等比数列的前n项和案例分析

1、等比数列的前 n 项和案例分析一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准数学教科书数学（必修 5）（苏教版）第二章第 3 节第 3 课时。从在教材中的地位与作用来：看等比数列的前 n 项和是数列这一章中的重 要内容之一，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等， 而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学 生今后学习和工作中必备的数学素养。二、学生学习情况分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推

2、导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情 况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学 生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的 原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。三、设计思想1、设计理念本课的教学设计基于 “人人都能获得必要得数学 ”即平等性的考虑，坚持面向全体学生， 努力设计 “适合学生发展得数学教育 ”， 体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理 念。教学中强调 “培养学生情感、态度与价值观 ”的重要性，注重引导学生主动地进行探索， 从而帮

3、助学生树立正确的数学观， 但又与教师的设计问题与活动的引导密切结合， 强调 “活动 ” 的内化，即在头脑中实现必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思 维的效益。通过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会 意识，明确肯定 “日常数学 ”的合理性等，另一方面，再调动学生生活经验的同时，又应努力 帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到 “学校数学 ”的必要性。2、设计背景 传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。在新 课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树立正确的作业观， 创新作业方式，激发兴趣

4、，发展学生数学素质，既注重基础知识的巩固，更要注重学生思维 和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使学生在做作业的过程中体验快乐、形成能 力、学会合作、体验自主。四、教学目标知识与技能掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。过程与方法通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想方法。情感、态度与价值观通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价值，发 展数学的理性思维。五、教学重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用。教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减

5、法”是数 列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。教学准备：（包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等）1. 全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）2. 普通高中课程标准教科书数学（必修）5及配套光盘3. 两种教材的主要差异对比4. 课件等比数列的前n项和改编六、教学过程设计：学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知 识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：（一）创设情境，提出问题一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来 ，但提出了如 下条件：在30天中，富人第一天借给

6、穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱 数都比上一天多1万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是 上一天的两倍，30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了 名的，怕上当受骗 所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下，穷人能否向富人借钱？【设计意图】：设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到 研究者的角色中来！（二）师生互动，探究问题学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：穷人30天借到的钱：S30 =1 * 2 301 30）30 =465 （万元）2穷人需要还的钱：S30 -1

7、 2 222?【设计意图】：直觉先行，思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维！学生的一般认知 规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在 整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围， 突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决 问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。教师把如何求S30 =12 2229二？的问题让学生探究，逐步得出以下的解法:S30 =1 2 2 229若用公比2乘以上面等式的两边，得到2S30 =2 22 .229 - 230 若式减去式，可以消去相同的项，得到：S

8、30 =230 -1 =1073741823（分）1073（万元） 465 （万元）答案:穷人不能向富人借钱【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！ 让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的 信心。（三）类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列an，首项为a1，公比为q，如何求前n项和Sn ?这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学 生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。n【学情预设】

9、：在学生推导完成后，我再问：由（1-q）sn二a1-a1qn得9二a1-a1q对不1-q对？这里的q能不能等于1 ?等比数列中的公比能不能为1 ? q 时是什么数列？此时Sn二？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础。）再次追问：结合等比数列的通项公式 an=a1qn，如何把Sn用4、务、q表示出来？（引 导学生得出公式的另一形式）【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方 面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合 的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画

10、龙点睛之 妙用。（四）讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前 n项和公式，还有其它方法吗？我们知道， sn二a1+a1q+a1q2 + l|+a1qn-1 = +q（a 1+a 1q+ Hl+a 1qn-2）那么我们能否利用这个关系而a293343n=111=q求出$呢？根据等比数列的定义又有81a2a3如，能否联想到等比定理从而求出Sn呢？【设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论 的氛围以上两种方法都可以化归到Sn二aqSn这其实就是关于Sn的一个递推式，递推 数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课

11、 本，对学生的思维发展有促进作用5（五）变式训练，深化认识例i求等比数列2,4,1，t6,前8项和;变式i、等比数列1,4,1，16,前多少项的和是63 ；64变式2、等比数列1,1,1,求第5项到第10项的和；2 4 8 16变式3、等比数列1,1,1,1，求前2n项中所有偶数项的和。2 4 8 16首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行 评价，然后师生共同进行总结。【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公 式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形 成。通过以上形式，让全体学生

12、都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。（六）例题讲解，形成技能例 2：求和 1+a+a 2+a3+i|+an-1【设计意图】：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有 参数的问题进行分类讨论的数学思想。（七）总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从 知识点及数学思想方法两方面总结。【设计意图】：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。（八）课后作业，分层练习P66 练习 1： （1）、（2） ； 2选做：思考题：（1）求和 x+2x 2+3x3 + 111 + nxn.（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增

13、，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”这首 中国古诗的答案是多少？【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的 空间。七、教学反思:（一）通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一种信息载 体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点:1 从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当是现实 的、有趣的和富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心态、探究的心理。 因此，本教案紧紧地抓住高一学生的这一特征，利用等比数列求和如何解决”这一富有挑战性和探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验

14、、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识2.以问题为导向设计教学情境。 “问题是数学的心脏 ”，本节课数学情境的设计处处以问题 为导向： “穷人该不该向富人借钱？ ”、“我们的工作该怎样进行呢？ ”、“我们的 根据地是什 么？ ”、促使学生去思考问题，去发现问题。（二）、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的 “再创造”，新课标提倡教师创造 性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验的操作，再到证实方法的发现，都对教 材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和认知水平，使学生在知识的形成过 程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。（三）数学实验走进了课堂， 这一朴实无华而又意义重大的科学研究的思路和方法给了学 生成功的快乐；这一思维模式的养成也为学生的终身发展提供了有利的武器。（四）我在作业布置时曾做过一个新尝试：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析 出不会做的症结所在，就算完成了作业。点评：教学设计重视“过程与方法”，符合新课标的理念，把重点放在公式的推 导上。在探索公式的过程中，用到了许多重要的数学方法，如错位相减：变加 为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自 然朴实。学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，这个推导过程 有效地培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性，