空间向量及其运算

1、诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 第第5讲空间向量及其运算讲空间向量及其运算诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 知 识 梳 理 1共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定量对空间任意两个向量a，b(b0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使得 .ba 诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力xayb xe1ye2ze3 诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力a，b

2、互相垂直 0a，b |a|b|cosa，b ab即ab|a|b|cosa，b 诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b ；交换律：ab ；分配律：a(bc) .(ab) ba abac 诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 3空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).a1b1a2b2a3b3 a1b1，a2b2，a3b3 a1b1a2b2a3b30 诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突

3、破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 感悟提升 1一种思想理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比，如 (5) 2两种方法一是用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，如(5)二是强化坐标运算，如(6)、(7)、(9)、(10).诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点

4、高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 考点二共线定理、共面定理的应用 【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD平面EFGH.诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基

5、础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 考点三空间向量的数量积及其应用 【例3】 如图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突

6、破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 【 训 练 3 】 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 A B C ABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 1利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础 2利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一

7、些距离、夹角问题 3利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题其中合理选取基底是优化运算的关键 诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力 答案0诊断诊断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力反思感悟 与空间几何体有关的向量运算问题，当运算的结果与几何体的形状无关时，可构造特殊的几何体(如正四面体、正方体等)，利用特殊几何体的边角关系，使运算能够快速准确的解答，提高做题速度和效率诊断