质点系动量定理

1、 系统成员间的相互作用称为系统成员间的相互作用称为内力内力；系统与环境；系统与环境 间的相互作用称为间的相互作用称为外力外力（当然要由系统内某个或某（当然要由系统内某个或某 些质点直接承担）些质点直接承担）。 现在，我们要考察的对象是一个系统，系统之现在，我们要考察的对象是一个系统，系统之 外可称为环境。外可称为环境。 为简单计，考虑只有两个质点为简单计，考虑只有两个质点 m1 、m2 组成的组成的 系统，有外力系统，有外力 分别对它们作用，同时两质点分别对它们作用，同时两质点 间还有相互作用。间还有相互作用。 12 FF 、 m1 m2 12 f 21 f 1 F 2 F 对质点对质点1 0

2、 1121 11 10 () t t Ffdtm vm v 对质点对质点2 0 22122220 () t t Ffdtm vm v 两式相加两式相加 0 121 1221 10220 ()()() t t FF dtm vm vm vm v m1 m2 12 f 21 f 1 F 2 F （由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）（由牛顿第三定律，内力等大小、反方向） 由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。 推广到多质点系统，动量定理表达式为：推广到多质点系统，动量定理表达式为： 质点系总动量的增量质点系总动量的增量 等于作用于该系统合外力的

3、冲量等于作用于该系统合外力的冲量 0 0 () t iiiii t iii F dtm vm v 其意为：其意为： 从这里我们看到，一般情况下，只有外力的作从这里我们看到，一般情况下，只有外力的作 用才能改变质点系的总动量。用才能改变质点系的总动量。 如果内力的存在使外力发生变化，或外力的产如果内力的存在使外力发生变化，或外力的产 生和变化受内力的影响、制约，这种情况下，内力生和变化受内力的影响、制约，这种情况下，内力 对质点系的动量、角动量的变化会产生影响。对质点系的动量、角动量的变化会产生影响。 质点系统动量定理与单质点的动量定理有完全质点系统动量定理与单质点的动量定理有完全 相同的形式。

4、相同的形式。 矿砂从传送带矿砂从传送带A落入落入B ，其速度，其速度4m/s ， 方向与竖直方向成方向与竖直方向成 30角，而角，而B 与水平方向与水平方向 成成15 角，其速度角，其速度2m/s。传送带的运送量为。传送带的运送量为 20kg/s 。 求：落到求：落到 B上的矿砂所受到的力。上的矿砂所受到的力。 解： 普通物理学教案 例题1* (自学用) 15 30 A B v1 v2 15 30 2 mv 1 mv ()mv 作矢量图作矢量图 在在t 内落在传送带内落在传送带B上的矿砂质量为：上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为：这些矿砂的动量增量为： mq t 21 ()mvmvmv 2

5、2 ()4224cos75mvm 3.98m3.98()m/sq t 由动量定理：由动量定理： ()F tmv 3.98q t F t 3.98q79.6N 2 () sin75sin mvmv 29 15 30 2 mv 1 mv ()mv 逆风行舟 21 pIp /FIt FF 一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光 滑平面上的木块，穿行时间各为滑平面上的木块，穿行时间各为 t1、 t2， 设子弹在木块中受到恒阻力设子弹在木块中受到恒阻力F 。求：子弹穿求：子弹穿 过后，过后， 两木块各以多大速度运动？两木块各以多大速度运动？ 解： 普通物理学教案 例题2 ：

6、 1 m 2 m 子弹穿过第一木块时，子弹穿过第一木块时， 两木块速度相同均为两木块速度相同均为v1 1121 0 F tmmv 子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2 2222 1 F tm vm v 1 1 12 F t v mm 1121 0 F tmmv 2222 1 F tm vm v 12 2 122 F tF t v mmm 考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两 个状态。个状态。 12221 1 0 Fttm vm v（） 再结合再结合 式，可得结果。式，可得结果。 1 F t 如图示，悬绳突然断开

7、，猴子以多大的如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的 加速度相对杆上爬，才能看上去不下落加速度相对杆上爬，才能看上去不下落? 解： 普通物理学教案 例题3： 0 y 用牛顿定律用牛顿定律 建坐标建坐标 0mgf MgfMa mM ag M 得得 受力分析受力分析 mg f Mg f 猴猴杆杆系统系统 ()FmM g 外外 解法二解法二 用质点系动量定理用质点系动量定理 ()() () d mud Mv mM g dtdt mM ag M 得得 12 ( d pp dt d muMv dt 0 dv M dt 0 y mg f Mg f 分析分析 一根均质链条，长一根均质链条，长 l ，质量，质量m

8、 ，竖直，竖直 提起提起 ，一端刚刚触地。由静止状态释放，求，一端刚刚触地。由静止状态释放，求 其对地面的作用力。其对地面的作用力。 解： 普通物理学教案 例题4 ： 0 y 建坐标建坐标 取链条整体为系统取链条整体为系统 无论何时链条整体受到外力作用无论何时链条整体受到外力作用 1 Fmg 2 ( )FN t ( )N y 地面部分的动量为地面部分的动量为 任意时刻，将链条分为两部分任意时刻，将链条分为两部分 空中部分的动量为空中部分的动量为 ()ly v 由动量定理由动量定理 () d mgNly v dt 对坐标投影对坐标投影 () ddy mgNly dtdt 0 y 0 所以所以 2

9、 2 ()() dy dd y Ngllyly dt dtdt 22 () dy v dt 2 2 d y g dt 2 Nvyg得得 即：下落过程中链条对地面的作用力是已即：下落过程中链条对地面的作用力是已 经落下部分所受重力的经落下部分所受重力的 3 倍。倍。 () ddy mgNly dtdt 22 22 () dydyd yd y glly dtdtdtdt 3 yg 2 ygyg 2gy 如果把此题改成一股高压水柱对墙壁的冲击如果把此题改成一股高压水柱对墙壁的冲击 可以理解可以理解 入射水流在单位时间里对墙壁传递的动量为入射水流在单位时间里对墙壁传递的动量为 2 v （由于速度值的变

10、化，必定引起流体的密度变化）（由于速度值的变化，必定引起流体的密度变化） 因为墙壁表面没有水的质量积聚，必有因为墙壁表面没有水的质量积聚，必有 2 Nvyg 反射水流单位时间内带走的动量为反射水流单位时间内带走的动量为 2 v 22 vv 因而墙壁表面对水柱的作用力一般为因而墙壁表面对水柱的作用力一般为 dp F dt 22 vv 若水流碰到墙壁不再弹回若水流碰到墙壁不再弹回 0v 2 Fv 若水流完全反射若水流完全反射 为墙壁给予水柱的作用力为墙壁给予水柱的作用力F 则则 2 2Fv 因而因而 22 vv dp F dt 22 vv 实际的情况介于这两个极实际的情况介于这两个极 端情况之间。

11、工业上的水力采端情况之间。工业上的水力采 煤技术就是基于这个原理。煤技术就是基于这个原理。 由质点系的动量定理的微分形式由质点系的动量定理的微分形式 ii d pF dt 特别地特别地若若0F 则则0p i p 恒恒量量即即 此即动量守恒定律此即动量守恒定律 一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合 外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。 二、动量守恒定律二、动量守恒定律 应用动量守恒定律应用动量守恒定律要注意以下几点：要注意以下几点： 将上式写成分量式，其中将上式写成分量式，其中x 方向的分量式为方

12、向的分量式为： 若：若： 则有：则有： ii d pF dt 讨论讨论 ixix d pF dt 0 ix F ix p 常常量量 如果外力在如果外力在 x 方向投影的代数和为零，则动量方向投影的代数和为零，则动量 在在 x 方向的分方向的分量量守恒。守恒。 内力的存在只改变系统内动量的分配，内力的存在只改变系统内动量的分配， 不能改变系不能改变系统的总动量。统的总动量。 因而，因而，系统动量守恒时，但每个质点的系统动量守恒时，但每个质点的 动量仍可能变化。动量仍可能变化。 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的 过程中，由于系统内部相互作用力远大于合过程

13、中，由于系统内部相互作用力远大于合 外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似 成立。成立。 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。量和应是同一时刻的动量之和。 动量守恒是自然界普遍适用的物理定律，动量守恒是自然界普遍适用的物理定律， 它比牛顿它比牛顿定律更为基本。定律更为基本。 在微观世界中牛顿定律不再适用，在微观世界中牛顿定律不再适用， 但动量守恒定律但动量守恒定律仍然正确。仍然正确。 动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。 人与船质量分别为人与船质量分别为m 及及M ，

14、船长为，船长为L ，若人，若人 从船尾走到船首。试求船相对于岸的位移。从船尾走到船首。试求船相对于岸的位移。 (初始时刻人与船静止初始时刻人与船静止) 解： 普通物理学教案 例题5 ： m M L 设人相对于船的速度为设人相对于船的速度为 u船相对于岸的速度为船相对于岸的速度为 v 由动量守恒由动量守恒: :()0Mvm vu m vu Mm xvdt m udt Mm m L Mm 类似的二体问题有同解类似的二体问题有同解 此结果与人的相对速度此结果与人的相对速度 u 无关，只要他完成了无关，只要他完成了 船上的这段行走，船对地的移动距离都是船上的这段行走，船对地的移动距离都是 m L Mm

15、 这正符合我们从牛顿定律出发建立理论体系的这正符合我们从牛顿定律出发建立理论体系的 目的：避开运动和相互作用的细节，得到一般性的目的：避开运动和相互作用的细节，得到一般性的 结论。结论。 这个结果还暗示：动量守恒定律不受机械能是这个结果还暗示：动量守恒定律不受机械能是 否守恒的影响（人、船之间有内耗），即否守恒的影响（人、船之间有内耗），即 动量传递的守恒性，不受运动形式及能量转换动量传递的守恒性，不受运动形式及能量转换 的影响，判断动量是否守恒的标准，是系统是否受的影响，判断动量是否守恒的标准，是系统是否受 外力作用。外力作用。 火箭飞行原理火箭飞行原理 中中 国国 航航 天天 建立火箭模型

16、：建立火箭模型： 视火箭为一系统视火箭为一系统 经经dt 时间后时间后 主体主体 喷出物喷出物 火箭系统火箭系统 三、系统内质量流动问题三、系统内质量流动问题 t 时刻：时刻： t + dt 时刻：时刻： mv () dm vdvu 由质点系动量定理：由质点系动量定理： ()()() r mdm vdvdm vdvvmvFdt ()() mdm vdv 喷出物动量喷出物动量 也是主体动量也是主体动量 对于火箭问题对于火箭问题 dm 0 主体动量主体动量 系统动量系统动量 经整理可得：经整理可得： r mdvv dmFdt r dvdm mFv dtdt 密歇尔方程密歇尔方程 是相对火箭的是相对

17、火箭的 u 改用改用 标记标记 r v r dvdm mFv dtdt t 时刻火箭主体质量时刻火箭主体质量m dv dt t 时刻火箭主体加速度时刻火箭主体加速度 F t 时刻作用在火箭主体时刻作用在火箭主体 上的、来自火箭系统外上的、来自火箭系统外 部的力部的力 r dm v dt 火箭主体获得的反推力火箭主体获得的反推力 如果把方程如果把方程 的右边看作是作的右边看作是作 用在火箭主体上用在火箭主体上 的合力，那么它的合力，那么它 与牛顿定律就形与牛顿定律就形 式相同了。但意式相同了。但意 义绝不相同。义绝不相同。 牛顿定律中牛顿定律中 质点的质量是不质点的质量是不 变的！而密歇尔变的！

18、而密歇尔 方程描述的是变方程描述的是变 质量运动。质量运动。 当作用在火箭系统上的外力当作用在火箭系统上的外力F 一定时，推力越一定时，推力越 大，火箭获得的加速度越大。大，火箭获得的加速度越大。 r dm v dt 为火箭发动机的推动力。为火箭发动机的推动力。 这就要求喷气速率这就要求喷气速率vr 大，大，排出率排出率 大。大。 dm dt 例如：一种火箭的燃烧速率为例如：一种火箭的燃烧速率为 3 2.94 10 m/s r v 4 1.38 10 kg/s dm dt 理论上产生的推力为理论上产生的推力为 7 4.06 10 NF 推推 喷出气体的相对速率为喷出气体的相对速率为 这相当于一

19、艘这相当于一艘4000吨海轮所受的浮力！吨海轮所受的浮力！ 重力场中，由静止垂直上升的火箭的运行重力场中，由静止垂直上升的火箭的运行 解： 普通物理学教案 例题6 ： 假设火箭喷气速率假设火箭喷气速率vr恒为恒为 u 据密歇尔方程据密歇尔方程 dvdm mmgu dtdt 取向上为坐标正向取向上为坐标正向 中中 国国 航航 天天 分离变量积分分离变量积分 0 00 vtm m dm dvgdtu m 0 ln m vgtu m 得得 如何利用此题的思路实现在行星、如何利用此题的思路实现在行星、 或星际太空站上或星际太空站上 “软着陆软着陆” ？ 思考题：思考题： 0 dm dt 2 dvdm

20、mmgkvu dtdt 如果考虑空气阻力的因素，设空气阻力正比于如果考虑空气阻力的因素，设空气阻力正比于 速率的平方速率的平方 则：则： 一般采用数值计算解。一般采用数值计算解。 质量为质量为m 的火箭在遥远星际空间以速度的火箭在遥远星际空间以速度v 飞行飞行。 试求试求：其速度与火箭本体质量之间的关系。其速度与火箭本体质量之间的关系。 解： 普通物理学教案 例题7 ： 据密歇尔方程据密歇尔方程 0 dvdm mu dtdt 分离变量积分分离变量积分 00 vm vm dm dvu m 0 0 ln m vvu m 则则 飞船在太空中按此原理用离子火箭发动飞船在太空中按此原理用离子火箭发动 机

21、控制飞行、调整姿态。机控制飞行、调整姿态。 r dvdm mFv dtdt 取飞行方向为坐标正向取飞行方向为坐标正向 dm dvu m ()()()mdm vdvdm vdvumvFdt 另解：另解： 直接由质点系动量定理直接由质点系动量定理 在在遥远星际空间，火箭受和外力为零。遥远星际空间，火箭受和外力为零。 即，火箭系统动量守恒即，火箭系统动量守恒 ()()()mdm vdvdm vdvumv 经整理可得：经整理可得： 0 0 vm m dm dvu m 0 0 ln m vvu m 讨论讨论 令火箭的质量比令火箭的质量比 0 m N m 0 ln r vvvN 要想增大单级火箭的末速度，

22、可以采用两个方法：要想增大单级火箭的末速度，可以采用两个方法： 一是增大排出气体的相对速率；一是增大排出气体的相对速率； 二是增大火箭的质量比。二是增大火箭的质量比。 近代高能推进剂如液氧加液氢的喷气速率可达近代高能推进剂如液氧加液氢的喷气速率可达 4.1km/s。 考虑到火箭主体本身的结构和必要的载荷，火考虑到火箭主体本身的结构和必要的载荷，火 箭的质量比增大有限。目前，单级火箭的质量比可箭的质量比增大有限。目前，单级火箭的质量比可 做到做到15。因此目前在最好的情况下，单级火箭从静。因此目前在最好的情况下，单级火箭从静 止开始，可获得的末速度约为止开始，可获得的末速度约为 11km/s 。

23、 若采用若采用多级火箭多级火箭 11 ln r vvN 212 ln r vvvN 由于实际从地面发射时，火箭受到地面引力和由于实际从地面发射时，火箭受到地面引力和 空气阻力，所以末速度只可能达到空气阻力，所以末速度只可能达到 7km/s 左右。左右。 这一速度小于第一宇这一速度小于第一宇 宙速度（宙速度（7.9km/s）, 所以所以 用单级火箭不可能把人造用单级火箭不可能把人造 地球卫星或其它航天器送地球卫星或其它航天器送 入地球轨道。入地球轨道。 由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。由于技术上的原因，多级火箭一般是三级。 有效载荷有效载荷 第三级火箭第三级火箭 第二级火箭第二级火箭 第一

24、级火箭第一级火箭 制导与控制系统制导与控制系统 动力系统动力系统 12 ln(.) r vvN N N1 = 16；vr = 2.9km/s； N2 = 14；vr = 4km/s N3 = 12；vr = 4km/s . 7 3 5 10 NF 推推 末速度的理论值为末速度的理论值为28km/s。同样由于引力和空。同样由于引力和空 气阻力，实际末速度值要小的多。气阻力，实际末速度值要小的多。 例如：发射阿波罗登月飞船的土星五号，起飞例如：发射阿波罗登月飞船的土星五号，起飞 质量质量2800吨，高吨，高85m。 我国长征二号我国长征二号E火箭总长火箭总长49.68米，直径米，直径3.35米。米

25、。 总起飞重量总起飞重量461吨，起飞推力吨，起飞推力 ，近地轨道，近地轨道 运载能力达到运载能力达到9.5吨。吨。 6 6 10 N 1. 整流罩整流罩 2. 卫星卫星 3. 卫星支架（卫星分配器）卫星支架（卫星分配器） 4. 火箭支架火箭支架 5. ETS固体发动机固体发动机 6. 仪器舱仪器舱 7. 二级氧化剂箱二级氧化剂箱 8. 箱间段箱间段 9. 二级燃烧剂箱二级燃烧剂箱 10.级间段级间段 11.二级游动发动机二级游动发动机 12.二级主发动机二级主发动机 13.燃气排气孔燃气排气孔 14.一级氧化剂箱一级氧化剂箱 15.箱间段箱间段 16.一级燃烧剂箱一级燃烧剂箱 17.尾段尾段

26、 18.一级发动机一级发动机 19.助推器发动机助推器发动机 20.助推器燃烧剂箱助推器燃烧剂箱 21.箱间段箱间段 22.助推器氧化剂箱助推器氧化剂箱 23.助推器端头帽助推器端头帽 卫星支架（卫星分配器）卫星支架（卫星分配器） 长征二号长征二号E 长征二号长征二号F 运载火运载火 箭是在长二捆火箭的基箭是在长二捆火箭的基 础上，按照发射础上，按照发射神舟神舟载载 人飞船的要求，以提高人飞船的要求，以提高 可靠性确保安全性为目可靠性确保安全性为目 标研制的运载火箭。火标研制的运载火箭。火 箭上加装了逃逸塔，是箭上加装了逃逸塔，是 目前我国所有运载火箭目前我国所有运载火箭 中起飞质量最大、长度

27、中起飞质量最大、长度 最长的火箭。最长的火箭。 落链问题，落链问题，将空中部分视为主体，将空中部分视为主体，再解。再解。 解： 普通物理学教案 例题8 ： 0 y 由密歇尔方程由密歇尔方程 r dvdm mFv dtdt r vv dmdy dtdt 则则 1 ()() dy mgmgNv dt 2 1 Nv 3 yg 2 ygyg 2 yg 再加上地面对已静止部分的作用力再加上地面对已静止部分的作用力 12 NNN 落链问题，落链问题，将地面部分视为主体，将地面部分视为主体，再解。再解。 解： 普通物理学教案 例题9 ： 0 y 由密歇尔方程由密歇尔方程 r dvdm mFv dtdt my

28、 0v 0 dv dt FygN r dy v dt dmdy dtdt 0 dydy yygN dtdt 2 Nvyg 装煤卡车（装煤卡车（24吨）在水平路面以吨）在水平路面以 2m/s的的 初速滑行，送料车在其上方随卡车以初速滑行，送料车在其上方随卡车以 1.9m/s 的速率前进，并以的速率前进，并以 200 kg/s 的泄漏率装车。的泄漏率装车。 求：在装煤的求：在装煤的 30s 后，卡车的行进速率。后，卡车的行进速率。 解： 普通物理学教案 例题10 ： 由密歇尔方程由密歇尔方程 r dvdm mFv dtdt 以卡车为主体以卡车为主体 0 mmt dm dt () r vvu 与与

29、v 方向相反方向相反 则则() dvdm mvu dtdt 0F 不计阻力不计阻力 () dvdm mvu dtdt 分离变量分离变量 () dvdm vum 积分积分 00() vmt vm dvdm vum 得得lnln 0 00 vumt vum 所以所以() 0 0 0 m vuvu mt . . . 4 4 2 4 10 1 90 1 2 4 10200 30 . 1 98m/s 1.质心质心 将质点系的动量和动量定理继续作一分析：将质点系的动量和动量定理继续作一分析： 质点系统的动量质点系统的动量 i i Pp i i i dr m dt ii i m v 在牛顿力学中，质点的质量

30、是不变的，因而在牛顿力学中，质点的质量是不变的，因而 i i i d Pm r dt i i i i i i i m d m r dtm i i i i i m r d M dtm 令令/ i iic ii m rmr 质点系的质量中心质点系的质量中心 * *四、四、质心运动定理质心运动定理 （theorem of motion of center - of - mass） N个质点的系统（质点系）的质心位置个质点的系统（质点系）的质心位置 质量连续分布的系统的质心位置质量连续分布的系统的质心位置 1 N i i i m r m 1 1 N i i i cN i i m r r m , ,.

31、12in m mmm , , ,. . 12in r rrr 1 lim N ii N i c r m r m dr m m x y z mi O m2 m1 i r 1 r c r 质心的位矢表达式可写为分量形式质心的位矢表达式可写为分量形式 , iiiiii ccc m xm ym z xyz mmm 在直角坐标系中有：在直角坐标系中有： 质心可能并不在体系中的任何一个质点上，它质心可能并不在体系中的任何一个质点上，它 是由上式定义的一个物理量。是由上式定义的一个物理量。 这里我们第一次看到，一个有用的物理量，可这里我们第一次看到，一个有用的物理量，可 能并不对应着一个实际的东西。这种具有

32、抽象性质能并不对应着一个实际的东西。这种具有抽象性质 的物理量，在以后的物理学习中，将会越来越多的的物理量，在以后的物理学习中，将会越来越多的 碰到。碰到。 质心的速度质心的速度 ii c m v v m 质心的加速度质心的加速度 ii c m a a m () c d PMr dt c Mv 这是十分有趣的，质点系的动量可以等效为这是十分有趣的，质点系的动量可以等效为 位置在质量中心的一个质点的动量。位置在质量中心的一个质点的动量。 继续前面的推理分析：继续前面的推理分析： 顺着这条线索自然会想到：也许我们真的能顺着这条线索自然会想到：也许我们真的能 够用对质心运动的描述来代替对质点系整体运

33、动够用对质心运动的描述来代替对质点系整体运动 的研究。如果这样的话，那将是十分方便的。的研究。如果这样的话，那将是十分方便的。 由质点系动量定理由质点系动量定理 i dP F dt 外外 c dv M dt 比照牛顿定律。可以赋其名为比照牛顿定律。可以赋其名为质心运动定律质心运动定律 至此，我们可以作出这样的结论：至此，我们可以作出这样的结论： 假设有多个外力作用在多粒子系统上，不管这假设有多个外力作用在多粒子系统上，不管这 些粒子组成何种复杂的结构（它们可以是刚体，也些粒子组成何种复杂的结构（它们可以是刚体，也 可以是星云或其它任何东西），我们总可以求出这可以是星云或其它任何东西），我们总可

34、以求出这 些力的合力。如果将这些粒子看成一个质量为些力的合力。如果将这些粒子看成一个质量为M的的 整体，那么整个体系的质量就可以看作集中在质心整体，那么整个体系的质量就可以看作集中在质心 这个点上，合外力使该点产生一个加速度。这个点上，合外力使该点产生一个加速度。 质心运动定律非常有用，若不考虑每个质点运质心运动定律非常有用，若不考虑每个质点运 动细节，只考虑体系的质心运动，则其动力学方程动细节，只考虑体系的质心运动，则其动力学方程 与单个质点的动力学方程完全相同。与单个质点的动力学方程完全相同。 例如：地球绕太阳的运动，可以把它作为质点例如：地球绕太阳的运动，可以把它作为质点 来处理，虽然地

35、球内部有各种各样的相互作用，都来处理，虽然地球内部有各种各样的相互作用，都 可完全不顾及，只需考虑外力可完全不顾及，只需考虑外力太阳引力的作用太阳引力的作用 就行了。就行了。 c i dv FM dt 外外 例如，炮弹在飞行轨道上爆炸时，它的碎片向例如，炮弹在飞行轨道上爆炸时，它的碎片向 四面八方飞散。炮弹爆炸的爆炸力是内力，内力可四面八方飞散。炮弹爆炸的爆炸力是内力，内力可 以改变组成炮弹的各个碎片的动量，但不能改变炮以改变组成炮弹的各个碎片的动量，但不能改变炮 弹的总动量，因而不能改变质心的运动。不管炮弹弹的总动量，因而不能改变质心的运动。不管炮弹 的弹片飞向何方，作为全部弹片的质心所受外

36、力仍的弹片飞向何方，作为全部弹片的质心所受外力仍 然是重力，所以爆炸后质心仍然按原来的抛物线轨然是重力，所以爆炸后质心仍然按原来的抛物线轨 道运行。道运行。 c d x M dt 2 2 0 c d y MgM dt 2 2 质心仍作抛物线运动质心仍作抛物线运动 x y 运动员跳水运动员跳水球棒抛掷球棒抛掷 关于质心运动定律确实令人兴奋，它在物理学关于质心运动定律确实令人兴奋，它在物理学 发展的过程中具有很重要的作用。发展的过程中具有很重要的作用。 它揭示出，牛顿定律有这样一种独特的性质：它揭示出，牛顿定律有这样一种独特的性质： fma 是一个在比较大的尺度范围内是一个在比较大的尺度范围内 也

37、能够自现其身的规律。它使也能够自现其身的规律。它使 我们能够继续处理尺度越来越我们能够继续处理尺度越来越 大的系统。大的系统。 小尺度系统小尺度系统 小尺度系统小尺度系统 小尺度系统小尺度系统 大尺度系统大尺度系统 这样就有了营造力学理论这样就有了营造力学理论 体系的基础。体系的基础。 已知一半圆环半径为已知一半圆环半径为R，质量为，质量为M。 求：它的质心位置。求：它的质心位置。 解： 普通物理学教案 例题1 ： y x O d dm 建坐标系如图建坐标系如图 取取 dldm = dl dlRd M dmRd R xRcos yRsin 2R d c y m y M M RsinRd R M

38、 0 c x 0 几何对称性几何对称性 如图所示，人与船构成质点系，当人从船头如图所示，人与船构成质点系，当人从船头 走到船尾。求：人和船各移动的距离。走到船尾。求：人和船各移动的距离。 解： 普通物理学教案 例题2 ： x2 x1 x 1 x 2 x O 在水平方向上，合外力为零。在水平方向上，合外力为零。 cx cx dv a dt 0 cc x x 开始时，系统质心位开始时，系统质心位 置置 c mxMx x mM 12 终了时，系统质心位置终了时，系统质心位置 c mxMx x mM 12 解得解得 x2 x1 x 1 x 2 x O c mxMx x mM 12 ()xmxxxM 2

39、112 slS M l mM m Sl mM c mxMx x mM 12 船移动距离船移动距离 S人移动距离人移动距离 s 对质点对质点1 0 1121 11 10 () t t Ffdtm vm v 对质点对质点2 0 22122220 () t t Ffdtm vm v 两式相加两式相加 0 121 1221 10220 ()()() t t FF dtm vm vm vm v m1 m2 12 f 21 f 1 F 2 F （由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）（由牛顿第三定律，内力等大小、反方向） 在在t 内落在传送带内落在传送带B上的矿砂质量为：上的矿砂质量为： 这些矿砂的动量增量为：这些