南开大学2006年数分考研试题

1、南开大学2006年数分考研试题t2f sin ftx dx1.求极限lim -t_0111IIIX1X2X3III2X142X2I2X3III+n A.X11n AX21nX3+IIII1t4n 1xn2.设 u 二Xn2xn，试证 x=9u.i 4jxi223.设f x在1.0,2 1上有界可积，o f X dx =0，求证存在a：= 10,11,a +使得f 0, n ：,定义集合Pk Z,iN,Z为整数集，N为自然数集，求证对任何实数b，存在数列bk P，使得lim bk二b ；k_sc(2)试证一个非常数的周期连续函数必有最小正周期._ _ 110. 设x是-：上的周期连续函数，周期为

2、1，且I ： x dx = 0，1oO令anex：: nx dx， n =1,2,川，求证级数a；收敛.nd南开大学2006年数学分析考研试题解答1、解当t 0 时,令 tx2 =y，1 dxdy2. yt原式;3 i 10Siny2、y.tt4dy3limt 0 -si23t“m型1t 0 3t3当t ，0 一时，同理limt0 t2pSin tx dxt4t2f sin (tx )dxi故帆0- 1t42、证明将行列式按第一列展开U =Al Xi Al III XnJlAni ,U所以 x,一 =为阳 n T x1nAn1，：x1同理将行列式按第i列展开，得人丄=XjA2i| n-lx,%

3、 , i 2H|,n ,n和于是 v Xi 一“21X2A2|XnA2ni 4:X2 X,2A31X；A32 111 X；A3nn -1 Xin-Ani - X；An2 |lX,-A,n二u 2u 川 n 一 1 u =n ； u .3、证明构造函数x卅r F x = * f t dt，x0,1 1，122F 0 F 1 f t dt 1 f t dtj f t dt=0， 由f x在0,2 1上有界可积，知F x在1.0,1上连续，存在一 0,11,使得 F二 =0，2r a+即 f x dx = 0 .4、证明设 gn（x）=f（nRx ），由于f C Xx ）一致收敛于申（x ），nim

4、 f n xpmn1 xx，则有1gn X 一致收敛于:X，： gn X *致收敛于，X，于是 X = X , X =CeX，又因为0 =1,故x二ex.5、 证明 令 x 二 tsin cos ： , y 二tsin sin , z 二tcos :r r d则 f x,y,z dxdydzdr b rd r 2 二二2dt 0 d v f tsin cos tsin sin v,tcos : t sin d :2 JTTT-d v f r sin cosv,rsin sin 亠 r cos r sin :d :,在 S r 中： x = r sincos v , y = r sin sin

5、v , z = r cos, 0 空：-dS =、EG匚F2d dv - r2sin d dr ,ii f x,y,z dS dv f rsin cosv,rsin sinv,rcosr2sin d .Sr 故结论得证.6、证明 由偏导数连续，dxdydz f x 1,y,z - f x,y,z dydz = O,-xDyz同理dxdydz . ii f x, y 1,z ;f x,y,z dxdz = 0 ,J 鋼Dxz、dxdydz二 f x,y,z 1 -f x, y,z dydz = 0, QDxy故有山 a f +dxdydz= 0 .l 条 czj7、证明 由幕级数的收敛性知f x

6、连续，于是f （。冃豐彳（Xn）=，由幕级数的性质f k x都在-1,1上连续，k =1,2,|由f人=0， n =1,2,111，存在n在Xn与之间，使得fn -0，显然有nm厂0,厂0，f 0 jmfn 7,由f n =0 , n =1,2,111 ,存在n在n与0之间，使得n ,显然有 nm n=0 , n=0, f 0 =lim T n ,n -n j 同理这样继续下去，可得fgo)= o, (k=0,1,2,3,川),由于f x已展开成收敛的幕级数f x =7 anxn ,n=0所以 an0, n =0,1, x0 t A x0 th 求证：f x在条件x - v xi1下的最大值和

7、最小值分别为矩阵 A的最大特征丿值和最小特征值证明 因为sx Rn: x ,是有界闭集，f x在S上连续，所以f x在S上存在最大值和最小值.设 x S，使得 f x = max f x = M ,X孝y S，使得 f y。二劈可 f x 二 m ,则对任意的实数t , hRn都有，f x0 +也 m , 职钿丿1t从而Axo = MX。, M是A的特征值，同理可证m也是A的特征值，设，为A的特征值，对应的特征向量为Rn, p| 1 ,A =、, TA，于是m _，_ M ，所以M是A的最大特征值，m是A的最小特征值.8证明 因为A是实对称矩阵，所以存在正交阵T，% 0 0 使得TAT = ：

8、0 再 0 ，入*2,福为实数，I。0)-3 j于是久 00 h(x, y,z )=(x,y,z )T0 打 0y ，I00f-3 Jiz丿令 x,y,z T = x1,y1,z1 ， 则 x, y,z A：X1,叶,乙 T，又因为y=Ty1丿z1丿所以 1 = x2 + y2+z2 = (x y z) y=(为，y1,Z1)TT y1z1二 x2 y： z2，即 x2 y2 z2=1，h x, y,z = 乂沙2 iz2，2 2 2 ” ，”222 则有1XiyiZih x, y, z _，3Xiyi Zi,显然h x,y,z有最大值-3.9、证明（i）对任意固定实数b，存在Eq，使得b p

9、ai, d i印，bi为整数,将闭区间进一步缩小，存在ka，使得 b |kai, k i a j二匕冋，bi i ai ，3nk,(bnk +1匸b记ka为bn2an2，一直进行下去，得到一列闭区间套，使得nk xank 丄，bnk 1 ank 丄，b |b因为 lim an =0，所以;乘 的任何子列比收敛于零，则 kim bnkank -bnA =问屜，利用闭区间套定理，存在:|bnkank, bnk * i a% ，使得二，由是唯一公共点，知.二b.令bnkank 二 bk P，则有 kim_bk=b.（2）（ a）因为集合:f的正周期？有下界0,有确界存在定理，inf讦的正周期/ =T

10、o存在，（b） 现证明To inf f的周期？，根据下确界的性质，存在Tn i nff勺正周期？，n=i,2,l|l，使得nim：Tn订o，对任意R，由f x得连续性，得f x Tof x Tn =Hm f X = f X ，所以To是f的周期.（c）因为 Tn 0，HmTn =To，所以To _0,若To =0 ,则 limT =0 ,n半于是f得周期网点（指等于周期整数倍的点）在实数轴 R上稠密，从而，任意xR，存在xj， :yj是有一些周期网点所组成的序列，limxn=x， n_sc由此 f x 4im f Xn 岂m：f 0 Xn 二 f 0，即f x三f 0 （为常数），矛盾， 故T00，结论得证.x110、证明设：X = .0 t dt，由于t是周期为1的连续函数，且t dt =0， 易知门x亦是周期为1的连续函数，且 Ax二x，尬0=0，：ni