子的倒格子、第一和第二布）二维矩形格子的倒格子、第一和第二布里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别里渊区的扩展区图和简约区图，设矩形边长分别为为 。ba，解解: :ij第一区第一区第二区第二区b2a2（3 3）体心立方的倒格体心立方的倒格子和第一布里渊区子和第一布里渊区解：解：体心立方的原胞基矢：体心立方的原胞基矢：123222aaijkaaijkaai

26、jk312312a a aa 23222222ijkaaaaaaaa222222222222aaaaaaijkaaaaaa2222aajk123231312222baabaabaa倒格矢：倒格矢：同理得：同理得：23aa2222aajk312312aaaa 212322223abaajkjkaa232bija22bika32bija22bika12bjka比较可知体心立方倒格子是比较可知体心立方倒格子是边长为边长为 4 /a的的面心立方面心立方。123222aajkaaikaaij已知面心立方正格已知面心立方正格子子基矢：基矢：32bija22bika12bjka所以，所以，体心立方的倒格子有

27、体心立方的倒格子有12个最近邻个最近邻。这。这12个倒格个倒格点位置是：点位置是： 222222(1,1,0);(1, 1,0);( 1,1,0);( 1, 1,0);(1,0,1);(1,0, 1);222222( 1,0,1);( 1,0, 1);(0,1,1);(0,1, 1);(0, 1,1);(0, 1, 1)aaaaaaaaaaaa 符号说明符号说明以一个倒格点为中心，做这个中心与以一个倒格点为中心，做这个中心与12个最近邻倒格个最近邻倒格点连线的中垂面，它们恰好围成一个封闭的点连线的中垂面，它们恰好围成一个封闭的菱形菱形十二十二面体面体，这就是，这就是体心立方结构的简约布里渊区体

28、心立方结构的简约布里渊区 h 0012 ,ah：p 2121212 ,ap：n 021212 ,an：布里渊区体中心布里渊区体中心(原原点点)标记为标记为： 2(0,0,0)a立方体的面心记为立方体的面心记为h,有有6个等价点个等价点 2221,0,0);0, 1,0);0,0, 1)aaa(布里渊区体中心布里渊区体中心点和面心点和面心h点的连线（沿点的连线（沿方向）用方向）用表表示；示；点和点和p点的连线点的连线(沿沿方向方向)记为记为 ；点和点和n点的连线点的连线(沿沿方向方向)记为记为。 利用利用b1、b2、b3，体心立，体心立方结构倒格子的任一倒格矢方结构倒格子的任一倒格矢可以表示为可

29、以表示为从而体心立方正格子中晶面指数为从而体心立方正格子中晶面指数为(h1h2h3)晶晶面族的面间距为面族的面间距为32bija22bika12bjka1 1223 32313122()()() hghbh bh bhh ihhjhh ka1 2 32222313122()()()h h hhadghhhhhh(4) 面心立方的倒格子和第一布里渊区面心立方的倒格子和第一布里渊区面心立方正格基矢：面心立方正格基矢：123231312222baabaabaa1233()14aaaa倒格基矢倒格基矢: :222ijkaijkaijka 1a3a2ai ajaka123222aajkaaikaaij比

30、较得面心立方比较得面心立方的倒格子的倒格子是是边长为边长为4 /a体心立方体心立方123222bijkabijkabijka 倒格子基矢：倒格子基矢：已知体心立方正格子基矢已知体心立方正格子基矢:123222aaijkaaijkaaijk所以，所以，面心立方的倒格子有面心立方的倒格子有8个最近邻个最近邻。这。这8个倒格点个倒格点位置是：位置是： 2222(1,1,1);( 1,1,1);(1, 1,1);(1,1, 1);2222(1, 1, 1);( 1,1, 1);( 1, 1,1);( 1, 1, 1)aaaaaaaa 2 0,0,0a：x 0012 ,ax：l 2121212 ,al：

31、k 043432 ,ak：还有还有6个次近邻倒格点：个次近邻倒格点：从原点出发向这些从原点出发向这些近邻、次近邻作连近邻、次近邻作连线，这些连线的垂线，这些连线的垂直平分面构成面心直平分面构成面心立方的简约布里渊立方的简约布里渊区，它是一个截角区，它是一个截角八面体八面体(十四面体十四面体).444( 1,0,0);(0, 1,0);(0,0, 1)aaa其中一些对称其中一些对称要素的常用符要素的常用符号为号为 :布里渊区体中心布里渊区体中心点和其它点间的连线：点和其它点间的连线：x用用表示；表示；l记为记为 ；k记为记为. 利用利用b1、b2、b3，面心立，面心立方结构倒格子的任一倒格矢方结

32、构倒格子的任一倒格矢可以表示为可以表示为从而面心立方正格子中晶面指数为从而面心立方正格子中晶面指数为(h1h2h3)晶晶面族的面间距为面族的面间距为1231231232()()() hghhh ihhhjhhh ka1 2 32221231231232()()()h h hhadghhhhhhhhh123222bijkabijkabijka (5)简立方简立方的倒格子和第一布里渊区的倒格子和第一布里渊区简立方：简立方：123,aai aaj aak12322baaia23122baaja31222baaka12 bia22 bja32 bka比较得简立方比较得简立方的倒格子的倒格子是是边长为边

33、长为2 /a简立方简立方232221hhha 1 2 32h h hhdg1232h ih jh ka12 bia22 bja32 bka1 12233hghbh bh b其简约布里渊区是边长为其简约布里渊区是边长为2 /a的立方体的立方体,其中一些对称其中一些对称要素的常用符号如图所示要素的常用符号如图所示.(6)简单六角布拉维格子的倒格子和第一布里渊区简单六角布拉维格子的倒格子和第一布里渊区 简单六角正格子的三个基矢可以取为简单六角正格子的三个基矢可以取为:123322322aaaijaaaijack 所以相应的倒格子的所以相应的倒格子的三个基矢三个基矢: 1232232232bijaab

34、ijaabkc 212332aaaa c比较得简单六角布拉维格子的倒格子还是简单六角比较得简单六角布拉维格子的倒格子还是简单六角布拉维格子，其布拉维格子，其倒格子的晶格常数倒格子的晶格常数为为 和和43a2czy1a2ax 简单六角布拉维格子的简单六角布拉维格子的简约布里渊区也是六角简约布里渊区也是六角格子形状格子形状 .相应的倒格矢相应的倒格矢:12123222()()3hghh ihhjh kaca从而简单六角正格子中晶面指数为从而简单六角正格子中晶面指数为(h1h2h3)晶晶面族的面间距为面族的面间距为1 2 3222311 222214()3h h hdhhhhhac 3. 倒格子的晶

35、胞倒格子的晶胞前面的倒格子的讨论都是基于正格子原胞的三前面的倒格子的讨论都是基于正格子原胞的三个基矢个基矢a1、a2、a3展开的，对应的由展开的，对应的由b1、b2、b3三个基矢描述的倒格子也可以称为三个基矢描述的倒格子也可以称为倒格子的原倒格子的原胞胞。我们也可以由正格子晶胞的三个基矢。我们也可以由正格子晶胞的三个基矢a、b、c展开，此时对应的由三个基矢展开，此时对应的由三个基矢a*、b*、c*描描述的倒格子称为述的倒格子称为倒格子的晶胞倒格子的晶胞。*2()2()2()abca bcbcaa bccaba bc相应的倒格矢为：相应的倒格矢为： *hklghakblc引入倒格子的晶胞有时便于

36、问题的讨论。比如同一晶引入倒格子的晶胞有时便于问题的讨论。比如同一晶面族中面族中晶面指数晶面指数(h1h2h3)和密勒指数和密勒指数(hkl)的互换问题的互换问题. 对于同一晶面族而言，其法线方向不会因为坐标系的对于同一晶面族而言，其法线方向不会因为坐标系的选择而改变，而法线方向对应着相应的倒格子矢量方选择而改变，而法线方向对应着相应的倒格子矢量方向。所以，对于同一族晶面来说，倒格子原胞的倒格向。所以，对于同一族晶面来说，倒格子原胞的倒格矢和倒格子晶胞的倒格矢平行，从而两者应成比例矢和倒格子晶胞的倒格矢平行，从而两者应成比例. 对于立方晶系来说，对于立方晶系来说，sc、bcc、fcc其正格子晶

37、胞的三其正格子晶胞的三个基矢个基矢a、b、c 相等，因此对应的相等，因此对应的倒格子晶胞的倒格子晶胞的三个三个基矢基矢a*、b*、c*也相等。也相等。*222aiabjacka密勒指数为密勒指数为(hkl)的晶面族，可由相的晶面族，可由相应的晶胞的倒格矢来描述应的晶胞的倒格矢来描述 2hklghikjlka对于面心立方结构来说，倒格子的原胞的倒格矢为：对于面心立方结构来说，倒格子的原胞的倒格矢为： 从而有：从而有：1231231232()()() hghhh ihhhjhhh ka如果如果晶面指数晶面指数(h1h2h3)和密勒指数和密勒指数(hkl)对应同一晶面族，对应同一晶面族，则有：则有： hhklgpg123123123hhhphhhhpkhhhpl123222klhphlhphkhp其中其中p为比例系数为比例系数 .对于体心立方，如果对于体心立方，如果晶面指数晶面指数(h1h2h3)和密勒指和密勒指数数(hkl)对应同一晶面族，我们类似的可以得到对应同一晶面族，我们类似的可以得到： 231312hhphhhpkhhpl123222klhhphlkhphklhp 其中比例系数其中比例系数 p的选择要使的选择要使h1 ， h2 ， h3三个三个数互质数互质 此外，利用倒格矢和