二项分布及其应用

1、.二项分布及其应用条件概率一、条件概率的定义与性质如果事件 A 发生与否，会影响到事件B 的发生，在知道事件A 发生的条件下去研究事件B 时，基本事件空间发生了变化，从而 B 发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。1. 定义：一般地，设A、 B 为两个事件，且P( A) 0，称 P( B| A) 为在事件 A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，一般把 ( |) 读作A发生的条件下B的概率P B A2. 性质：（ 1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和 1之间，即（ 2）如果 B 和 C是两个互斥事件，则P( BC| A) 二、典型例题1、利用定义求条件概率例 1：

2、抛掷两颗均匀的骰子，问（ 1）至少有一颗是6 点的概率是多少？（ 2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6 点的概率是多少？例 2: 抛掷红蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3 或 6”，事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于8”。（ 1）求 P(A),P(B),P(AB);(2) 在已知蓝色骰子的点数为3 或 6 时，求两颗骰子的点数之和大于8 的概率。2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例 1：一个口袋内装有4 个白球和2 个黑球，若不放回地抽取3 次，每次抽一个小球，求（ 1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。（ 2）第一次和第二次均是白球的情

3、况下，第三次是白球的概率。.例 2：设 10 件产品中有4 件次品，从中任取2 件，那么（ 1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。（ 2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。3、条件概率的性质及应用例 1：在某次考试中，要从20 道中随机地抽出6 道题，若考试至少答对其中4 道即可通过；若至少答对其中5 道就获得优秀，已知某生能答对其中10 道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。例 2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A= 赵家得到6 张梅花 ，B=孙家得到3 张梅花 （ 1）求 P(B|A

4、)(2) 求 P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6 件合格产品和4 件次品，不放回地任取两次，每次取一件。若已知第一件是合格品的情况下，求第二件也是合格品的概率。.事件的相互独立性一、相互独立事件的定义如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的概率，或事件B 的发生不会影响事件A 发生的概率，那么事件A 与事件 B相互独立。设 A，B 为两个事件，如果，则称事件 A与事件 B 相互独立；如果事件A 与 B 相互独立，那么A 与B ，A与B，A与B注意区分互斥事件与相互独立事件二、典型例题1. 相

5、互独立事件的判断例 1： 判断下列各对事件是否是相互独立事件：（ 1）甲组 3 名男生， 2 名女生；乙组 2 名男生、 3 名女生，今从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”；（ 2）容器内盛有5 个白乒乓球和3 个黄乒乓球， “从 8 个球中任意取出1 个，取出的是白球”与“从剩下的7 个球中任意取出 1 个，取出的还是白球” ；（ 3）一筐内有 6 个苹果和 3 个梨，“从中任意取出 1 个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回到筐内，再从筐内任意取出 1 个，取出的是梨” 。例 2：下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立

6、吗？抛掷一枚骰子，事件 A=“出现 1 点”，事件 B=“出现 2 点”；先后抛掷两枚均匀硬币，事件A=“第一枚出现正面” ，事件 B=“第二枚出现反面” ；在含有 2 红 1 绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件A=“第一次取到绿球” ，B“第二次取到绿球” 。2. 求相互独立事件的概率例 1：设事件 A 与 B 相互独立，两个事件中只有A 发生的概率与B 发生的概率都是1 ，求 P（ A），P（ B）。4例 2：某同学参加科普知识竞赛，需回答3 个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100 分、 100 分、200 分，答错或不答得0 分，假设这

7、名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8 、 0.7 、0.6 ，且各题答对与否相互之间没有影响。（ 1）求这名同学得300 分的概率；（ 2）求这名同学至少得300 分的概率；例 3：甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约. 设每人面试合格的概率都是0.5 ，且面试是否合格互不影响，求：（ 1）至少有1 人面试合格的概率； （ 2）签约人数X的分布列 .例 4：某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率4 ，乙当选的概率为3 ，丙当选的概率为7 .5510（ 1）求恰有一名同学当

8、选的概率；（ 2）求至多有两人当选的概率.3. 综合题型例 1：甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1 和 1 ，求：（ 1）两个人都译出密码的概率；34（ 2）两个人都译不出密码的概率； （ 3）恰有一个人译出密码的概率；（ 4）至多有一个人译出密码的概率； （ 5）至少有一个人译出密码的概率 .例 2：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率为0.6 ，计算：（ 1）两人都投中的概率； （ 2）至少有一人投中的概率.4. 多个事件的相互独立性例 1：甲、乙、丙三人各自向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4 、 0.5 、 0.8 ，如果只有一人击

9、中，则飞机被击落的概率是0.2 ；如果有两人击中，则飞机被击落的概率是0.6 ；如果三人都击中，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。（三）课堂练习1、 两人打靶， 甲击中的概率为0.8 。，乙击中的概率为0.7 ，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是（）A. 0.562、 若 P(A B)=0，则事件A 与 B 的关系是（）A. 互斥事件B. A、 B 中至少有一个为不可能事件C.互斥事件或至少有一个是不可能事件D.以上都不对3、国庆节放假，甲、乙、丙外出旅游的概率分别是1 、 1 、 1 ，假设三人的行动互不影响，那么这段时间至少有1345人外出旅游的概率为（）A.59B.3C.1D

10、.16052604、 将一个硬币连掷5 次， 5 次出现正面的概率是;5、 已知 A、 B 是相互独立事件，且P（ A）= 1 ， P(B)=2 ，则 P( A B )_;P( A B )_236、分别掷甲、乙两枚均匀的硬币，令A= 硬币甲出现正面 ， B=硬币乙出现正面. 验证事件A、 B 是相互独立的。.独立重复试验与二项分布一、独立重复试验与二项分布的定义1. 独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为 n 次独立重复试验，即若用A ( i 1,2 ， n) 表示第 i 次试验i的结果，则 P( A1A2 An) 2. 二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数

11、为X，在每次试验中事件A 发生的概率为p，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( ) (k 0,1,2 ，n) P X k此时称随机变量 X 服从二项分布，记作，并称 p 为成功概率二、典型例题1、独立重复试验概率的求法例 1: 某人连续射击5 次，每次中靶的概率均是0.9 ，求他至少两次中靶的概率。例 2：病人服用某药品被治愈的概率为0.9 求服用这种药的10 位患有这种病的患者中至少有7 人被治愈的概率。例 3：某人参加一次考试，若5 道题中解对4 道则为及格，已知他解对每道题的正确率为0.6 ，求他及格的概率2、求随机变量的二项分布列例 1：一名学生骑车上学，从家到学校途中有6 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率都是1 ，设 X 为该生在3途中遇到的红灯次数，求X 的分布列。.3、利用二项分布求概率例 1：有 10 台都为 7.5 千瓦的机床，如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12 分钟，问全部机床用电超过48 千瓦的可能性有多大？（三）课堂练习1.