可压缩气体的一元流动

1、第六章第六章 可压缩气体的一元流动可压缩气体的一元流动 重 点v可压缩气体的基本知识可压缩气体的基本知识v声速、马赫数声速、马赫数v一元定常气流的基本方程及特征一元定常气流的基本方程及特征v气体在变截面喷管中的流动。气体在变截面喷管中的流动。 可压缩气体运动规律可压缩气体运动规律及其工程应用工程应用 航空航天、汽车等，成为流体力学独立分支航空航天、汽车等，成为流体力学独立分支 1.1.过流断面上的平均值变化规律（非空间场）过流断面上的平均值变化规律（非空间场） 2.2.气动力学的基本内容，许多问题可以简化为气动力学的基本内容，许多问题可以简化为此类问题，发动机供气，汽轮机等。此类问题，发动机供

2、气，汽轮机等。0, const, VE 比定容热容和比定压热容比定容热容和比定压热容VpccVcpc定容比热容定压比热容两者的关系气体的状态方程气体的状态方程),(TVpp ),(TVEE ),(TVSS 热力学温度流体的内能熵SET热力学过程热力学过程等温过程 绝热过程 等熵过程 2112VVpp0dQkp常数 或者 kpv 常数 工程热力学（4）沈维道，P.1126.1 声速和马赫数声速和马赫数 当气流速度比较大时，必须考虑压缩性效应。气体压缩性对流动性能的影响，是用气流速度接近声速的程度来决定的，这就 涉 及 到 声 速 和 马 赫 数 两 个 概 念 。 6.1.1 声速 声速是微弱扰

3、动波在弹性介质中的传播速度v在移动前气体的质量为在移动前气体的质量为 v而移动后气体的质量为而移动后气体的质量为 v根据质量守恒可得根据质量守恒可得 v消去消去 ，得，得 (6.1.1) tAcdtAucd)d)(d(tAuctAcdd)d(d）（ tAddddcu动量变化和所受到的合外力冲量消去 得 (6.1.2) )0d(dddutActpAtAdcpudd cpcddd( +d )pp ApAdddcu)d1 (ddpcddpc 声速公式(弱扰动)：声速是反映流体压缩性大小的物理参数，声速是反映流体压缩性大小的物理参数，声速声速c c越小，流体的可压缩性越大。越小，流体的可压缩性越大。c

4、pcddd等熵过程条件 v完全气体的状态方程式kpcRTpk为绝热指数1ddkpkc1ddkppkck工程热力学（4）沈维道，P.112R为气体常数v (6.1.9) v (6.1.10) kRTkppcddsmTTc1 .202874 . 11.4k 空气空气KkgJR1 .287在式（6.1.9）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质适用于一切弹性连续介质。ddppkpRTddpc 6.1.2马赫数 v定义流场中某一点的速度与该点的当地声速之比为马赫数 v (6.1.11) cuMa 22uMakRT对于完全气体对于完全气体根据扰

5、动源速度根据扰动源速度u的大小分为四种情况的大小分为四种情况MaMa1 1 MaMa=1 =1 MaMa1 1 小于声速小于声速 等于声速等于声速大于声速大于声速 MaMa=0=0 扰动源不动扰动源不动 v（1 1）扰动源不动。）扰动源不动。v此时弱扰动沿各个方向以声速传播，其波面为同此时弱扰动沿各个方向以声速传播，其波面为同心圆球面。心圆球面。v（2 2）扰动源的速度小于声速，）扰动源的速度小于声速，ucuc，即，即Ma1Mac,uc,即即Ma1Ma1。v此时扰动源始终在波面前方，这时扰动与未扰动此时扰动源始终在波面前方，这时扰动与未扰动气体的分界面是一个圆锥面（亦称马赫锥），夹气体的分界面

6、是一个圆锥面（亦称马赫锥），夹角称为马赫角。角称为马赫角。 马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角，称为马赫角，用 表示。由上图可以容易地看出，马赫角 与马赫数 之间的关系为 MaMaVc1sin马赫角从90这时相当于扰动源以声速v=c流动的情况 开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由于圆锥顶就是扰动源，所以当物体以超声速运动时，它所引起的扰动不能传到物体的前面。马赫锥外面的气体不受扰动的影响，微弱扰动波的影响仅在马赫锥内部，即微弱扰动波不能向马赫锥外传播。超声速飞行的弹丸在附着于它头部的波未到达观察者的耳朵以前听不到声音的缘故。MaVc1sin马赫数划分气体的流动状态马赫数划分气

7、体的流动状态 MaMa1 1 MaMa=1 =1 MaMa1 1 亚声速流亚声速流 声速流声速流 超声速流超声速流 可压缩气体流动分类可压缩气体流动分类例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h（510m/s）飞行，空气温度t=15（288K），A点要过多长时间听到飞机声？解：340/ckRTm s5101.5340vMc8 .411arcsinMHctgvtlsctgctgvHt38. 48 .415102000vlHA6.2 可压缩气体一元流动的基本方程式 v气体流动时，若过流断面上各参数均匀分布，气体流动时，若过流断面上各参数均匀分布，其状态参数只是流程的函数，这种流

8、动称为其状态参数只是流程的函数，这种流动称为一元流动一元流动。气体沿管道、喷管或节流器的流。气体沿管道、喷管或节流器的流动等都可近似认为是一元流动。动等都可近似认为是一元流动。v下面来讨论下面来讨论一元定常流动一元定常流动的基本方程式。的基本方程式。 6.2.1 可压缩气体总流的连续性方程式 图图6.2.1可压缩性气体在流管内的定常流动可压缩性气体在流管内的定常流动 v (6.2.2) 222111AuAucuACAuuAlnlnln)ln(0dddAAuu1.连续性方程积分形式2.连续性方程微分形式6.2.2 可压缩性气体的能量方程式 v由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。对于理想气

9、体作定常流动，欧拉运动微分方程可写成v沿流线的积分方程为 xpxuuddddcup2d2zvvyvvxvvtvzpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111完全气体的等熵流动 v (6.2.4) cpk11dd1kkpkpcppkcupkk212cup2d2cupkk212ppkpkk111cpupk2112v定压比热： v定容比热： v于是有：Rkk1CpRk11CvvpCC RpvCkC工程热力学（4）沈维道，P.112ve在热力学中称为内能，在热力学中称为内能， h在热力学中称为焓在热力学中称为焓 v (6.2.7)

10、111()111pvvpvpRTCC TC TekkCChTCpkkpep122uhconst22PuC Tconst这就是等熵流动的能量方程Rkk1CpRk11Cv例题v例例6.2.1 设有空气从储气罐经一个变截面管道流出，如图6.2.2所示。今测得罐内空气的温度为40oC，又测得管道某处的温度为15 oC，求该处的气流速度u。（空气的等压比热Cp1003Nm/kgK） 解：解： 这类问题称为气体从大容器的出流问题。假定大容器这类问题称为气体从大容器的出流问题。假定大容器的气流速度为零。气体的出流可视为绝热过程，空气的等的气流速度为零。气体的出流可视为绝热过程，空气的等压比热压比热 ，容器内

11、温度为，容器内温度为 ，速度为零，由能量方程得速度为零，由能量方程得 Km/kgN1003pC0T2C20uTCTpp)(2u0TTCp)15273()40273(10032m/s94.22315oC6.3 一元气流的基本特性 v利用伯努利方程来讨论一元等熵流动特定的状态参数。 6.3.1 滞止状态和滞止参数 v 图6.3.1 气体的滞止状态 对滞止状态截面和任一截面列能量方程有：对滞止状态截面和任一截面列能量方程有：这时焓升到最大值，即总焓，温度达最大值，总温这时焓升到最大值，即总焓，温度达最大值，总温 v (6.3.1) v (6.3.2) 202uhhconst0001pkhRTC Tk

12、21120uRTkkRTkk220T111T22pukuC TkRT 22211)(211Makcuk20 2pPuC TC T又两边同除以CPT得：v (6.3.4) v (6.3.5) kkkkkTTppRTpRTppp)()()()()(00000012100)211 ()(kkkkMakTTpp1121100)211 ()(kkMakTT20112TkMaT 6.3.2 最大速度状态全部能量转化为动能，焓为零，速度达最大速度全部能量转化为动能，焓为零，速度达最大速度v (6.3.6) 022max1212RTkkuRTkku1212120000maxkckkRTpkku00max514

13、 . 12ccu6.3.3 临界状态和临界参数 v设想气体从滞止状态设想气体从滞止状态 开始，经过一管道开始，经过一管道逐渐加速流动，最后达到逐渐加速流动，最后达到 。 这中间必然有一流速恰好等于当地声速的截这中间必然有一流速恰好等于当地声速的截面，即面，即 ，这种状态就称为临界状态，对，这种状态就称为临界状态，对应的气流参数叫临界参数，临界参数用下标应的气流参数叫临界参数，临界参数用下标“*”表示。表示。00u maxuuc以临界参数表示的能量方程220*122(1)ppukC TC TCk20111TkMaTk 2101(1)1kkpkMapk12101(1)1kkMakkkkkkTTpp

14、RTpRTppp)()()()()(000000*021cck21*0kTT1*0)21(kkkpp11*0)21(kkmax021uck20111TkMaTk 2101(1)1kkpkMapk12101(1)1kkMak1Ma 220*122(1)ppukC TC TCkmax11kuk2.滞止参数（驻点参数）设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的参数称为滞止参数u0=0滞止点（驻点）00000,pT c h200121pkpukkk20121kukRTRTkk2220121ccukk202uhh性质：（1 1）在等熵流动中，滞止参数值不变；）在等熵流动中，滞止参数值不变；（2 2）在

15、等熵流动中，速度增大，参数值降低；）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；（3 3）气流中最大声速是滞止声速；）气流中最大声速是滞止声速；（4 4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为 内能，总能量不变内能，总能量不变T0，c0，h0不变，不变， p0，0，但，但p0/ 0=RT0不变。如有不变。如有 能量交换，吸收能量能量交换，吸收能量T0，放出能量，放出能量T000ckRT3.滞止参数与马赫数的关系220111122TkukMaTkRT 20121kukRTRTkk11200112kkkkpTkMapT1111200112kkTkMaT1122200112c

16、TkMacT由例：容器中的压缩气体经过一收缩喷嘴射出，出口绝对压力p=100kPa，t=-30，u=250m/s，求容器中压强和温度解：喷口处312.5/ckRTm s1.411.4 122011.4 11100 10.8152.422kkkppMakPap2500.8312.5uMac22011.4 11273 30 10.8274.11.122kTTMaKCtTpTp、004.气体按不可压缩处理的极限空气 k=1.4密度相对变化%1 . 2100取 Ma=0.2取Ma=0.4%2 . 80一般取Ma=0.2t=15时，uMac=0.2340=68m/s1111200112kkTkMaT变截

17、面的等熵流动1.气流参数与变截面的关系由连续性方程欧拉微分方程0ddudAuA0dpudu及2dpcduMacRTp常数kp得21dAduMaAu221dAMadpAkMap 221dAMadAMa 2211dAMadTAkMaT 0ddudAuA0dpudu2dpcduMacRTp常数kp211dudAuAMa221dpkMadApMaA 221dMadAMaA 2211kMadTdATMaA 2.讨论du 与与dp、d、dT异号异号流动参数Ma1渐缩管渐缩管渐扩管渐扩管渐缩管渐缩管渐扩管渐扩管流速流速u压强压强p密度密度温度温度T增大减小减小减小减小增大增大增大减小增大增大增大增大减小减小

18、减小一元等熵气流各参数沿程的变化趋势 211dudAuAMa221dpkMadApMaA 221dMadAMaA 2211kMadTdATMaA （1 1）亚声速）亚声速流动：流动：Au(p,T)由于速度变化的绝对值大于截面的变化211Ma （2 2）超声速）超声速流动：流动：Av(p,T)由于密度变化的绝对值大于截面的变化2211MaMavAcvA，（3 3）声速流动）声速流动临界状态（临界参数临界状态（临界参数* *）最小断面才可能达到声速211dudAuAMa221dMadAMaA 6.4.2喷管目的目的 气流加速气流加速常用类型常用类型u收缩喷管，亚声速气流加速收缩喷管，亚声速气流加速

19、u拉伐尔喷管，亚声速加速到超声速拉伐尔喷管，亚声速加速到超声速用途用途汽轮机，压气机和火箭等气流加速汽轮机，压气机和火箭等气流加速渐缩喷管等熵假设等熵假设u绝热（喷管短，流速大）绝热（喷管短，流速大）u理想气体理想气体能量方程能量方程等熵等熵202ppuC TC TRTp1pkCRk200112pkkpukk00kkppC1000211kkpkpukp速度公式，（圣维南定律）速度公式，（圣维南定律）1000211kkpkpukp适用于亚、超声速流动适用于亚、超声速流动Saint. VenantSaint. Venant质量流量质量流量110000211kkkmpkpquAAppkp00kkpp

20、C流入绝对真空，流入绝对真空，流量方程分析流量方程分析0p ，流量为，流量为0 0内外压力相等，内外压力相等，0pp，流量为，流量为0 0存在最大流量值存在最大流量值求极值求极值求导，极值条件求导，极值条件110000211kkkmpkpquAAppkp1021kkppk此时压力为临界压力此时压力为临界压力10*12kkpkp最大流量最大流量11max002211kmkqApkk代入圣维南公式，对应流速（临界速度，声速）代入圣维南公式，对应流速（临界速度，声速）0*002211pkucckk背压背压喷管出口的环境压力喷管出口的环境压力实际喷管的流动实际喷管的流动p，喷管内无流动，喷管内无流动0

21、pp，按流速流量公式算，按流速流量公式算*0ppp1000211kkpkpukp110000211kkkmpkpquAApkp，临界状态，临界状态，*pp1Ma *ucmaxmmqqp，状态不变，保持临界压力、速度和流量状态不变，保持临界压力、速度和流量*ppp，状态不变，状态不变，“堵塞堵塞”现象现象保持临界压力、速度和流量保持临界压力、速度和流量*pp参数Ma1渐缩管渐缩管渐缩管渐缩管流速流速u压强压强p密度密度温度温度T增大减小减小减小减小增大增大增大证明：反证法证明：反证法p*p1Ma 1Ma 结论：结论：渐缩喷管，最大加速到声速渐缩喷管，最大加速到声速 超声速？超声速？拉伐尔（Laval）喷管目的目的 气流获得超声速的装置气流获得超声速的装置常用用途常用用途火箭发动机火箭发动机原理原理流动参数Ma1渐缩管渐缩管渐扩管渐扩管渐缩管渐缩管渐扩管渐扩管流速流速u压强压强p密度密度温度温度T增大减小减小减小减小增大增大增大减小增大增大增大增大减小减小减小先收缩，后扩散先收缩，后扩散p