积分变换第2讲

1、1第九章第九章 Laplace变换变换Fourier变换的两个限制：变换的两个限制： .,)()(给给应应用用带带来来不不方方便便为为非非常常义义下下的的广广义义函函数数变变换换或或者者不不存存在在，或或者者许许多多简简单单函函数数的的，上上绝绝对对可可积积的的条条件件太太强强在在要要求求时时无无意意义义；在在实实际际应应用用中中的的时时间间函函数数Fourier201tfttf21 Laplace变换的概念变换的概念 )(,)(指数衰减函数指数衰减函数设设000tettt tftifttftlim,0 .limtdtftthentfett0那么的傅氏积分总是存在的那么的傅氏积分总是存在的 t

2、tf sFdtetfisdtetfdtettfttft stiti00)()()()()()()(F3tf (t)Otf (t)(t)O41. 定义：定义：称为原像函数称为原像函数称为像函数，称为像函数，逆变换，记为逆变换，记为的的称为称为变换，记为变换，记为的的域内收敛，则称其为域内收敛，则称其为平面的某一区平面的某一区在在值函数，若对参数值函数，若对参数或复或复上的实上的实是是设设)()()()()()()()()()()()(,)(),)(tfsFsFtfsFtfdtetfsFtftfsdtetfsFistfstst100LaplaceLaplace0LL5例例1 求单位阶跃函数求单位阶

3、跃函数00( )10tu tt的拉氏变换.0 ( )edstu ttL根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有这个积分在这个积分在Re(s)0时收敛时收敛, 而且有而且有011ede0ststtss 1 ( )(Re( )0).u tss所以 L )(Res6例例2 求指数函数求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换的拉氏变换(k为实数为实数).()00 ( )e ededktsts k tf tttL()()0011edes k ts k ttsksk 这个积分在这个积分在Re(s)k时收敛时收敛, 而且有而且有其实其实k为复数时上式也成立为复数时上式也成立, 只是收敛区间为只是收敛

4、区间为 Re(s)Re(k)1e (Re( ).ktsksk所以 L根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义, 有有k72.拉氏变换的存在定理拉氏变换的存在定理 若函数若函数f (t)满足满足:(1) 在在t 0的任一有限区间上分段连续的任一有限区间上分段连续;(2) 当当t时时, f (t)的增长速度不超过某一指数函的增长速度不超过某一指数函数数, 即存在常数即存在常数 M 0及及c 0, 使得使得|f (t)| M e ct, 0 t c上一定存在上一定存在, 并且在并且在Re(s) c的的半平面内半平面内, F(s)为解析函数为解析函数.8MMectf (t)tO9说明：说明：(只证明积分的

5、绝对收敛性只证明积分的绝对收敛性) 由条件由条件2可知可知, 对于任何对于任何t值值(0 t0 (即即 c+e e = c1c), 则则 | f (t)e st| Me e e t.00( )eded.sttMf ttMtee所以所以注注1:大部分常用函数的大部分常用函数的Laplace变换都存在变换都存在(常义常义);注注2：存在定理的条件是充分但非必要条件：存在定理的条件是充分但非必要条件. . 102 Laplace变换的性质与计算变换的性质与计算 1 1221122111221 1221.( )( ) (1,2),( )( )( )( ),( )( )( )( )iif tF sia

6、f ta f ta F sa F sbF sb F sb f tb f t线性性：则LLL 本讲介绍拉氏变换的几个性质本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见为方便起见, 假假定在这些性质中定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数并且把这些函数的增长指数都统一地取为的增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重在证明性质时不再重述这些条件述这些条件.11例例3 求求 f (t)=sinkt (k为实数为实数) 的拉氏

7、变换的拉氏变换0jj0(j )(j )0022sinsined1(ee)ed2jjeded2j112jjstktktstsk tsk tktktttttkskskskL22sinkktskL同理可得同理可得22cossktskL122.微分性质微分性质:( )( ) Re,( )( )(0)Ref tF sscf tsF sfsc则LL 此性质可以使我们有可能将此性质可以使我们有可能将f (t)的微分方程的微分方程转化为转化为F(s)的代数方程的代数方程.特别当特别当 时，有时，有 10000nfff nnfts F sL( )12(1)( )( )(0)(0)(0)1,2,Rennnnnft

8、s F ssfsffnsc L13例例4 求求 的拉氏变换（的拉氏变换（m为正整数）。为正整数）。 mf tt 10000,!mmfffftm由于而 ()1! ;mftmmu tmsLLL一一方方面面 mtsmmL fL t另另一一方方面面；111!(Re0).mmsmmsssmmL tL t141( )( )( )()( )( )( 1)( )nnnnnFstf tt f tFs LL11( )( )Re( )( )( )( )F stf tscF stf tF sf tt LLL象函数的微分性质象函数的微分性质:3222222 326cos1cos( )()ssk stktktssksk

9、2LL例例5 求求 (k为实数为实数) 的拉氏变换的拉氏变换. 2cosf ttkt153. 积分性质积分性质:0( )( )Re,( )( )Remax(0, )tf tF sscF sf t dtscs则LL0001dd( )d( )tttnttf ttF ssn 次L例例6 求求 的拉氏变换的拉氏变换. 0costf ttdt220111coscos11tstdttss ssLL16象函数积分性质象函数积分性质: 则则( )( )f tF sL0000( )d( )ed d( )ed d1( )ed( )( )edtsststsstF ssf ttf ttf tttf tf tttt L

10、( )( )d .sf tF sstL( ),dd( )dnsssnf tssF sst次一般地 有L17221sh ,1sh1d111111dln2112111ln.21ssstststssssssss因由积分性质:LL例例7 求函数求函数sh( )tf tt的拉氏变换的拉氏变换.18 4.()( )( )0,0 ,f tF stf t平移性 延迟性 ：则L 函数函数f (t t t)与与f (t)相比相比, f (t)从从t = 0开始有非零数值开始有非零数值.而而 f (t t t)是从是从t =t t 开始才有非零数值开始才有非零数值. 即延迟了一即延迟了一个时间个时间t t. 从它的

11、图象讲从它的图象讲, f (t t t)是由是由f (t)沿沿 t 轴向右轴向右平移平移t t 而得而得, 其拉氏变换也多一个因子其拉氏变换也多一个因子e st t.Ottf(t)f(tt)()( )( )Ressf tef teF ssctttLL191 ( ),1 ()su tsu testt已知根据延迟性质LL例例8 求函数求函数ttttttu10)(的拉氏变换的拉氏变换.1u(t t t)t ttO205.( )( ) Re,f tF ssc位移性：则L2222sin,e sin()atkktskkktsak已知由位移性质得LL例例9 求求 的拉氏变换的拉氏变换. sintf tekt

12、 1()Re()()ttef tF sscF sef t LL213 Laplace逆变换逆变换 前面主要讨论了由已知函数前面主要讨论了由已知函数f (t)求它的象数求它的象数F(s), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问题但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数即已知象函数F(s)求它的象原函数求它的象原函数 f (t). 本节就来本节就来解决这个问题解决这个问题. 由拉氏变换的概念可知由拉氏变换的概念可知, 函数函数 f (t)的拉氏变换的拉氏变换, 实际上就是实际上就是 f (t)(t) 的傅氏变换的傅氏变换. sFdtetfisdtetfdtettfttft stiti00)

13、()()()()()()(F22因此因此, 按傅氏积分公式按傅氏积分公式, 在在f (t)的连续点就有的连续点就有等式两边同乘以等式两边同乘以e t, 则则 02121210tdejFdedefdedefetfttftjtjjtjjtttttttt)()()()()()(,)()()(021tdejFtftj23(j)jj1( )(j )ed,021j,1( )( )e d ,0.2jstf tFts djf tF ss t 令ds,有 积分路线中的实部积分路线中的实部 有一些随意有一些随意, 但必须满足但必须满足的条件就是的条件就是e tf (t)u(t)的的0到正无穷的积分必须收敛到正无穷

14、的积分必须收敛. 计算复变函数的积分通常比较困难计算复变函数的积分通常比较困难, 但是可以用留但是可以用留数方法计算数方法计算.右端的积分称为拉氏反演积分右端的积分称为拉氏反演积分.24 nkkstjjstsnsesFsdesFtsFssssF11s2100,)(Re,)(lim)Re(,)(时时有有则则，且且左左侧侧均均在在点点在在全全平平面面只只有有有有限限个个奇奇定定理理：若若RO实轴实轴虚轴虚轴LCR+jRjR为奇点为奇点解析解析2521( ).(1)F ss s例1 求的逆变换0,1,ss为一阶极点为二阶极点 21021( )Re,0Re,11d1elime(1)d11limee1(

15、 ee )1e (1)(0).ststststssstststttf ts F s es F s ess stssttt 2621( ).(1)F sss例2 求的逆变换221111( )(1)1F ssssss121( )(1)f tss所以L1 e(0).ttt -1-1-121-11= LLLsss+1274 卷积卷积 1. 卷积的概念：两个函数的卷积是指卷积的概念：两个函数的卷积是指1212( )( )( )()df tf tff tttt如果如果f1(t)与与f2(t)都满足条件都满足条件: 当当t0时时, f1(t)=f2(t)=0, 则上式可以写成：则上式可以写成：0121212

16、120120( )( )( )()d( )()d( )()d( )()d .tttf tf tff tff tff tff ttttttttttttt28()0000002:eedeed1eedeeede1eee1e(e1)1(e1)ttata tataattttataaaattataatatatattaataataataattttttttttttt 例1分部积分公式分部积分公式29卷积定理：卷积定理： 121122( ),( )Laplacef tf tf tFftF设满足变换存在定理条件，且s ,s ,LL 12121211212( )( )( )( ).f tftf tftF sF sF

17、 sF sf tft则或：LLLL注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积.30例例2 1221( ),( )(1)F sF sss求L11122111( )sin1F sttss 解法 ：LLL1112200000112( )sin1sin()cos()cos()cos()sin()sintttttF sttsstddtttdtttttttttttttttttt 解法 ：LLL分部积分公式分部积分公式31例例31221( ),( ) .(25)F sF sss求L22 21122221112222()01( ),(1)2 1121sin2(1)222211( )(

18、1)2(1)2111sin2sin2(sin2 )(sin2()2241(cos(42 )cos2 )8tttttttF sseetssF ssseteteetdettttttttLLLLL01sin22 cos2 .16ttdetttt积化和差积化和差325 Laplace变换的应用变换的应用 对一个系统进行分析和研究对一个系统进行分析和研究, 首先要知道该系首先要知道该系统的数学模型统的数学模型, 也就是要建立该系统特性的数学表也就是要建立该系统特性的数学表达式达式. 所谓线性系统所谓线性系统, 在许多场合在许多场合, 它的数学模型可它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述以用一个线性微分

19、方程来描述, 或者说是满足叠加或者说是满足叠加原理的一类系统原理的一类系统. 这一类系统无论是在电路理论还这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中是在自动控制理论的研究中, 都占有很重要的地位都占有很重要的地位. 本节将应用拉氏变换来解线性微分方程本节将应用拉氏变换来解线性微分方程.33微分方程的拉氏变换解法微分方程的拉氏变换解法首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程数方程, 解代数方程求出象函数解代数方程求出象函数, 再取逆变换再取逆变换得最后的解得最后的解. 如下图所示如下图所示.象原函数象原函数(微分方程的解微分方程的解)象函数象函数微分方程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程取拉氏逆变换取拉氏逆变换取拉氏变换取拉氏变换解代数解代数方程方程34例例1 求解求解 。 0)0()0(cos2)(2)(2)(x