固体波的高斯声束模型推导

1、一表面波的基本特征平板类声表面波的传播激励和特征1）表面波的产生：采用纵波写入射的方式产生表面波平面波的斜入射和折射把y改为z。由于存在有波形转换，当纵波在液体和固体的界面上入射时，将产生反射的纵波和透射的纵波和横波，如上图所示，当纵波两种弹性固体的界面上入射时，将产生反射和透射的P波和SV波；假设入射P波为，则其反射波为，透射纵波为：，透着横波为，从运动方程，可以获得入射波、反射波和透射纵波和横波在介质1和介质2中沿Y方向的分量，利用在y=0的平面上沿Y方向的位移和应力连续的边界条件：和可以获得在液体界面上传播的入射波反射波和透射波之间的速度和角度关系，即广义斯涅耳定律：其中，为介质1中的纵

2、波速度，、分别为介质2中的纵波和横波速度。当存在有时，存在有第一临界入射角，当入射角度小于时，在介质2中存在有横波和纵波，当入射纵波角度大于时，透射纵波为其传播特性为沿Y=0的界面传播的非均匀畸变波；在介质2内部仅存在有SV波在传播；当入射角继续增大达到时，如果存在有在介质2内部传播的SV波的传播特性也变为沿Y=0界面传播的界面波，其位移也随着在介质2内部深度的增加而程指数衰减。随着入射角度的继续增大，将在界面Y=0上产生仅沿界面传播的声表面波。要对平板类构件的表面和亚表面缺陷进行检测，就要产生沿表面和亚表面传播、对表面和亚表面的缺陷比较的波形，从上面的波形转换分析可以得出，采用表面波对界面进

3、行检是比较理想的波形。2）表面波在平板内的传播规律 表面波的传播特性是沿沿着弹性半空间的自由表面进行传播，其扰动的深度随着离自由表面位移的增加呈指数衰减。下面通过对其传播规律进行分析，确定声表面波能够对平板类构件的检测深度。 对表面波的位移进行Helmholtz分解，有，由于在介质2内部的传播的波满足Navier波动方程： 其中，、分别为介质2中的纵波波速和横波波速。对于二维平面如遇所示，有，由和两个势函数的解，利用Lame形式，则可以表示为，。考虑沿x方向传播的声表面波的传播特性，设，将其代入Helmholtz分解后的Navier波动方程，沿Z方向可得，其中，,为任意常数。则由上式可以求得基

4、于胡克定律和边界条件，可以求得满足边界条件的特征方程为位移和为 式中：，并渴求的表面波的波速方程为：式中：，。由于，由此可以求得表面波的声速。试验中，常取（为材料的泊松比）。 对表面波在介质内的位移进行分析，由于位移矢量的分量为实向量，为此，可取沿x和y方向的归一化的位移为： 对于任意的值，由和表示的位移满足椭圆方程， 表面波的位移为沿X方向的纵波位移和沿Y方向的横波位移的矢量位移合成。二、表面波的高斯模型推导1、高斯模型1）首先考虑纵波在液体中传播的简单情况，获得换能器声场的高斯模型如图所示：换能器辐射声场可以看作为换能器表面上的无穷点声源辐射球面声场的叠加形成的；另当换能器辐射声场的面积远

5、小于传播距离时，可以近似将换能器看作为点声源，其声压表达式为： （1）其中(为换能器压电晶体片面积，为液体介质密度，为时压电晶体片辐射声速)为换能器在，从点源到辐射点的距离。考虑在沿轴临近区域方向的的球面波，在小角度的情况下（，），球面波被近似看做是沿轴方向的，则有（其中，）则点源辐射球面波沿轴方向可以近似得到： （2）在液体中沿方向传播的纵波声压的拟平面波形式为，满足声波在液体中的波动方程 （3）将上述代入波动方程，得到 （4）为了获得（4）的在高频部分的近似解，考虑一个拉伸坐标系（），然后，将上述拉伸坐标系带入到（4），可以获得 （5）保留含有的项，则获得 （6） 因为在换能器激励声场的声

6、压在沿传播的过程中，会捕捉到沿的主要声场，所以沿方向的主要微分项与（2）中的其他项相比远远小，这与（6）式得到的结果相同。 在这里做出获得高斯声束模型的近轴近似的假设前提条件： （7） 从而获得高斯模型满足的近似方程为： （8）2） 将在液体中换能器沿方向辐射的声压用在柱坐标中的拟平面波的形式表示为 （9）其中随着和的变化而变化，将其代入波动方程，可以得到 （10）如同建立的圆柱坐标系，因为在传播的过程中，在垂直于Z轴的平面上没不存在角度的变化，因此为轴对称的波。 高斯模型的假设为波在沿Z轴传播的过程中，远远比波动方程中的其他项小，故不考虑这一项，从而获得高斯模型满足的近轴近似方程： （11）

7、近轴近似的假设为： （12）因为在（11）式右侧的项对于波动方程，具有同等重要的优点，因此，仅考虑 （13）已经足够。 首先考虑满足方程（11）的解 （14）其中，为关于Z的复值函数。将（14）代入公式（11），可以得到： （15）欲使所有的满足公式（15），则必须有 （16） （17）（16）的解刚好为传播规律 （18）其中为随着频率变化的复常数。将（18）代入（17），可得 （19）将（18）、（19）代入（14）可得 （20）记： （21）其中，是长度单位，为波长。称为共焦距。将以上简化代入高斯声束，有 （22）对于（22），定义一下声束宽度和波前曲率两个参数由此，高斯声束变为 （24）

8、上述高斯声束模型与球面波模型具有高度的一致性，并且当时，高斯声束模型可以简化为球面波模型。高斯声束假设为拟平面波的条件和近轴近似从高斯声束模型（20）的声压，利用运动方程 （25）可以得到 （26）其中，。 首先考虑（26）右侧沿Z方向的速度幅值的第一项远远大于其余两项的情况。（1）条件1： 即 （27）因为，所以当时，亦即 （28）条件（1）必定满足。 （2）条件2 ： （29） 因为高斯声束的能量主要包含在声束宽度为的范围内，因此对于沿Z向传播的声波，在于Z轴垂直的平面内，Z轴为原点半径为的柱面内，设定已可满足高斯声束能量主要集中在该范围内。由此可得： （30）因为，所以（30）可以进一步

9、化为 （31） 由于因为，则（31）可进一步化为 （32） 这与条件（1）所需要满足的条件相一致。这就是说当波腰的宽度远远大于波长时，有（26）给出的高斯声束的速度可以缩减为 （33）这与平面波的声速是一样，因此，我们可以讲高斯声束的传播特性看作为拟平面波。同时，该结论对于近轴近似的高斯声束的假设条件（13）同样满足。 因为高斯声束的声压幅值 （34） （35）（35）括号里面的各项与前面分析的相同，所以在（28）或者（32）的约束条件下，有 （36）利用公式（36），则（13）可化为 (37)如果对（35）再次求微分，并再次假设（27）和（29）成立，则可以得到 (38)从而使得近轴近似条件

10、（37）变为 （39）当成立时，近轴近似条件自然成立。三、高斯模型的声反射和折射1、圆形对称的高斯声束的折射和反射如前高斯声束主要由幅值和相位参数决定。高斯声束传播规律决定了声束的变化情况。当圆形对称的高斯声束垂直入射在曲率半径为的球形曲面上时，在曲面的两侧将产生轴对称的反射波和透射波。如图所示。 在曲面上的入射、反射和透射高斯声束分别表示为 （40） 其中，、分别表示入射、反射和透射声压，（m=1,2）表示在第一和第二介质中的波数。如上图所示，坐标原点取在界面与Z轴的交点，入射和透射波均沿Z轴正向传播，反射波方向则相反。入射高斯声束在介质1中，在Z轴负方向距离坐标原点距离为的位置，时开始激励

11、产生。对于入射反射和透射波，由于均相同，故在以下的推导中省略。根据界面上的声压和声速连续的条件： （41）利用（33）式，则边界条件可以简化为： （42）考虑到入射、反射和透射波的高斯声束模型声压幅值项存在有相位项，所以分布从两个方面考虑其在边界的匹配情况。与在Z轴附近微小区域高斯声束模型被近似看做拟平面波相对应的是得幅值项和相位项对于的二次方向的匹配。首先，在的条件下，幅值项的边界条件化为 (43)求解边界条件可得 (44)其中，、为基于声压比的平面波反射和透射系数。其次对于相位想的匹配如上图所示，声波入射的界面A可以从上述几何关系得到： （45）对于入射波和透射波的相位匹配有 （46）从而

12、可以得到透射波传播规律 （47）类似的，通过入射声束与反射声束的相位匹配，可以获得反射规律： （48）假设入射波的波前曲率和宽度在时为、；反射波和透射波的波前曲率和半径分别为、；从前述的（24）可知波传播规律与波前曲率和宽度的关系为：（） （49）从透射规律和反射规律的实部和虚步与入射波之间的关系，可以得出在时存在有 （50）利用（47）、（48）、（49）、（50）可以得到在界面时反射波和透射波的曲率半径与入射波曲率半径之间的关系： （51）当界面为平面时，反射波与透射波的波前曲率半径之间的关系变为： （52）从（51）可以看出界面的曲率半径对透射波和反射波曲率半径的影响，当入射波波腰在位置

13、时，存在有，（1）当且时，有，即透射波在介质2中是发散的，这样的界面成为发散界面；（2）当且时，有，即透射波在介质2中是汇聚的，这样的界面成为汇聚界面，如图所示对于反射声束可以采用同样的方法获得分析结果。高斯声束的解利用假设条件（7）得到的近似波动方程（8）有多种形式的解。针对沿方向传播的解，假设具有高斯解的通用形式：， （53）其中，是一个复值标量，为一个复值对称矩阵，的两个复特征值（），满足的虚部大于（）。前述的圆形横截面的高斯声束模型是（53）的特例；包含声束宽度、曲率半径和声束腰的高斯声束侧视图结构如图所示。（53）表示了沿轴传播的在垂直轴的截面具有椭圆轮廓、并且呈指数衰减的波。 将（

14、53）代入近似波动方程 (54)对于任意的，式（54）均能得到满足，则可得 （55） （56）其中，为矩阵的迹。 对单位矩阵求关于的导数，可得 （57）把（56）代入（57），并对所得的结果左乘，可得： (58)其中，为单位矩阵。对（58）左乘，可得 （59）对于任意矩阵存在有 （60）其中，表示的伴随矩阵，表示的行列式。则（59）式变为： （61）利用矩阵的转换关系： （62）对（61）左右两边同时求迹，有 （63）把（63）代入（55），可得 （64）对（58）直接积分可得： （65）当初始的矩阵为一个复值对称矩阵，在时的两个复特征值（），的虚部大于（）时，在沿方向传播的矩阵的特征值同样存

15、在有。而对于的实部，在波传播的过程中，通常为正值。对（65）左右两边求逆矩阵，可得对应的矩阵 （66）式（66）也可以写成 （67）其中，。对方程式（64）求解：因为式（64）可以等效化为如下形式： （68）其中，。对（68）进行积分，可得 （69）因为为一个复值矩阵，（69）在进行运算的时间必须考虑取值的符号问题，因为的实部为正值，而虚部如前所述通常也为正值，一种有效地方法是把化为对角阵形式。如果为对角阵，则可以得到。 对于对称的高斯声束如果在时其波前曲率半径为、波腰宽度为的话，则其为： (70)利用（69），则高斯声束的表达式（53）可以表述为： (71)从（71）可以看出，高斯声束的声压

16、幅值和相位是仅仅依赖于变化的量。利用声速与声压的关系式（33），可以得到满近似波动方程的声压为： （72）其中，为沿方向传播的单位矢量，为液体介质的密度（上述结论是在液体中的纵波入射在曲面上得到的）。 各项同性弹性固体中的近似波动方程 弹性各项同性固体介质中位移的波动方程（Naviers equations）为：（、为拉梅常数，为固体介质密度） （73）对于依赖于时间成指数规律变化的扰动，式（73）可化为 （74）其中，为位移的第个分量，、为固体介质中的纵波和横波波速。如果外加一个沿方向的纵波 （75）按照在液体中的高斯近似模型的假设方法对（74）式进行展开，求其近似波动方程，可以得出在()的

17、位移幅值极小，满足近轴近似的波动方程 (76)其中，为纵波的波数。类似的方法可以获得沿方向传播的横波，在、方向产生的横波近似波动方程。假设纵波位移为：代入（74），存在有和，假设，则()满足横波的近似波动方程 (77)其中为横波的波数。因为在各项同性固体介质的横波和纵波满足近似波动方程，因此其位移解可以写为高斯模式： （76）其中，为（）类型波的位移矢量，为位移的振动方向（当为沿着轴方向振动，为在垂直于轴方向振动）。 对于类型的谐波的速度，存在位移与速度的关系： （77）因此类型的谐波的速度为 () (78)其中，。 因此，在各项同性弹性固体介质中的高斯声束模型同样满足液体介质中的传输方程（5

18、5）和黎卡提非线性方程（56），其具体形式如下： （79） （80）按照前述的结论可以得到： （81） (82)高斯声束在斜入射在曲面上的反射和折射如图所示：当入射的高斯声束入射在如图所示任意两种各项同性的曲面上时，会产生各种类型的反射和折射高斯声束，这里仅用入射和折射或者反射的一种高斯声束来描述。假定在介质中的（）类型的声速为、密度为、波数为，在介质中的（）类型的声速为、密度为、波数为；在介质的类型的波和介质中的（）类型的波速幅值、偏振方向以及复相位分别为、和、。入射的高斯声束在介质中的坐标系中沿轴方向传播，透射的高斯声束在介质中的坐标系中沿轴方向传播。沿轴方向的单位矢量为，沿轴方向的单位矢

19、量为。入射点（入射声束的中心轴线与曲面的检点）处的曲面法线的单位矢量为。和坐标系的原点均为。为了实现对任意曲面的高斯声束进行描述，需要对以（）描述的阶矩阵采用坐标旋转和转换的方法转换到三位坐标系中以表达的阶矩阵进行表达。为此，首先将以（）描述的扩展到以表达的，具体扩展方式如下： （83）利用前述的符号记法，可以将在介质中的入射波速度在坐标系中表达为： （84）其中，。 类似的方法可以获得在介质中在坐标系中的高斯声束表达式为 （85）其中，。在上述表达式（84）、（85）中的项对应入射波从激励位置到点的时间延迟，如前所述，点的。 下面对反射和透射问题在入射平面内展开。入射平面（POI）是由入射波

20、的方向矢量和入射波在曲面入射点处得法向矢量形成的一个平面，如图所示用于入射波的入射平面坐标系是由坐标系绕轴旋转得到的，在沿着高斯声束传播的方向，有。在坐标系中，面在入射平面（POI）内，垂直于入射平面（POI）。与入射的声束相类似，折射和透射的坐标系是由坐标系绕轴旋转得到，在沿波的传播方向上，面在入射平面（POI）内，垂直于入射平面（POI）。坐标系和坐标系的原点都在点。在这里同样定义一个坐标系，沿着曲面单位法向矢量的方向，位于POI平面内，轴垂直于POI平面。 我们可以把入射波和反射及透射波在坐标系中重新表达为： （86） （87）上述标书中，把所有的二次相位项统一记为及。 由于入射波和透射

21、波在边界上满足速度和应力匹配条件 （88） （89）其中，、表示两种介质的弹性张量，（88）、（89）表示介质中的所有类型波和介质中的波的速度和应力的和的对应关系。考虑到高斯声束在入射点入射中心轴线的很小区域内被近似看做为拟平面波。 首先考虑幅值在入射点匹配的情况。从（86）、（87）、（88）、（89）可以看出，在幅值匹配时，存在有： （90）其中，因为项是坐标系的二次函数，因此其导数在点将不存在；另外在高频的情况下，（90）中因为存在有乘数因子包含导数的项远远小于。则式（90）可以简化为 （91）（64）与一系列的平面波 （92） （93）在与点的切平面界面上满足边界条件（62）中得到的结

22、果是一样的。方程（91）的中包含有透射和反射系数。通常情况下的透射和反射系数的求解都是在入射波和透射/反射波（P、SV、SH）的振动方向都在POI平面内进行求解的。对于透射系数和反射系数的求解，在这里定义一个透射系数矩阵，规定把在坐标系中的类型入射声束的速度分量转换到对应的坐标系中。 产生声表面波的坐标转换关系 在以上的推导过程中，坐标系是由绕轴旋转形成的，其中三者之间的坐标转换关系为： （）其中，（分别为轴的单位方向矢量）即轴绕轴旋转角度的余弦；类似的可以定上述转换矩阵的子量。 在以上的推导过程中，坐标系是由绕轴旋转形成的，其中三者之间的坐标转换关系为： （）其中，（分别为轴的单位方向矢量）

23、即轴绕轴旋转角度的余弦；类似的可以定上述转换矩阵的子量。坐标系、坐标系和坐标系之间，是绕轴旋转角度形成的，其中，。其中三者之间的坐标转换关系为： （）其中，（分别为轴的单位方向矢量）即轴绕轴旋转到轴位置角度的余弦；类似的可以定上述转换矩阵的子量。 （）其中，（分别为轴的单位方向矢量）即轴绕轴旋转到轴位置角度的余弦；类似的可以定上述转换矩阵的子量。从而通过上述转换矩阵，可以求出与之间的对应关系。当纵波斜以角度入射在固体介质的表面时，会在介质中产生反射的横波和纵波，在介质中产生折射的纵波和横波。假设在介质中的反射波在新坐标系中，沿着传播，且新坐标系为绕轴旋转（）角形成的，存在有。则有坐标转换关系：

24、反射的横波，假设反射的角度为，设若反射横波在新坐标系中沿方向传播，且在POI平面内，。为轴绕轴逆时针旋转（）而成。则有坐标转换关系 同时在介质内部存在有折射的纵波和横波，利用入射纵波在固体介质内部激励出横波和纵波之间的Snells定律： 其中，表示介质中的波数，表示介质中的波数。则将以上参数代入可求出在高斯声束在介质中的声束模型。在坐标系下的POI平面内，当纵波斜入射在曲面的点时，在介质中将产生反射的纵波和横波，其表达式分别为：入射纵波表达式为： （1）反射横波和反射纵波的表达式为： （2） （3）其中，表示反射纵波的方向，表示反射纵波的偏振方向，表示反射纵波的波数，表示反射横波的偏振方向，表

25、示反射横波的波数，表示反射横波的波传播方向。 在POI平面内，在坐标系下，当纵波斜入射在曲面的点时，在介质中将产生折射的纵波和横波，其表达式分别为：折射横波和折射纵波的表达式为： （2） （3）其中，表示折射纵波的方向，表示折射纵波的偏振方向，表示折射纵波的波数，表示反射横波的偏振方向，表示透射横波的波数，表示透射横波的波传播方向。 依据式（90）可以简化得到的 （91）（64）与一系列的平面波 （92） （93）在与点的切平面界面上满足边界条件（62）中得到的结果是一样的。方程（91）的中包含有透射和反射系数。通常情况下的透射和反射系数的求解都是在入射波和透射/反射波（P、SV、SH）的振动

26、方向都在POI平面内进行求解的。 依据纵波入射在平面上，将产生反射纵波和反射SV波、以及透射的纵波和透射的SV波的特点。（参见弹性固体中波的传播，阿肯巴赫著） 在坐标系内，入射和反射以及透射波的传播方向均在确定的平面内。在进行计算的过程中，在方向波的速度和应力均为0。 所以计算过程中，不考虑方向的分量，则有 依据式（91），针对在坐标系内的求解、 在方向，速度和应力的方程 （a）(b) (c)(d)利用（a）、(b)、(c)、(d)可以求得反射系数和透射系数。利用纵波转换为横波的求解透射系数的过程：因为坐标系与坐标系属于同一个坐标系，且其方向相同对与入射的纵波有：对于反射的纵波有对于反射的横波

27、有对于透射的纵波有透射的横波有：对于有机玻璃和铝板构成的固定边界面：在入射点附近的微小区域上，曲面的透射系数与平面波在切平面上的透射系数一致。从而可以分析在坐标系下，有：根据上图，对与入射的纵波有：其振动方向和波传播方向相同，在坐标系下为： 对于反射的纵波有有：其振动方向和波传播方向相同，在坐标系下为：反射角大小等于入射角（）对于反射的横波有有：其振动方向和波传播方向不相同相同，在坐标系下为：其振动方向为：波传播方向为：对于透射的纵波有有：其振动方向和波传播方向相同，在坐标系下为：透射的横波有：有：其振动方向和波传播方向不相同相同，在坐标系下为：其振动方向为：波传播方向为：设入射波的幅值为，则

28、在入射介质中有对于入射纵波有：对于反射纵波和反射横波有：对于透射纵波和透射横波有：在坐标系下，根据边界速度连续性条件，有：在方向：在方向：在固体介质中，通常在计算透射系数的过程中，不需要对其偏振方向有准确的确定。只需知道其在各个方向的速度分量之间的转换关系。在坐标系中，类型的波的偏振方向为，其速度分量为在坐标系中，类型的波的偏振方向为，其速度分量为则入射波和反射波之间的关系可以变为：其中，为阶矩阵，当时，当时，当时，当时，其中矩阵内部的子分量为平面波的反射和透射系数。对于上文提到的，在坐标系中沿轴和沿轴的单位矢量分别为：、；在坐标系中沿轴和沿轴的单位矢量分别为：、；并且在坐标系中，平面是有绕轴旋转一定角度得到的。其中间存在一个过渡的坐标系。基于此，我们可以定义动到坐标系的绕轴的旋转变换，（其中，为轴绕轴旋转到轴的夹角）定义动到坐标系的绕轴的旋转变换，（其中，为轴绕轴旋转到轴的夹角） 则有变换到的逆变换为： 坐标系、坐标系(POI平面所在坐标系)之间是绕轴旋转角度形成的，其中，。其中三者之间的坐标转换关系为： （）其转换系数为：其中，（分别为轴的单位方向矢量）即轴绕轴旋转到轴位置角度的余弦，类似的可以定上述转换矩阵的子量。