多项式方法求特征值问题

1、43多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L 方法求多项式系数我们知道， 求 n 阶方阵 A 的特征值就 是求代数方程( ) |A I| 0(4.3.1) 的根。称为 A 的特征多项式。上式展开为n( ) p1 n 1 p2 n 2 pn(4.3.2)其中 p1,p2,.pn 为多项式的系数。从理论上讲， 求 A 的特征值可分为两 步：第一步 直接展开行列式 | A I | 求出 多项式；第二步 求代数方程 (x) 0的根， 即特 征值。对于低阶矩阵，这种方法是可行的。 但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方 法 是 不 适 用 的 。 这 里 我 们 介 绍 用 F-L ( Faddeev-L

2、everrier ) 方 法 求 特 征 方 程 (4.3.2)中多项式的系数。由于代数方程 求根问题在第 2 章中已经介绍，所以本节 中解决特征值问题的关键是确定矩阵 A 的特征多项式，所以称这种方法为多项式方 法求特征值问题。记矩阵A=(aij)nn的对角线兀素之和为trA an a 22 ann(4.3.3)利用递归的概念定义以下n个矩阵Bk(k1,2,., n):B1 A,B2A(B1Pil),B3A(B?P2I),BkA(BkPk il),Bn A(BnPn 1I),PiP2P3Pk;trBk kitrBn n4.3.4)可以证明,(4.3.4)式中的特征多项式的各系数。用()式求矩

3、阵 的特征多项式系数的方法称为F-L方法。相应特征方程为：Pn12，,n,即是所求AtrB11trB 2 21trB 33n / nn 1n 2(1) (PlP2Pn) 0(4.3.5)为(4.3.6)而且可证矩阵A的逆矩阵可表示i i A(Bn 1 Pnil)Pn例1求矩阵3 24A2024 23的特征值与.解用F-L方法求得3 24B1 A 2024 23p1 trB161124B2A(B1P1I)28242111P2trB 2152800B3A(B2p2I )0800081 P3MB3 83所以A的特征方程为(1)3( 36 2158)0此方程的根，即特征值为18,1,12421171(

4、B2 p2I )P34841112421 1 1A1从例1中的计算结果可知B3 P3l.Faddeev曾经证明：对n阶矩阵A,按（4.3.4）式计算出的总有Bn PnI（437）4.3.2特征向量求法当矩阵A的特征向量确定以后，将这 些特征值逐个代入齐次线性程组（A I）X=0中,由于系数矩阵A I的秩小于矩阵A I的 阶数n,因此虽然有n个方程n个未知数, 但实际上是解有n个未知数的相互独立的 r个方程（rn）.当矩阵A的所有特征值互 不相同时，这样的问题中要解的齐次方程 组中有n-1个独立方程，其中含有n个特征 向量分量，因此特征向量分量中至少有一 个需要任意假设其值，才能求出其他特征 分

5、量.在计算机中解这样的齐次线性程组，可用高斯-若当消去法，以便把一组n个方 程简化为等价的一组n-1个方程的方程组. 然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线 性程组时，方程之间不都是独立的，在消去 过程中系数为零的情况较多必需交换方程中未知数的次序，以避免主元素位置上 为零的情况因此,为了提高精度和避免零 元素的可能性，我们总是用主元素措施把 绝对值最大的系数放于主元素位置例如，假设矩阵A为422A 5322 41其特征方程为4225322 4 1 =0展开后为(1)(2)(5)0故特征值分别为1，22，35下面求特征向量，将代入方程组(A I)x 0中， 得3x-| 2x2 2x305x1

6、2x2 2x302x1 4x2 0x30(438)以-5为主元素，交换上式第一与第二个方 程得5xi 2x2 2x303xi 2x2 2x302xi 4x2 OX30(4.3.9)用高斯-若当消去法消去-5所在列中的，并把主元素所在行调到最后，得0x1OxiXi164X2X3 05 5164X2X3?X2 ?X3 0555 5(4.3.10)再以185为主元素，消去它所在列中的，并 把主元素所在的行调到最后，得0x1 0x2 0x30X10x22X30x11x2x34(4.3.11)这就是用高斯若当消去法实现把一组三 个方程简化为等价的一组两个独立方程 的情形因为这个等价的方程组包含两个 独立

7、的方程，而有三个未知数，所以只要假 定其中一个值，则其它两个值就可以通过两个独立方程解出比如,令X3 1，则得到矩 阵A的对应于1 1的一个特征向量为12141对另外两个特征值的对应特征向量求法 与上述对1 1的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性 方程组的消去步骤是，用第3章讨论过的 高斯-若当消去法的公式方程组(439)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B为454525165 165(4.3.12)以矩阵为方程组(4.3.10)的系数矩阵，其中 省略了有0和1元素的第一列.在进行第二次消元之前，要应用完全 主元素措施对前两行进行最大主元素选 择，然后再进行必要的行或列交换.每完成 一

8、次消元过程，总省略只有0和1元素的第 一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k行中 的最大主元素，其中k是消元过程应用的 次数.对(4312)式再进行一次消元过程，则 得到列矩阵0B11214(4.3.13)此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列 般来说，最后矩阵列的数目等于矩阵a I的 阶数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数，两 个独立方程，所以计算机必须任意给定一 个未知数的值，以便可以从其他两个独立 方程中解出另外两个未知数.为方便，在计 算机决定特征向量时，要恰当地设定任意 选取的未知数的值例如，令X3 S由方程组 知道,其他两个分量的

9、值正好能从含的非 零系数项得出.为此,从计算机所存储的最 终矩阵中，令最上面的0元素为-1,并把它 顺次调到最下面第三行的位置上，就得到AA所求的特征向量(2, 4,1).在工程问题中，从特征方程所求出的 特征值，少数情形也有相同的.一般地，当一 个特征方程有k重根时，矩阵a i的秩可能 比其阶数少1,或2,或3,或k,当然对应于 的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3, 或k,下面通过一个特征值对应两 个线性无关特征向量的例子进一步说明 计算机求特征向量的方法.设矩阵A为3 24A 2024 23其特征方程为3242 2 0423展开后得(1)2( 8) 0所以特征值为1 2 1,

10、3 8 为了决定 1的特征向量，将1代入方程 组(A 1 )x=0，得424x1212x20424X3(4.3.14)应用一次高斯 -若当消去法 ,得0 0 0 x10 0 0 x2 01 1/2 1 x3(4.3.15)写成矩阵形式 ,(4.3.15)式的系数矩阵为00B 0 01/2 1(4.3.16)因为方程组 (4.3.15) 的系数矩阵的秩为 1, 它比矩阵阶数少 2,因此对应于 1有两个 线性无关的特征向量 ,必须给两个未知数 任意规定值 , 才能确定这两个线性无关的 特征向量 ,由()式可看出 ,一般总是选择 x2 1,x3 0求一个特征向量 ;选择 x2 0,x3 1求另 一个

11、特征向量 ; 这样有两个线性无关的特 征向量1/ 21100 ,1计算机中求两个线性无关的特征向 量的办法是 ,在(4.3.16)式的 B 中,把第一列 中第一个 0元素用 -1 代替 ,第二列中第二个 0 元素也用 -1 代替 ,然后把第一、第二行顺 次调到最下面一行的位置上，第三行自然 就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列 和第二列就是所求的两个线性无关的特 征向量。对应于 1的全部特征向量为 1/ 2 1 k1 1 k 2 0 01 其中与是任意常数，且不同时为零。为了说明列交换的必要性，避免主元 素为零，再举一个例子，设矩阵 A 为 2 8 12 A144 0 0 1 其特征方程为(

12、2) ( 1) 0特征值为1 2, 2 0, 3 1对应于 2 的特征向量可由解下列方程组 而求得4 8 12 x11 2 4 x2 0 0 0 1 x3(4.3.17)用一次高斯 -若当消去法，得0 0 1 x10 0 1 x2 01 2 3 x3(4.3.18) 若不进行列交换，则下一个消元过程只能 在第一行的第二个元素与第二行的第二 个元素中找最大主元素，而它们都是零， 我们不得不对 (4.3.17)式进行列交换， 即交 换未知数之间的次序，之后再进行消去过 程.对 (4.3.17)式进行列交换， 即把绝对值 最大系数放在主元素位置，显然是第一列 与第三列的交换，交换后成为12 8 4 x34 2 1 x2 01 0 0 x1(4.3.19) 其中未知数列矩阵中与也进行了交换，这 样才能保证 (4.3.17)式与式等价， 对式进行 一次高斯 -若当消去法，得0 2/3 1/ 3 x30 2/ 3 1/3 x2 01 2/ 3 1/3 x1(4.3.20) 再进行一次消去过程，得0 0 0 x31 0 0 x2 00 1 1/ 2 x1(4.3.21) 在计算机中计算，剩下一个最终的列