坐标系与参数方程知识总结,

1、欢迎阅读坐标系与参数方程【要点知识】一、坐标系1. 平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系xOy中的任意一点，在变换： 一 x(0)的作用下，点ly iy(P0)P(x, y)对应到点P(x,y )，我们把称为平面直角坐标系xOy中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.J2. 极坐标系(1) 极坐标系的概念如图所示，在平面内取一个定点 O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定 一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样我们就建立 了一个极坐标系.(2) 极坐标设点M是平面内一点，极点O与点M的距离叫做点M的极径，记为?;以极轴Ox为始

2、边， 射线0M为终边的 xOM叫做点M的极角，记为我们把有序数对(门)叫做点M的极坐标， 记为M (厂).(3) 极径、极角的取值范围一般地，极径-0，极角R.3. 极坐标与直角坐标之间的互化I I如图所示，设点M是平面内任意一点，记点M的直角坐标为(x,y)，极坐标为CJ).我们可 以得到极坐标与直角坐标之间如下关系：(i) 直角坐标化极坐标：x = cost， y = sin v ；(ii) 极坐标化直角坐标：=x2 y2，tany ( x=0).x【注】上面两类关系式是我们进行极坐标与直角坐标互化的重要关系式.解题时，大家要根据题意 灵活选用.4. 几个简单曲线的极坐标方程欢迎阅读欢迎阅

3、读(1) 圆的极坐标方程：圆心在 C(a,O) ( a 0)，半径为a的圆的极坐标方程为=2acosr ；(2) 直线的极坐标方程：经过极点，从极轴到直线的角是】的直线I的极坐标方程为和4445. 柱坐标系与球坐标系(1) 柱坐标系如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，设点P是空间中任意一点，它在Oxy平面上的射影为点Q，用(；-) ( r _0，0 :. 2二)表示点Q在Oxy平面上的极坐标，这时点P的位置可用有序I J数组(Az) ( z R)表示.我们把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系；相应地，把有序数组(Xz)叫做点P的柱坐标，记作P(,z)，其中匸_0，0：2二，乙R.【注】直

4、角坐标与柱坐标互化的变换公式：(2) 球坐标系如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz，设点P是空间中任意一点，连结0P，记OP訂，OP 与Oz轴正向所夹的角为:，设点P在Oxy平面上的射影为点Q，Ox轴按逆时针方向旋转到0Q时 所转过的正角为这样点P的位置就可以用有序数组(r,j)表示.我们把建立上述对应关系的-，-.I坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)；相应地，把有序数组(r, )叫做点P的球坐标，记作P(r,)，其中 r -0，0：八:-，0 小：2二.= r cos日 cos【注】直角坐标与球坐标互化的变换公式：*y=rcosBsinz= r sin 日I I二、参数方程1. 参数方程

5、的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点 P(x,y)都在这条曲线上，那么我 y =g(t)们就把方程组叫做这条曲线的参数方程，而把联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.2. 参数方程与普通方程之间的互化欢迎阅读曲线的参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同形式 .一般地，可以通过消去参数，由参数方程得到普通方程；反之，如果已知变数 X, y中的一个与参数t的关系，例如x= f(t)，则我们可以通过把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，由此得到的方程组 X二f(t)就ly =

6、 g(t)是该曲线的参数方程.【注】在解决参数方程与普通方程互化的问题时，必须要使X，y的取值范围保持一致.3. 几个简单曲线的参数方程x - r cos(1) 圆的参数方程：圆心在原点 0,半径为r的圆的参数方程为rcosy = r sin 日O为参数)；I Eh 十j I(2) 椭圆的参数方程：中心在原点 0,焦点在x轴上的椭圆的参数方程为xfcoa为片bsi n参数)；i 严:/ 丈 1 pa sec ”(3) 双曲线的参数方程：中心在原点O ,焦点在x轴上的双曲线的参数方程为-(ly = bta n为参数)，这里，sec是的正割函数，并且sec： 1 .;cos申抛物线的参数方程：以原点 O为顶点，以x轴为对称轴，开口向右的抛物线 y2=2px2p(不包括原点)的参数方程为(为参数)；X 2tan 2py -.ta(5)直线的参数方程：过点M0(x0,y。)，倾斜角为:(2)的直线l的参数方程为X =x0 +t cos。0( t为参数)；y = y0 tsin :f x r(cos - : s