第12章相似原理与量纲分析法

1、第12章 相似原理与量纲分析法 粘性流体基本方程组求解非常困难，在解决 实际问题时都要加以简化，但简化不能是随意 的，需要有一定的规则，简化之后的解是否符 合实际必须通过实验验证。但通常由于影响因 素很多，如果安排实验才能合理地反映流动规 律？模型实验如何进行？实验结果有多大推广 价值？如果根本没有方程时又如何处理？ 需要有理论加以指导。 12-1 相似原理 例：管内流动阻力 P=f(，V，d，g，) 实验时每个参数改变5次，则实际次数 为56=15625次。每次花1小时，每天8小 时，则需1953天3年！ 如采用量纲分析法得到无量纲准则方程： ),(),( 2 2 2 d FRf dgd V

2、Vd f V P E reu 一流动相似 长度： 1、几何相似、几何相似： 夹角相等，形状相似，几何尺寸对应成 比例。 1 l C D D d d l l 3 l C V V 2 l C A A 面积： 体积： 流动相似 速度： 2、运动相似、运动相似： 对应时空点的速度方向相同，大小成比 例。 加速度： 体积流量： V t l C C C dt dl td ld V V a l V t l t V C C C C C C C dt dV t d Vd a a 2 q t l Vl V V C C C CC AV VA q q 3 2 流动相似 3、动力相似、动力相似： 对应点受力类型、方向相

3、同，大小成比 例。 其中，F：合力，F：粘性力， G：质量力，P：压力，：P压力差 2 t l MF C C CC P P P P G G F F F F 流动相似 温度： 4、热力相似、热力相似： 对应点温度（差）成比例，热流方向相 同、大小成比例。 热流量： T C T T T T l l Mq T T C C CC q q T 2 二相似准数 例： 对不可压缩流体的非定常等温流动，当质量力 只有重力，直角坐标下，N-S方程（Z方向）： 当两流动满足流动相似条件时，属于同 一类物理现象，其运动规律可由完全相同 的微分方程组来描述。 )( 1 2 2 2 2 2 2 z w y w x w

4、z p g z w w y w x w u t w 原型方程： 模型方程： )( 1 2 2 2 2 2 2 z w y w x w z p g z w w y w x w u t w pgt C p p CC g g CC t t , , , , lV C dz zd dy yd dx xd z z y y x x C V V , 2 2 22 2 , )( )( l V C C l V l V C C lC VC l V l V l V l V 流动相似： 代入模型方程： 欲使该方程与原型方程完全相同，则方程 各项的系数对应成比例： Z P CC C gC z w w y w x w u

5、C C t w C C L p g l V t V 1 )( 2 2 dxdydz dF CC C z w y w x w CC CC l F l V 32 2 2 2 2 2 2 )( 32 2 l F l V l P g l V t V CC C CC CC CC C C C C C C 其中： 位变惯性力； 压力 质量力 粘性力； 合力 时变惯性力； t V C C l V C C 2 g C l p CC C 2 l V CC CC 3 l F CC C 1 2222 Vlg F lVV p V lg tV l CCC C CCC C CC C C CC CC C 用第二项遍除，则：

6、定义：准则数 牛顿数： Newton Number e N lV F 22 位变惯性力 合力 t S Vt l 位变惯性力 时变惯性力 2 2 r F lg V 重力（质量力） 位变惯性力 e R lV 粘性力 位变惯性力 u E V p V p 22 位变惯性力 压力 斯特罗哈数： Strouhal Number 傅罗德数： Froude Number 雷诺数： Reynolds Number 欧拉数： Euler Number 其它准则数： 马赫数： Mach Number 韦伯数： Weber Number 普朗特数： Prandtl Number 帕克列特数： Peclet Numbe

7、r 格拉晓夫数： Grashof Number r P ak c 热边界层 流动边界层 热扩散率 动量扩散率 c E Tc V Tc V 22 焓差 动能 弹性力 惯性力 声速 流速 M a V ere PPR k lVc 导热率 对流传热率 r G Tbg 2 23 粘性力 浮力 表面张力 惯性力 e W lV 2 埃克特数： Eckert Number 于是模型方程可写成： 即，对应时空点所对应的准则数相等。 )(1 z w w y w x w u t w S S t t dxdydz dF N N z w y w x w R R z p E E g F F e e e e u u r r

8、 )( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 模型与原型相似，要求： 1 2 2 e e e e u u r r t t N N R R E E F F S S 或： eeeeuurrtt NNRREEFFSS, 三、局部相似 若采用同种流体，则： 例：对不可压流体，如粘性力相似， 则Re相等： 同时重力相似，则Fr相等： l CVV l C VV 1 于是： 3 2 l C 如取模型/原型=1/10，则： 1 l C 6 .31 1 即模型与原型相同。 这很难做到！ 局部相似 (A) 将准则数用相应的特征量表示，取代点准则数； (B) 只考虑主要准则数，忽略次要因素。 n相似原理的作用： (A

9、) 由运动方程导出相似准数，并用来指导实验； (B)对运动方程进行简化： 将基本方程无量纲化出现相似准数，比较量 级大小，小量级项忽略，还原方程，则少去 若干项（或变量）。 12-2 基本方程组的相似变换基本方程组的相似变换 为简要说明其方法，仍以不可压缩流动为例 0 V VPkg Dt VD 2 )( )( TTK D TTD C t p 引入特征尺寸L， 0 t )( TT W V 无量纲化： 0 , t t t L z z L y y L x x TT TT V p p V V V W , 2 则： z k y j x i 于是，得到以下无量纲方程组： 0 V 特征时间 特征温度 特征速

10、度 不出现无量纲数，说明不受流动参数的影响。 1）连续性方程: 2）动量方程： 非定常项 对流项 重力 压差 粘性应力 当准则数很大或很小时，可以忽略有关的项，从而简化方程。 比如：物体尺寸很小，流速振动周期很大时，St会很小，非定常项可忽略； 高速流动（大尺度），Fr很大，可忽略重力项； 大尺度高速流动，Re很大，甚至可忽略粘性项（即理想流体），Re很小时，则可 忽略粘性项转化为线性微分方程。 V R pk F VV t V S er t 2 11 )( 3）能量方程： 对流传热 热传导 粘性耗散 当Re很大时，右边均可忽略，于是,常数（等温运动）。 整个传热效应可不考虑。 e c re R

11、 E PRtD D ) 1 ( 1 )( ere PPR 0 Dt D 规规 则：则： 1）对于粘性运动，Re通常是重要的相似准数； 2）为使非定常流动相似，St要相等； 3）有自由面的流动，Fr和Gr是重要的； 4）有传热的流动，Pr是重要的； 5）高速流的传热，Ec是重要的。 12-3 量纲分析法量纲分析法 一、基本量纲一、基本量纲 n基本单位： 长度 L、时间 、质量 M、温度 T n导出单位： 力 ML-2、 压强 ML-1-2、 动力粘度 M L-1-1、 运动粘度 L2-1、 密度 M-3、 速度 L-1、 加速度 L-2、 导热系数 M-3T、 比热 L2T-1-2， 二、雷利法

12、二、雷利法（Rayleigh ,1899年） 1）将影响流动过程的n个物理量的隐函数,写成幂函数形式： 2）用基本量纲表示各物理量; 3）根据量纲和谐原则，方程两边基本量纲的指数应相等， 即构成指数应满足的方程（4个方程） 4）当n4时可直接求解，当n4时，有n-4个指数待定; 5）适当选择待定指数构造出准则数。 121 121 n a n aa n xxxkx 示例：示例：管内层流运动的压力损失 设与，u，d，l 有关，则 方程三个，未知数5个。 54321 aaaaa ldukP（等温流动） 54 321111321aa aaa LLMLLLMkML 325432131 3aaaaaaaa

13、a LMk 1 31 aa 13 54321 aaaaa 2 32 aa 则 如取： 1, 1 53 aa则：0, 3, 2 421 aaa 10132 ldVkP 2 )(V d lVd k 2 V d l Rk e d l RkE d l Rk V P eue 或 2 如取： 则： 1, 1 53 aa 2, 1, 0 421 aaa 22110 ldVkP 2 )(V d lVd k 2 V d l R k e 2 64 2 V d l R P e 对比理论结果：可知： 32k 三、三、 定理定理（Buckingham ,1914年） 1）列出影响因素：n个物理量，写成隐函数形式： 2）

14、选择其中三个（不考虑温度时）在量纲上基本独立的 物理量x1,x2,x3，对等温流动可取l，u，. 3）用三个量的组合，来表示x4,x5,xn共n-3个物理量 4）比较M,L, 的因次，解出全部 5）建立（n-3）个无量纲的综合物理量，称 项（无量纲） 0)( 21 n xxxf iii xxxxi 321 iii ， 6）将待求函数关系式写成（n-3）个 项的关系式： 0),( 54 n (i=4,5,n) 示例：示例：某流动现象由下列因素决定： 流速V，密度，线形尺寸，压差P，重力加速度g，动 力粘度，表面张力，弹性模量E等，现有定理建立 相似准则。 解： 设0),( 32 EgPlllVf

15、 111 1 lV P 11111 1 11 3 21 31 21 1 LM ML LMLL ML 取，V，l 为基本量，则 031, 2, 1 11111 解得： 2 1 V P 即Eu数 故 同理可得：同理可得： 22 2 1 r FV gl e RlV 1 3 e WlV 1 2 4 MV E1 2 5 l l2 6 l l3 7 0),( 32 l l l l MWRFE eeru ),( 32 1 2 l l l l MWRFVP eer 无量纲方程： 或写成： ),( 32 1 2 l l l l MWRF V P Eu eer 或： 如：对不可压管内流动，Fr，We，M均不重要，可忽略。 d l l l 2 dl l 3 ),( 2 2 dd l R V P E eu 则： 实验证明： d l Eu ),( 2 3 2 d R d lV P e 为线性关系 于是： ),( 3 d Re 2 2 V d l P 只需对和Re和/d做有限次实验，可得出的具体关系式， 则流