平面向量典型例题

1、平面向量经典例题：1. 已知向量a= (1,2), b= (2,0)，若向量 七+ b与向量c = (1,- 2)共线，则实数 入等于()2 1- -A2 _3-D答案C解析 七 + b=(入 2 + (2,0) = (2+入 2 乩 t 忌+ b 与 c 共线，二一2(2 + 为一2 冶 0,.1.2. (文)已知向量 a = 0.3, 1), b = (0,1), c= (k, .3)，若 a+ 2b 与 c 垂直，则 k =()A 1B. .3C. 3D . 1答案C解析a+ 2b= 0.3, 1) + (0,2) = (.3, 3),/ a + 2b 与 c 垂直，(a + 2b) =

2、 3k + 3 3= 0,二 k = 3.(理)已知a = (1,2), b = (3 , 1),且a+ b与a 2b互相垂直，则实数 入的值为()B.11661111答案C解析a+ b = (4,1), a 2b= (1 3人 2+2,t a + b与a 2垂直，6(a + b) (a 2)= 4(1 3 + 1 X (2+2= 6 112= 0, 2= 113. 设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|, a+ b= c,则向量a、b间的夹角为()B. 120A. 150C. 60答案B解析如图，在?ABCD 中,t |a|= |b|= |c|, c= a +ABD 为正三角形,2

3、. 35= 6,等号在 x=, y= 1 时成立.8. 若A, B, C是直线I上不同的三个点，若 O不在I上，存在实数x使得xA + xOB + BC = 0,实数x 为()B. 0答案A解析x2OA + xOB + OC OB= 0,二x2OA + (x 1)OB + OC = 0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1 x x2= 1,二x= 0或一1,当x = 0时，BC =0，与条件矛盾，二x= 1.9.(文)已知P是边长为2的正 ABC边BC上的动点，贝U AP (AB + AC)()A .最大值为8B.最小值为2C .是定值6D . 与 P的位置有关答案C解析以BC的中点O为

4、原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B( 1,0) ,C(1,0), A(0, 3), AB + AC=(1, .3)+ (1,3)= (0, 2 3),设 P(x,0), 1x2|AB| |AC| = 4, v D 为 BC 边的中点,1111二 AD = $AB + AC)，二 AD |2= 4(AB|2 + AC|2 + 2AB AC) = 4(|ABf + AC 2 2)嘗(42)=g,10.如图，一直线EF与平行四边形 ABCD的两边AB, AD分4 别交于E、F两点，且交其对角线于 K,其中AE = 3AB, AF32aD , AK = 必，_则入的值为()11答案A解析如图，取

5、CD的三等分点 M、N, BC的中点Q,则EF- 1 -1/DG II BM /NQ，易知 AK = AC,二 匸5511.已知向量a= (2,3), b= (- 1,2),若ma + 4b与a- 2b共线，则 m的值为()B. 21a*2C. - 2D . - 1答案C解析ma + 4b= (2m- 4,3m + 8), a- 2b = (4,- 1),由条件知(2m-4) (- 1)-(3m + 8)x 4 = 0,. m= 2,故选 C.12.在厶 ABC 中，C= 90 且 CA= CB= 3,点 M 满足 BM =2mA，则 CM CB等于()A. 2B. 3C. 4D . 6答案B

6、解析z z z z zCM CB= (CA+ AM) CB- 1 - - 1 - =(CA + 3AB) CB= CA CB + 3AB CB3AB| |CB| COS45313. 在正三角形 ABC中，D是BC上的点，AB = 3, BD = 1,则AB AD =15答案7解析由条件知，AB|= |AC|= |BC| = 3, AB, AC= 60 ,A- - 2 AB, CB= 60, CD = -CB, 32 215二 AB AD = AB (AC+ CD)= AB AC + AB CB = 3X 3X cos60 十-X 3X 3 X cos60=.33214. 已知向量a= (3,4

7、), b= (-2,1), _则a在b方向上的投影等于 答案-甞解析a在b方向上的投影为晋诗=-芈15. 已知向量a与b的夹角为 守，且|a|= 1, |b|= 4,若(2a+/b)丄a,则实数入=答案1解析2 n “a, b= , |a|= 1,|b|= 4,二 a b = |a| |b| cos = 1 X4Xcos2n=- 2,v (2a +2b)3丄 a， a (2a + Q = 2|a|2 + 2a b = 2 2 A 0,二 A 1.16. 已知：|OA|= 1, |OB|=H, OA OB = 0,点 C 在/ AOB 内，且/ AOC = 30,设 OC = mOA + nOB

8、(m,+, mn R )，则-=答案3解析设 mOA = OF , nOB= OE,贝U OC = OF + OE,Fr 1AOC = 30，二 |OC| cos30 = |OF |= m|OA| = m,AJ|OC|sin30 = |OE|= n|OB|=/3n,LT(Efl两式相除得：盖=等=馬7m = 3.且OA =17. （文）设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量,-2i + j, OB= 4i +可，则厶OAB的面积等于答案5解析由条件知，i2= _ _ sinA + cosA=AB BC0 b = 3, 5 , j2= 1 , i =

9、0,二 OA OB = ( 2i +j) (4i + 3j)= 8+ 3= 5,又OA OB= |OA | |OB| cos = 5 5cos OA, OB，/ cos OA, OB罟sin=等,1 T TSaoab= 2OA| |OB|sinT T10.答案解析若A为锐角，则sinA + cosA1,1T TT T/ sinA + cosA = 5,二 A 为钝角，丁 AB BC0,“ B为锐角，由/B为锐角得不出 ABC为锐角三角形；由正弦定理爲=注得，晶詬=続sinC警，二C = 60或120, T c sinB=, 33230，及 A、B、C （0, n, A+ B+ C= n知 A、

10、B、C 均为锐角,ABC为锐角三角形.18. 已知平面向量 a= (1, x), b= (2x + 3, x).(1) 若 a 丄 b, 求 x 的值.(2) 若 a / b，求 |a b|.解析若a丄b,则 a b= (1, x) (2x + 3, x) = 1 X (2x + 3)+ x( -x)= 0,整理得x2 2x 3= 0,解得x = 1或x= 3.若 a/b，则有 1X ( x) x(2x + 3)= 0,_则 x(2x + 4)= 0,解得 x= 0 或 x= 2,当 x= 0 时，a= (1,0), b= (3,0),- |a b|= |(1,0) (3,0)| = |( 2

11、,0)| = 2 2+ 02= 2,当 x= 2 时，a= (1, 2), b= ( 1,2),- |a b|= |(1, 2) ( 1,2)= |(2, 4)|=. 22+ 4 2= 2 5.119. 已知向量 a= (sinx, 1), b= ( ,3cosx,)，函数 f(x) = (a + b) a2.(1) 求函数f(x)的最小正周期T;(2) 将函数f(x)的图象向左平移占上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的解析式及其对称中心坐标.解析(1)f(x) = (a+ b) a 2= a2+ a b 2 = sin2x + 1

12、+ . 3sinxcosx + g 21 cos2x 3_1 3_1_ n2 + 2sin2x 2 =2 sin2x 2cos2x= sin(2xg),二周期T =牛n.(2)向左平移n个单位得，y= sin2(x + n n= sin(2x +，横坐标伸长为原来的 3倍得， g(x)= sin(|x + n，令|x+ n= kn得对称中心为(3kn-n 0)，k Z.20. (文)三角形的三个内角 A、B、C所对边的长分别为 a、b、c,设向量m = (c a, b a), n= (a+ b, c), 若 m / n.(1) 求角B的大小；(2) 若sinA + sin C的取值范围.c a

13、 b a解析由m/ n知a+b =厂，即得b2= a2+ c2 ac,据余弦定理知cosB = *,得B =才(2)sinA + sinC= sinA + sin(A + B) = sinA + sin(A + 3)- B = n - A+ C=竽 A (0,务cosA33，、，3 sinA + sinC的取值范围为(三3,3.(理)在钝角三角形 ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，m = (2b c, cosC), n = (a, cosA), 且 m / n.(1)求角A的大小；n(2)求函数 y= 2sin2B + cos( - 2B)的值域.解析 由 m/ n 得(2b c

14、)cosA- acosC = 0,由正弦定理得 2sin BcosA sinCcosA sinAcosC = 0,/sin(A + C)= sinB,. 2sinBcosA sinB = 0,n / B、 A (0, n ) / sinB 工0,二 A = 3.1731n(2)y= 1 cos2B + cos2B + 2sin2B= 1 cos2B + 2sin2B= sin(2B 召)+ 1,当角B为钝角时，角C为锐角，贝Un2Bn0注Bn32B235 n n 7 nn 1113- 62b 66，sin(2B6) ( 2 2，二 y(2 2)-当角B为锐角时，角C为钝角，贝Un0b2n 2

15、nBn? 0Bn，,n 1 sin(2B 6) (-, y(2, |),综上，所求函数的值域为(2, I).21.设函数f(x)= a b，其中向量a= (2cosx,1),b= (cosx, . 3sin2x), x R.(1)若 f(x)= 1J3且 x n, n，求 x；n的值.(2)若函数y= 2sin2x的图象按向量c= (m, n)(|m|nj平移后得到函数y= f(x)的图象，求实数 m、解析(1)依题设，f(x) = 2cos2x + , 3sin2x=1 + 2sin(2x +由 1 + 2sin(2x + 6)= 1 .3,得 sin(2x + 6)=今,n，即xn4.n

16、nnn 5n nnx 3，n2x+n 5n，2x+ny= f(x)(2)函数y= 2sin2x的图象按向量 c= (m , n)平移后得到函数 y= 2sin2(x m)+ n的图象，即函数的图象由(1)得 f(x)= 2sin2(x + 窃十 1. t 耐0,二 9+ 4k2 9,-t 164综上所述，F2A F2B的取值范围是(4,詈.24.在平面直角坐标系内，已知两点A( 1,0)、B(1,0)，若将动点P(x, y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的(2倍后得到点Q(x,寸2y)，且满足AQ BQ= 1.(1)求动点P所在曲线C的方程；过点B作斜率为于的直线l交曲线C于M、N两点，且

17、OM + ON + OH= 0,又点H关于原点O的对称点为点G,试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理 由.解析设点P的坐标为(x, y),则点Q的坐标为(x,2y),依据题意得，AQ =(x + 1 ,2y), BQ= (x 1,、：._：2y).T TX2V AQ BQ= 1，二X2 1 + 2y2= 1.二动点P所在曲线C的方程是-+ y2= 1.因直线I过点B,且斜率为k = ，二I： y=今(X 1),x + y2= 1i y联立方程组，消去y得，ix2 ix 1 = 0.Vi“y= 2 x 1-1)-1)X1 + X2= 1 ,设 M(X1, yj、N(X2, y2),二1 二 y1 + y2=-X1