比例线段及有关定理

1、一、一、What is it1 1 两条线段的比：两条线段的比： (1) 定义定义： 同一单位度量的两条线段同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为，长度分别为m、n，那么就写成，那么就写成 (2)前项、后项前项、后项： a叫比的叫比的前项前项，b叫比的叫比的后项后项. 前后项交换，比值要交换前后项交换，比值要交换. (3)比例尺比例尺： 一只蜗牛在一只蜗牛在1分钟里爬过了分钟里爬过了250m，怎么会这样呢，因为它是在地，怎么会这样呢，因为它是在地图上爬的，其实只爬了图上爬的，其实只爬了5cm而已。求比例尺而已。求比例尺 比例尺为比例尺为1：5000.ama:bm:n .bn=或 51.250

2、005000=如 则 a3b2 .b2a3=，2 2 四条线段成比例：四条线段成比例： (1) 定义定义： 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段成比例线段. 如如 a=9cm, b=6cm, c=6cm, d=4cm. 则则a, b, c, d叫作成比例线段叫作成比例线段. (2)名称名称： 在比例线段在比例线段a : b=c : d中，中，a、d叫作比例的叫作比例的外项外项，b、c叫比例的叫比例的内项内项, d叫叫第四比例项第四比例项. 若比例内项相同，即若比例内项相同，

3、即a : b=b : d，则，则b叫叫a、d的的比例比例中项中项.a3c3ac, , .b2d2bd=Q一、一、What is it3 3 比例的性质：比例的性质： (1) 比例的基本性质比例的基本性质： a : b=c : d ad=bc. a : b=b : c b2=ac. (2)合比性质、分比性质合比性质、分比性质： 合分比定理合分比定理： 如 则 类似地还有 aca+bc+dabcd . . bdbdbd-=，如果 ，则 dcba(0,0,0,0)a bc dbda bc da bc d 一、一、What is it(3) 等比性质：等比性质：如 则 acma+c+mab dn0 .

4、bdnb+d+nb=LLLL=( + +) ,推广：推广：如果 ，kbabababann332211则kbabmbmbmbmamamamamslrqpslrqp11321321其中，m不全为0， 、 、 、 、 从 到 中任取paqarasa1anaqie，不过是个纸老虎，不过是个纸老虎一、一、What is it(4)黄金分割黄金分割：点点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC,如果如果 ,那么称那么称线段线段AB被点被点C黄金分割黄金分割，点，点C叫做线段叫做线段AB的的黄金分割点，黄金分割点，AC与与AB的比叫的比叫黄金比黄金比。其值为其值为 ，近似为，近似为0.618A

5、CBCABAC215 一条线段有两个黄金分割点一条线段有两个黄金分割点一、一、What is itC CA AB B黄金比例何谓其黄金比例何谓其“黄金黄金” 据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，他发现铁匠打铁节奏很铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。开普勒称其为开普勒称其为“神圣分割神圣分割”也有人称其为也有人称其为“金法金法”。 计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波计

6、算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，第二位起相邻两数之比，第二位起相邻两数之比， 一个很能说明问题的例子是五角星。五角星一个很能说明问题的例子是五角星。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。是符合黄金分割比的。 黄金比例何谓其黄金比例何谓其“黄金黄金”多么美丽的图形啊！多么美丽的图形啊！虽然完全无法理解虽然完

7、全无法理解黄金比例何谓其黄金比例何谓其“黄金黄金”但这就是人们的审美方式但这就是人们的审美方式 这个数字在自然界和人们生活中到处可见：它在这个数字在自然界和人们生活中到处可见：它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的比造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的比例设计中，采用这一比值能够引起人们的美感。例设计中，采用这一比值能够引起人们的美感。 建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618

8、有关的数据。有关的数据。 就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。的规律排列着的。 在很多科学实验中，选取方案常用一种在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的配方和合适的工艺条件。找到合理的配方和合适的工艺条件。 在艺术创作中，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在在艺术创作中，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的画面的0.

9、618处。黄金矩形的长宽之比为黄金分割率。黄金分割率处。黄金矩形的长宽之比为黄金分割率。黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，和黄金矩形能够给画面带来美感， 蒙娜丽莎蒙娜丽莎中蒙娜丽莎的脸中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，也符合黄金矩形，最后的晚餐最后的晚餐同样也应用了该比例布局。艺同样也应用了该比例布局。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和处，能使琴声更加柔和甜美。甜美。黄金比例何谓其黄金比例何谓其“黄金黄金” 黄金分割与人的关系相当密切。地球表面的纬黄金分割与人的关系相当密切。地球表面的纬度范围是度范围是090，对其进行黄金分割，则

10、，对其进行黄金分割，则34.3855.62正是地球的黄金地带。无论从平正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。 人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一统一，只有整体的和谐、比例协调，才能

11、称得上一种完整的美。种完整的美。人体有人体有14个黄金点，你知道在哪里么？个黄金点，你知道在哪里么？黄金比例何谓其黄金比例何谓其“黄金黄金” 一个健壮中年男子，两一个健壮中年男子，两臂微斜上举，两腿叉开，以臂微斜上举，两腿叉开，以他的头、足和手指各为端点，他的头、足和手指各为端点，正好外接一个圆形。同时在正好外接一个圆形。同时在画中清楚可见叠着另一幅图画中清楚可见叠着另一幅图像：男子两臂平伸站立，以像：男子两臂平伸站立，以他的头、足和手指各为端点，他的头、足和手指各为端点，正好外接一个正方形。这就正好外接一个正方形。这就是名画是名画维特鲁威人维特鲁威人，出，出自文艺复兴艺术巨匠达芬奇自文艺复兴

12、艺术巨匠达芬奇之手。之手。 从图中看到从图中看到 从人体中能找从人体中能找到三角形、四边形、五边到三角形、四边形、五边形、等边三角形、圆形形、等边三角形、圆形 “永远吃不完永远吃不完”的巧克力的巧克力 一块成黄金比例的巧克力经过多次黄金分割和一块成黄金比例的巧克力经过多次黄金分割和位移得到一个等比例的黄金比例图形。这块小的巧位移得到一个等比例的黄金比例图形。这块小的巧克力再进行分割，无穷无尽啊。克力再进行分割，无穷无尽啊。 咋会这样？障眼法么？咋会这样？障眼法么？如何用尺规作出黄金分割点：如何用尺规作出黄金分割点：（1）作出线段）作出线段BA的中点的中点C（2）过）过A作线段作线段BA的垂线，

13、在垂线上截取线段的垂线，在垂线上截取线段AD，使使AD=AC（3）联结）联结BD，在，在BD上截取上截取DE=DA，在线段，在线段AB上上截取截取BF=BE，则点，则点F为线段为线段BA的黄金分割点的黄金分割点 一、一、What is itFBA黄金三角形黄金三角形什么是黄金三角形？什么是黄金三角形？所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比度比为黄金比 证明：角平分线定理证明：角平分线定理？一、一、What is it二、平行线分线段成比例定理二、平行线分线段成比例定理1 1 平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理： 三条平行

14、线截两条直线，所得的对应线段成比例三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. l1l2l3.ABDEBCEFABDEACDFBCEFACDF=l1l2l3ABCDEFmnABBCDEEF=证明？证明？二、平行线分线段成比例定理二、平行线分线段成比例定理1 1 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理： 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例.2 2 三角形一边的平行线的判定定理：三角形一边的平行线的判定定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段如果

15、一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.3 3 预备定理：预备定理： 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例形的三边与原三角形三边对应成比例. ADDEAE DE /BC, .ABBCAC=若若 则则l3l2l1nmEDCBAl3l2l1nmEDCBA123ADAE/, , BDECQL L=lllCBAED证明？证明？F中位线定理中位线定理三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形

16、中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。做三角形的中位线。梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。并且等于它的一半。梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。等于两底和的一半。反之亦得反之亦得梅涅劳斯定理（梅氏定理）梅涅劳斯定理（梅氏定理）当直线交当直线交 三边所在直线三边所在直线 于点于点 时，时，GFG 拓展拓展1角平分线定理角平分线定

17、理三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例个角的两邻边对应成比例 拓展拓展2在在ABC中，中，BD平分平分ABC，则则AD：DC=AB：BC 反之亦得反之亦得E证明：作证明：作DEBC交交AB于于E，则，则AB：BC=AE：ED又又DBC=DBE， DEBC， EDB=DBC=DBEBE=ED AE：ED=AE：BE=AD：DCAB：BC=AD：DC 拓展拓展2角平分线定理角平分线定理三角形的外角平分线定理：三角形的外角平分线外三角形的外角平分线定理：三角形的外角平分线外分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。分对边所成的

18、两条线段和相邻两边对应成比例。 ABC中，中，BAC的外角平的外角平分线交分线交BC的延长线于点的延长线于点 D，则则BDCD=ABAC。 Lets practise.例例1. 已知线段已知线段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm. (1) 线段线段a、b、c、d是否是成比例的线段？是否是成比例的线段？解：解： a、b、c、d不是成比例的线段不是成比例的线段. (2) 经过重新排列后，以上四条线段能否是成比例的线段？经过重新排列后，以上四条线段能否是成比例的线段？解：解：1210=120, 158=120, ab=cd. a、c、d、b或或a、d、c、b是成比例的线段是成比例的线

19、段.68ac. .515bdQa126c8, .b105d15=Qadac.cbdb=或例例2： (2) 已知已知578abc,且且329abc,则则243abc的值是的值是_14逢比设逢比设kLets practise.三、例题和练习：三、例题和练习：例例1.如图，若如图，若EFAB, DEAC, 以下比例正确的有（以下比例正确的有（ ）个）个. A. 1个个. B. 2个个. C. 3个个. D. 4个个.ADBFAEDE(1) = (2) = BDCFECFCBCABBCAC(3) = (4) = DEADDEECEDCBAFC例例2. 已知：如图梯形已知：如图梯形ABCD中，中，ADB

20、C, AC、BD相交于相交于O. 过过O作作AD的平行线的平行线 交交AB于于M，交，交CD于于N. 求证：求证：MO=ON.证明：证明：ADBC, MNAD. MNBC. 在在ABC中，中， MOBC. 在在DBC中，中， ONBC. 即即MO=ON.MOAO.BCAC=NODO.BCDB=AODOMONO. .ACDBBCBC=Q又ABCDNMO三、例题和练习：三、例题和练习：例例3. 已知，如图，在已知，如图，在OCE中，中，BDCE, ADBE. 求证：求证：OB是是OA和和OC的比例中项的比例中项.证明证明: 在在OCE中，中， BDCE. 在在OBE中，中， ADBE. 即即OB2

21、=OAOC. OB是是OA和和OC的比例中项的比例中项.OBOA.OCOB=OBOD.OCOE=OAOD.OBOE=ABCDEO三、例题和练习：三、例题和练习：例例4、如图，为了求出海岛上的山峰如图，为了求出海岛上的山峰ABAB的高度，在的高度，在D D和和F F处树立标杆处树立标杆DCDC和和FEFE，标，标杆的高都是杆的高都是3 3丈，相隔丈，相隔10001000步，并且步，并且ABAB、CDCD和和EFEF在同一平面内，从标杆在同一平面内，从标杆DCDC退后退后123123步的步的G G处，可看到山峰处，可看到山峰A A和标杆顶端和标杆顶端C C在一直线上，从标杆在一直线上，从标杆FEF

22、E退后退后127127步的步的H H处，可看到山峰处，可看到山峰A A和标杆顶端和标杆顶端E E在一直线上求山峰的高度在一直线上求山峰的高度ABAB及它和标杆及它和标杆CDCD的的水平距离水平距离BDBD各是多少？各是多少？解：解： BD=30750步步AB=753丈丈DGBGCDAB步步丈1231233BDABFHBHEFAB步步步丈12712710003BDAB步步步步1271127123123BDBD三、例题和练习：三、例题和练习：例例5. 已知：如图已知：如图ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上两点，上两点，DE、BC的延长线相交于的延长线相交于F. AD=CF. 求证：求证：

23、证明：作证明：作DNBC交交AC于于N. 则则 AD=CF. 在在ABC中，中， DNBC.DEDN.EFCF=DEDN.EFAD=BCDE=.ABEFBCDN.ABAD=BCDE.ABEF=ABCDEFN三、例题和练习：三、例题和练习：例例5. 已知：如图已知：如图ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上两点，上两点，DE、BC的延长线相交于的延长线相交于F. AD=CF. 求证：求证： 另解：直线另解：直线DEF截截ABC AD=CF BCDE=.ABEFABCDEF1ADBACBFCEFDE1CBBAEFDEEFDEABBC五、练习题五、练习题1、如图已知如图已知 ，求证：，求证：

24、=BEABMEAMCEAC= BCCABCABMEAE证明：证明： 由合比性质可得由合比性质可得 两边同时加上两边同时加上1，等式依然成立，通分后，等式依然成立，通分后 即即BCACABEMAMCEBEACABEMMEAMBCBCACABMEAEBCCABCAB2、如图如图BD，CE是是ABC的中线，的中线，P，Q分别是分别是BD，CE的中点，则的中点，则PQ BC等于（等于（ ） A.1 3 B.1 4 C.1 5 D.1 6 五、练习题五、练习题解：解： 连结连结ED，连结，连结DQ并延长，交并延长，交BC于点于点F 由中位线定理，由中位线定理，ED BC 又又Q为为EC中点，中点，P为为

25、BD中点，中点， FC=ED= BC，PQ= BF= （BC-FC)= BC PQ：BC=1：4F211FCEDDFDQQCEQ21212141B五、练习题五、练习题3、在边长为在边长为8的正方形的正方形ABCD中，中，P为为AD上一点，且上一点，且AP5，BP的垂直平分线交的垂直平分线交AB、DC分别于分别于E，F，Q为垂足，试求为垂足，试求EQ：QF的值的值 G解：解： 延长延长BP、CD交于交于G ABCD是正方形是正方形 CGAB，AD=CD=AB=8 DP=3 又又EF垂直平分垂直平分BP，PQ=QB GQ=GP+PQ= PB+ PB= PB EQ：QF=PB：GP= PB： PB=5：1153PADPPBGP53211011101121五、练习题五、练习题4、在在ABC中，中，AC=2AB，A的平分线交的平分线交BC于于D，过过D分别作分别作AB、AC的平行线交的平行线交AC、AB于于F、E，FE和和CB的延长线交予的延长线交予G，求证，求证EF=FG。 证明：证明： 由由EDAC，及，及AD平分平分BAC，知，知 故故GF=2GE 因此因此EF=EG