导数讨论含参单调性习题含详解答案

1、+ n)1 设函数f(x) = lnx,g(x) = -m 0)x + 1(1) 当m =J时，函数z = f(x)与咖在I处的切线互相垂直，求 门的值;(2) 若函数二f仪卜秋K在定义域内不单调，求 m-n的取值范围；1(+ f(-)雪 0(3)是否存在正实数已，使得 冥匕对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数 ；若不存在，请说明理由.2已知函数fW = (ax + l)lnx-ax + 3rE Rfg(x)是认的导函数，殳为自然对数的底数.(1) 讨论：的单调性；(2) 当 时，证明：；(3) 当时，判断函数I零点的个数，并说明理由.3 .已知函数bffx) = a(x + ) +

2、 blnxx(其中，)(1) 当b = Y时，若f(紆在其定义域内为单调函数，求 臼的取值范围；(2) 当 时，是否存在实数同，使得当时，不等式 恒成立，如果存在, 求b的取值范围，如果不存在，说明理由(其中 亡是自然对数的底数，“ 2力82旷).4 已知函数ln(x十a),其中甘为常数.(1)讨论函数 的单调性；(2)若寓打存在两个极值点勺，求证：无论实数臼取什么值都有22.5.已知函数HxJInle + a(小为常数)是实数集只上的奇函数，函数 盼=研+ $曲是 区间11上的减函数.(1) 求的值；(2) 若|在卜負订及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；的根的个数(3)讨论关于(1)若

3、f x和F x在区间0,ln3上具有相同的单调性，求实数a的取值范围；(2) 若 a最小值.1, 牙，且函数g xeax 1 xe2ax fx的最小值为M，求M的7.已知函数f (x) ex m ln x .(1)如 x1是函数f(x)的极值点，求实数 m的值并讨论的单调性f (x)；(2) 若 xx。是函数f(x)的极值点，且 f (x)0恒成立，求实数m的取值范围(注：已知常数a满足a In a 1).x28. 已知函数f x In 1 mxmx，其中0 m 1 .2x3(1) 当m 1时，求证： 1 x 0时，f x3(2) 试讨论函数y f x的零点个数.x 19. 已知e是自然对数的

4、底数，F x 2e x In x, f x a x 13.(1) 设T x F xf x ,当a 1 2e 1时，求证：T x在0, 上单调递增;(2) 若x 1,F xf x ,求实数a的取值范围.10 .已知函数f xex ax 2(1) 若a 1 求函数f x在区间1,1的最小值；(2) 若a R,讨论函数f x在(0,)的单调性；(3) 若对于任意的 x1,x2 (0,),且x1 x2, 都有x2 f (x1) a x1 f(x2) a成立，求a的取值范围。参考答案m-n 3【解析】可知y = g(刘在建二1处的切线斜率试题分析：(1)本小题主要利用导数的几何意义，求出切线斜率；当4

5、，同理可求得1) = 1，然后再根据函数 = 与 =创刘在忙=1处的切线互相垂直，得1- nx 114，即可求出结果.x + 2 - m(l * n) +xy =f(x)-g(x)=易知函数的定义域为(of + g),可得(K + l),由题意,1x+ 2 - m(l - n + - 在(0+ w)内有至少一个实根且曲线与x不相切，即鼻的最小i m(l - n) 44，由此即可求出结果hM = H-bffe) + f(1h(K)= aln2a - alnx - +-1k(x) = alnZa - alnx- a +令K為，可得X,令X,则值为负，由此可得 nr:沁，进而得到ak(x)=ax +

6、14.（注：结合函数y = x +（2 m（l -nnx + l图象同样可以得到），+ (1 - n)-2 m(l - n) 44h(x) = f(+ f() = ax In2a - ax-Inx + Inx - In2a 令x药h(x) = aln2a * alnx - a +a 1 ax + 1 k (x) =0时，咅的减区间为to-)，增区；（2）证明见解析；（3） 一个零点，理由见解析【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性，先求导, a 1 ax-1 g(X)=X,当虫o|时，弓k） 0，所以h(x) =是增函数,咖二CI,得证；（3）判断函数的零点个数，需要研究函数的增减性及极值端点

7、，由（1）可知，当卜=耳时，-是先减再增的函数，其最小值为1111g( ) = aln-+ a = a(ln- + 1) 0 aaa1 1,而此时k(巧i +Ag(丁 *) AO-a丄； e - 0；当圧时七）时，讣）=刖“；当“叫+刊时，花“胡幻九，从而躯）在H旳两点分别取到极大值和极小值，再证明极大值 愀,所以函数不可能有两个零点，只能有一个零点. 试题解析：1g（* = f （x）=川 nx + （1）对函数 求导得，, a 1 ax -1gW=，w ZZ属KX?1-, +，增区间为当泊0时，詠）“，故創珅在0+ ）上为减函数;故 的减区间为当2时，解gm可得a,（2）设，则h| = e

8、K-2K,易知当时，,h（）t） = eK - x2 * e? 0；（3）由（1）可知，当白X时，呂何是先减再增的函数，111g(-) = aln- + a - a(ln- + 1) 0其最小值为孑日目aea -0, e（e a）0,且 a，故咖恰有两个零点“卩，.当（0kJ时，fb） = g（K）o|；当呻时，彳（町=百Med ；当+g）时f k）= g（m 在两点分别取到极大值和极小值，且1= (ax. + 1I nx. - ax_ + 3 = lnxn + + 211111 In1 1 r 11Inx. +2IDK.+=- 2IM】，但当Iny时，卜巳 W = e不合题意,所以,故函数

9、的图象与 轴不可能有两个交点.函数仪)只有一个零点.3. (1)【解析】：十期口,巴；(2)存在，且试题分析：(1 )当b = -4时，首先求出函数的导数，函数的定义域是，得到f ax 一4x + 4a f(x) =范围；(2)两种情况讨论讨论二次函数恒成立的问题，得到的取值和两种情况讨论函数的单调性， 若能满足当4,x OJ(x) = a(x - -) - 4lnxPf (x)=x当a aO时，只有对于|x0,不等式恒成立，才能使为单调函数，只需时，当满足函数的最小值大于0，即得到b的取值范围.试题解析：(1)由题 当占“时，知f(x)OJ (x) = -1 +=-v 2 2(2) *，其中

10、(i)当时，fg瓷d,于是仙在Q + g)上为减函数，则在 际勺上也为减函数b 1和如曲二九时二緘一二口 )b-0知 它恒成立，不合题意，舍去.b + 拧 + 4b若b + 4bi e，即e0f*f(e = b -e - = (1 -)b -eee则f(x)在【J上单调递减.11 e * 2e(l-)b-esi 1 )- e -而&e / + 1 e + 1()当时，由 得，列表得b +vbJ + 4b心)2b + J+ 4bt +. b + 4b I7丄 +2+o-71取大值Si2 eb ，即e2 + l恒成立，不合题意，舍去b + Jb2 + 4be若则F(刈在上为增函数，在上为减函数,，

11、所以eb 2e?-l严2 6 要使在(匕J恒有f(M 恒成立，则必有f(e2) ab b - e - - 0,由于，则eb ，所以e-1ee i eg（x）恒成立，可转化为f（刘股心.4. （ 1）当泊盘时，屮）在区间卜孔*呵上单调递增;时，网和在上单调递减，在上单调递增；（2）见解析.【解析】试题分析 ：（1 ）先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究 = 2+冷1在（fm）上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定1xL =-=-单调区间，（2）先由（1 ）知a V2，且两个极值点叫叫

12、满足i再代入化简最后根据单调性证明不等式试题解析：（1）函数的定义域为 卜心用尺；.12x + 2ax+ 1g（M）= 2 + =-x + a x + a22记h（x| - 2x +2胡+ 1|,判别式 & = 4a 8当：；打：即时，及心口恒成立，负m：,所以在区间n勺上单调递增当M 2或“也时，方程2,十2拥“丸有两个不同的实数根,*2a + l图象的对称轴,l0.两根h：在区间 上，可知当时函数卜沁单调递增，Fmj -: .：,所以 -,所以 在区间（二上递增.（ii ）若 .，则卜；$；-丄图象的对称轴,；川二：-：.，所以时，卅），所以eW0,所以咖在卜孔从瓯1 *】上单调递增.凋时

13、，型刘在区间|（ 7八网）上单调递增；当卫时，呂何在a -2 -日十 a Ja - 2 F 十也-2_).+ 00上单调递减，在上单调递增.时，：有两个极值点，且1叫+ X2 =-孔叫电=-glxj + g|x2) = xj + ln(x1 + a) +k； + ln(x2 + a) = a? -1 - In28(Ki)+ fi(x2)a2 - 1-In2xi + xaa a3ar-創)=g( -) = + In-22又2242（2 ）由（1）知当时，-没有极值点，当时 +酣丿 巧仆工a2 1 In2g = - Ina - - + 22422a 1 a -2hg = 02 a 2a，所以 在时

14、单调递增,S(KL)+fi(2)+ *所以5. ( 1);(2); (3 )详见解析.a1 In2= -Ina - +42 2，所以 :，【解析】试题分析：（1）根据奇函数定义可得,再根据恒等式定理可得.(2)最小值由函数惑汀、山二是区间丨1】上的减函数，得其导函数恒非正，即，从而有而g(x(e + eM + a) -0.占二0（2 ）由（1） 知 flx） = x,.M = Ax + sinxI r牙（刈二入 + COSx,又T 在上单调递减，且辛H F V:对涉U恒成立，即强乳囲对卄7.门恒成立， 二 1. ,d I在汀汀：二上恒成立，.-入-知nl 卡吐卡1 ?即阳1冲+对rd + 1工

15、0对扎壬1恒成立，t +1 0.也t * sinl 2 0,而十弘1芒0恒成立，（3）由（1 ）知*,方程为Inx 令何以x) = - 2ex + m?1 - Inx阿K ,当卜耳炉起时，.,在百习上为增函数;当心创*网）时，申3,.帥）在6电）上为减函数;1当时，烏广J回=-，而f2(x) = |x - e)2 + m -.函数fK）在同一坐标系的大致图象如图所示,2 121m - e =-m = e + -当e，即亡时，方程有一个根;2 1m - e -m 0,所以xxex ex 2 a 0，为了求a的范围，所以需要求 xex ex的范围，可通过求导数，根据 单调性来求它的范围，求得范围是

16、xex ex1，所以2-a 1,所以求得a的范围试题解析：(1)当 a=-1 时，f(x)=e X-x+2，f (x) ex 1，令f (x)0x0;令f (x)0x0因为x 1,1,所以f(x)在1, 0单调递减；f(x)在0, 1单调递增。f最小值 (x)=f(0)=1x(2) f (x) e a当a1时，因为x , ex 1,所以f ,(x) ex a 0恒成立,函数f(x )在(0,+ )上单调递增当 a1 时，即 ln( a) 0,令 f ,(x) 0 x ln( a),令f，(x)0 x ln( a),因为x 0f(x)在(0,1门(a)上单调递增,在(ln( a)，+ )上单调递减。综上所述：当a -1时，函数f (x)在(0,+ )上单调递增(2)当a 1时，函数f(x)在(0,ln( a)上单调递减，在|n a单调递增(3)為必 (0,),且为 X2,都有X2 f(xj a % f(X2)a 成立，即空上L2成立，x1x2f (x) a