98年至06年全国数学竞赛试题(徐军波)(数学试题竞赛模拟).doc

1、1998 年全国数学联赛试卷一、选择题：（每小题6 分，共 30分）1、已知 a、 b、c 都是实数，并且a b c ，那么下列式子中正确的是（）（） ab bc （） abbc （） abb c （） abcc2、如果方程 x2px10 p0 的两根之差是1，那么 p 的值为（）（） 2（） 4（）3 （）53、在 ABC 中，已知BD 和 CE 分别是两边上的中线，并且BD CE， BD=4 ，CE=6 ，那么 ABC 的面积等于（）（） 12（） 14（） 16（） 184、已知 abc 0 ，并且 abbac c ap ，那么直线 ypxp 一定通过第（）象限cb（）一、二（）二、三（

2、）三、四（）一、四5、如果不等式组9 xa0a、b 的有8xb的整数解仅为 1， 2，3，那么适合这个不等式组的整数0序数对（ a、b）共有（）（） 17 个（） 64 个（） 72个（） 81 个二、填空题：（每小题6 分，共 30分）6、在矩形 ABCD中，已知两邻边AD=12 ， AB=5 ，P 是 AD 边上任意一点， PE BD ，PFAC ， E、 F 分别是垂足，那么PE+PF=_ 。7、已知直线y2x3与抛物线yx 2 相交于A 、 B两点，O 为坐标原点，那么OAB的面积等于_。8、已知圆环内直径为 acm，外直径为 bcm，将 50 个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链

3、，那么这条锁链拉直后的长度为 _cm 。9、已知方程 a 2 x 23a 28a x 2a 213a 15 0 （其中 a 是非负整数） ，至少有一个整数根，那么 a=_。10、B 船在 A 船的西偏北 450 处，两船相距 10 2 km，若 A 船向西航行， B 船同时向南航行，且 B 船的速度为 A 船速度的 2 倍，那么 A 、 B 两船的最近距离是 _km 。三、解答题：（每小题20 分，共 60 分）11、如图，在等腰三角形 ABC 中， AB=1 ， A=90 0，点 E 为腰 AC 中点，点 F 在底边 BC 上，且 FE BE，求 CEF 的面积。12、设抛物线 y x22a

4、 1 x 2a5的图象与 x 轴只有一个交点， （ 1）求 a 的值；（ 2）4求 a18323a 6 的值。13、 A 市、 B 市和 C 市有某种机器 10 台、 10 台、 8 台，现在决定把这些机器支援给D市18台， E 市 10 台。已知：从 A 市调运一台机器到 D 市、 E 市的运费为 200 元和 800 元；从 B 市调运一台机器到 D 市、 E 市的运费为 300 元和 700 元；从 C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为 400 元和 500 元。（ 1）设从 A 市、 B 市各调 x 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于 x（台）的函数

5、关系式，并求W 的最大值和最小值。（ 2）设从 A 市调 x 台到 D 市， B 市调 y 台到 D 市，当 28 台机器调运完毕后，用x、 y 表示总运费 W （元），并求 W 的最大值和最小值。1999 年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分）1、计算的值是（）。（ A ） 1；（ B） 1；（C） 2；（ D） 2。2、 ABC 的周长是24， M 是 AB 的中点， MC MA 5，则 ABC 的面积是（）。（ A ） 12；（ B） 16；（C） 24；（ D ）30。3、设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组的取值，使得下列中的一个为

6、正确的是（）。4 个图4、若函数，则当自变量取1、 2、3、 、 100 这 100 个自然数时，函数值的和是（）。（ A ） 540；（ B） 390；（ C）194；（ D） 97。5、如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB DC ， AB 998， DC 1001， AD 1999，点 P 在线段 AD 上，则满足条件 BPC 90的点 P 的个数为（ ）。0；（ B ）1；（ C） 2；（ D）不小于3 的整数。6、有下列三个命题： （甲）若是不相等的无理数，则是无理数；（乙）若是不相等的无理数，则是无理数；（丙）若是不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是（）。（ A ） 0

7、；（ B） 1；（ C） 2；（D ） 3。二、填空题（本题满分28 分，每小题7 分）本题共有4 道小题，要求直接把答案写在横线上。1、已知且，则_。2、如图，在 ABC 中， B 36， ACB 128 ， CAB 的平分线交 BC 于 M ， ABC 的外接圆的切线 AN 交 BC 的延长线于 N，则 ANM 的最小角等于 _。3、已知为整数，且满足，则 _。4、在正方形 ABCD 中， N 是 DC 的中点， M 是 AD 上异于 D 的点，且 NMB MBC ，则 tg ABM _。一、（本题满分20 分）某班参加一次智力竞赛，共三题，每题或者得满分或者得0 分。其中题满分20 分，

8、题、题满分分别为25 分。竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1 人，答对其中两道题的有 15 人，答对题的人数与答对题的人数之和为29，答对题的人数与答对题的人数之和为25，答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分？二、（本题满分25 分）如图，设 ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上， BD 4DC。已知圆过点C 且与AC相交于 F，与 AN 相切于 AB 的中点 G。求证： AD BF。三、（本题满分25 分）已知为整数，方程的两根都大于1 且小于0，求和的值。2000 年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题（本题满分42 分，每小题7 分）1、计

9、算的值是（）。（ A ） 1；（ B）；（ C）；（ D） 5。2、若，则的值是（）。（ A ）；（B ）；（ C） 5；（ D） 6。3、设是不相等的任意正数，又，则这两个数一定（）。（ A ）都不大于2；（ B）都不小于 2；（ C）至少有1 个大于 2；（ D）至少有 1 个小于 2。4、正整数小于100，并满足等式，其中表示不超过的最大整数，这样的正整数有（）。（ A ） 2 个；（ B） 3 个；（ C）12 个；（D ） 16 个。5、已知一个梯形的四条边的长分别为1、 2、 3、 4，则此梯形的面积等于（）。（ A ） 4；（ B） 6；（ C）；（ D）。6、已知 ABCD 是

10、一个半径为 R 的圆的内接四边形，AB 12， CD 6，分别延长 AB 和 DC，它们相交于 P 且 BP 8， APD 60，则 R 等于（ ）。（ A ） 10；（ B）；（ C）；（ D） 14。二、填空题（本题满分28 分，每小题7 分）1、是正数，并且抛物线和都与轴有公共点，则的最小值是_。2、某果品店组合销售水果，甲种搭配：2 千克 A 水果， 4 千克 B 水果；乙种搭配： 3 千克 A水果， 8 千克 B 水果， 1 千克 C 水果；丙种搭配：2 千克 A 水果， 6 千克 B 水果， l 千克 C 水果。 A 水果价格每千克2 元， B 水果价格每千克1.2元， C 水果价

11、格每千克10 元。某天该店销售三种搭配共得441.2 元，其中 A 水果的销售额为116 元，则 C 水果的销售额为 _元。3、实数满足和，则_。4、设正三角形ABC 的边长为2， M 是 AB 边上的中点， P 是边 BC 上的任意一点，PA PM的最大值和最小值分别记为和，则_。一、（本题满分20 分）设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点。（ 1）求证：；（ 2）若间的距离不超过，求的最大值。二、（本题满分25 分）EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形， 两条对角线 EG 和 FH 所夹的锐角为 ，且 BEG 与 CFH 都是锐角。已知 EG， FH ，四边形 EFGH 的面

12、积为。（ 1）求证：；（ 2）试用表示正方形 ABCD 的面积。三、（本题满分25 分）设关于的二次方程整数，求满足条件的所有实数的值。的两根都是2001 年全国初中数学联赛一、选择题（每小题7 分，共 42 分）1、a，b，c 为有理数，且等式 ab 2c35 26 成立，则 2a+999b+1001c 的值是（）1999（ B） 2000（C） 2001（ D）不能确定2、若 ab 1，且有 5a2+2001a+9=0 及 9b2a2001b50，则 b 的值是（）9520012001（A） 5 （B） 9 （C）5 （D）93、已知在 ABC 中， ACB=900 ， ABC=150 ，

13、 BC=1 ，则 AC 的长为（）（A） 23（B）23（C） 0 3（D） 324、如图，在 ABC 中， D 是边 AC 上的一点，下面四种情况中，ABD ACB 不一定成立的情况是（）（A） ADBCABBD（B） AB 2ADAC（ C） ABD= ACB（D） ABBCACBDax2xbb 24ac5、在实数范围内，一元二次方程bxc 0 的根为2a；在 ABC中，若 AC 2BC 2AB 2，则 ABC 是锐角三角形；在ABC和 A1 B1C1 中， a， b， c 分别为 ABC 的三边， a1 , b1 , c1 分别为A1B1C1 的三边，若 aa1, bb1, c c1 ，

14、则 ABC的面积 S 大于 A1B1C1 的面积 S1 。以上三个命题中，假命题的个数是（）（ A）0（B）1（C）2（D）36、某商场对顾客实行优惠，规定：如一次购物不超过200 元，则不予折扣；如一次购物超过 200 元但不超过500 元的，按标价给予九折优惠；如一次购物超过500 元的，其中元按第条给予优惠，超过500 元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款元和 423 元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（）500168（ A） 522.8 元（ B） 510.4 元（ C） 560.4 元（ D ）472.8二、填空题（每小题7 分，共 28 分）1、已知点P 在直

15、角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，QPO=1500 ，且P 到Q的距离为2，则Q 的坐标为。2 、已知半径分别为1 和2 的两个圆外切于点P，则点P 到两圆外公切线的距离为。3、已知 x, y 是正整数，并且xyxy23, x2 yxy2120 ，则 x 2y 2 =。4 、一个正整数，若分别加上100 和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为。解答题（共70 分）1、在直角坐标系中有三点A （ 0， 1）， B（ 1，3），C（2， 6）；已知直线yaxb 上横坐标为0、1、2 的点分别为 D 、E、F。试求 a, b 的值使得AD2+BE2+CF2 达到最大值。（ 20

16、分）证明：（ 1）若 x 取任意整数时，二次函数 y ax 2bxc 总取整数值，那么 2a, ab, c 都是整数；（ 2）写出上述命题的逆命题，并判断真假，且证明你的结论。（25 分）2、如图， D ， E 是 ABC 边 BC 上的两点， F 是 BC 延长线上的一点， DAE= CAF 。（ 1）判断 ABD 的外接圆与 AEC 的外接圆的位置关系， 并证明你的结论； （2）若 ABD 的外接圆的半径的 2 倍， BC=6 ， AB=4 ，求 BE 的长。解答题：3、如图， EFGH 是正方形 ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和 FH 所夹的锐角为 ，且 BEG 与 CFH 都

17、是锐角。已知EG=k ，FH= l ，四边形 EFGH 的面积为 S。2 S（ 1）求证： sin = kl ；（ 2）试用 k, l , S 来表示正方形的面积。求所有的正整数a， b， c，使得关于 x 的方程 x 23ax 2b0 ， x 23bx 2c 0 ，x 23cx 2a0 的所有的根都是正整数。AH DE|OGBFC4、在锐角 ABC 中， AD BC ， D 为垂足， DE AC ， E 为垂足， DF AB ， F 为垂足。O 为 ABC 的外心。求证：（ 1） AEF ABC ；（ 2） AO EF5、如图，在四边形 ABCD 中， AC 与 BD 交于点 O，直线 l

18、平行于 BD ，且与 AB 、DC 、 BC、 AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、 N、 R、 S 和 P。求证： PM PNPR PS2002 年全国初中数学联合竞赛试卷一、选择题（本题 42 分，每小题 7 分）1、已知 a=2 -1， b=22 - 6 ，c=6 -2，那么 a， b，c 的大小关系是（）(A) abc(B) bac(C) cba(D)ca0(B)M 0(C)M 0(D) 不能确定 M 为正、为负或为 04、直角三角形 BC 的面积为 120，且 BAC=90 o，AD 是斜边上的中线，过D 作 DEAB于 E，连 CE 交 AD 于 F，则 AFE 的面积为（

19、）(A)18(B)20(C)22(D)245、圆 O1 与 O2 圆外切于点 A ，两圆的一条外公切线与圆O1 相切于点 B，若 AB 与两圆的另一条外公切线平行，则圆O1 与圆 O2 的半径之比为（）(A)2 ： 5(B)1 ： 2(C)1 ： 3(D)2 ： 36、如果对于不小于8 的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1 都能表示成个k 完全平方数的和，那么k 的最小值为（）(A)1(B)2(C)3(D)4yO1xO1AO2- 1B二、填空题（每小题7 分，共 28 分）1、已知 a0， ab0 ，那么就可以交换 b，c 的位置，这称为一次操作 .（ 1）若圆周上依次放着数1，2

20、， 3， 4，5， 6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数 a， b， c， d，都有 ( a d )(bc) 0？请说明理由 .（ 2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003 个正整数 1，2， ， 2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数 a，b， c，d，都有 ( a d )(b c) 0？请说明理由 .解：（ 1）162534（ 2）2004 年全国初中数学联赛试题及参考答案（ 2004 年 4 月 24 日上午 8:30-11:00）选择题 (本题满分 42 分,每小题 7 分 )1.直角三角形斜边长为整数,两条直角边长是方程

21、9x 3(k+1) 的两个根,则 k2 的值是()(A)2(B)4(C)8(D)912.(8+37)9 (8 3(A) 奇数(B) 偶数97)值是()(C)有理数而不是整数(D) 无理数3.边长分别是2、5、7 的三个正方体被粘合在一起，在这些用各种方式粘合在一起的立方体中，表面积最小的那个立方体的表面积是.（）(A)410(B)416(C)394(D)402x+yz=14.设有三个实数x、 y、 z 满足：y+zz=1则适合条件的解组（x、 y、 z）有（）z+xy=1(A)3 组(B)5 组(C)7 组(D)9 组3aa18a13aa 18a13333的值是 ()5.8a1,则(A)1(B

22、) 23 a(C)8a(D) 不能确定2y22yz6.方程x2x)的整数解有 (A)1 组(B)3 组(C)6 组(D) 无穷多组二填空题（本题满分28 分,每小题7 分）1函数 y=x2 2（ 2k 1） x3k2 2k的最小值为m。则当 m 达到最大时 x2对于 1， 2， 3，。， 9 作每二个不同的数的乘积，所有这些乘积的和是3如图， AB ， CD 是圆 O 的直径，且 AB CD ， P 为 CD 延长线上一点， PE 切圆 O 为 E， BE 交 CD 于 F， AB=6cm,PE=4cm, 则 EF 的长 =AECOPDB24用6 张 1x2矩形纸片将3x4 的方格表完全盖住，

23、则不同的盖法有种。三。综合题1。有二组数：A 组在 B 组中存在一个数数1， 2，。， 100Y，使得 X+Y也是B 组 12， 22 ，32B 组中的数，则称，。， 1002 若对于X 为关联数，求AA 组中的 X，中关联数的个2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0) 的图象和x 轴， y 轴都只有一个交点，分别为A ，B 。AB=3 2 ,b+2ac=0,一次函数 y=x+m 的图象过 A 点，并和二次函数的图象交于另一点 D 。求 DAB 的面积3等边三角形ABC 中， D 是 BC CPD= ABC ，求证： BP AD边上的一点，且BD=2CD ， P 是 AD上的一点。2005

24、 年全国初中数学联赛决赛试卷一、选择题：(每题 7 分，共 42 分)111、化简：4 59+3023 66402 的结果是。A 、无理数B、真分数C、奇数D、偶数2、圆内接四条边长顺次为5、10、 11、 14；则这个四边形的面积为。A 、 78.5B、 97.5C、 90D、102111 113、设 r 4， a rr+1 ， b rr+1， c r(r + r+1) ，则下列一定成立的是。A 、 abcB、 bcaC、 cab D、 cba4、图中的三块阴影部分由两个半径为1 的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是。561212A 、

25、2B、 2C、 225D、 2165、已知二次函数f(x) ax2 bx c 的图象如图所示，记 p |a b c| |2a b|， q |a b c| |2a b|，则。A 、 pqB、p qC、 pq6、若 x1， x2， x3 ， x4， x5D 、p、 q 大小关系不能确定为互不相等的正奇数，满足(2005 x1)(2005 x2)(2005 x3)(2005 x4)(2005 x5) 242，则 x12 +x 22 +x 23 +x 24 +x 52 的未位数字是。A、 1B、3C、5二、填空题 (共 28 分 )D、 71、不超过100 的自然数中，将凡是3 或5 的倍数的数相加，

26、其和为。2、7x 2 +9x+13+7x 25x+13=7x ，则 x。x3 y=1,xy3 =1,3333+433+63、若实数 x、 y 满足 3 +43 +655则 xy。4、已知锐角三角形ABC 的三个内角A 、B、C 满足： A B C，用 a 表示 A B，B C 以及90 A 中的最小者，则a 的最大值为。三、解答题 (第 1 题 20 分，第2、3 题各 25 分)1、 a、b、c 为实数， ac 0，且2a+ 3b+ 5c=0 ，证明：一元二次方程ax2 bx c0 有大3于 4而小于 1的根。2、锐角 ABC 中， AB AC ， CD 、 BE 分别是 AB 、 AC 边

27、上的高，过 D 作 BC 的垂线交 BE 于 F，交 CA 的延长线于 P，过 E 作 BC 的垂线，交 CD 于 G，交 BA 的延长线于 Q，证明：BC 、DE 、 FG、 PQ 四条直线相交于一点。3、 a、 b、 c 为整数，且a2 b3 c4，求 c 的最小值。2005 年全国初中数学联赛初赛试卷3 月 25 日下午 2： 30 4:30 或 3 月 26 日上午 9： 0011： 30学校 _考生姓名 _题号一二三四五合计得分评卷人复核人一、选择题（每小题7 分，共计42 分）1、若 a、 b 为实数，则下列命题中正确的是（）（ A ） aba2 b2(B)a ba2b2(C)|a| ba2 b2 (D)a |b|a2 b22、已知： a+b+c=3,a2+b2+c2=3, 则 a2005+b2005+c2005 的值是（）（A） 0(B) 3(C) 22005(D)3 220053、有一种足球是由若干块黑白相