7第七章傅里叶变换

1、实用标准文案第七章傅立叶变换7. 0 引言“变换”的概念在数学上，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常采用“变换”手段。例如初等数学中的利用对数将较复杂的乘、除运算化为较简易的加、减运算的做法，事实上就是一种变换，可称他为对数变换。详细说即，为求两数 A与 B 之积 AB （商 A / B ），可使用对数变换、变换后的加（减）法运算、反对数变换三个步骤来完成：（ 1）、对数变换：对已知的A 、 B 分别求出对数 lg A 、 lg B ；（ 2）、变换后的加（减）法运算：求出两个对数的和lg Alg B ( 差 lg A lg B ) ；（ 3）、反对数变换：求出上述和（差）的反对数，即是

2、AB（ A/B ）：AB lg1(lg A lg B)(A/Blg1 (lgAlg ) ) 。B这 种 方 法 总 起 来 说 是 根 据 定 理 ：“ 积 （ 商 ） 的 对 数 等 于 对 数 的 和 （ 差 ）： lg( AB)lg A lg B( lg( A/ B) lg A lg B ) ”得出的。下图直观说明了对数变换的内在关系：乘（除）运算常规域中的运算 ：正实数 A， B积 AB（商 A/B）对数变换lg （）反对数变换 lg -1 （）变换后之域中的运算： 对数 lgA 、lgB对数和 lgA+lgB=lg(AB)加（减）运算(对数差 lgA-lgB=lg(A/B)从数确定其

3、对数值的变换称为正变换，从对数值确定其反对数值的变换称之为反变换或逆变换。数与其对数值在一定条件（即A、 B 为正实数）下是一一对应的。变换前的数常称为变换后的数的象原，变换后的数常称为变换前的数的象。再例如解析几何中的坐标变换、复变函数中的保角变换等都属于这种变换，后面要谈的积分变换也是这样一类变换。当然，说变换方法能化复杂运算为简单运算，不仅仅是因为变换后的运算较简单，实际上还依赖于变换及反变换容易进行，或者虽不易进行，但却可行，并且已由人们造表（如对数表、积分变换表等） ，通过查表而显得容易罢了。另外，人们使用变换方法，有时并不是为了计算和求解容易，而是为了研究的容易。这时使用变换常常是

4、为了容易提取研究对象的信息、规律。也即并不是为了直接去求解，而是通过变换建立一种数学模型，以供研究。这时并不追求变换与反变换的快、易，而是追求在正变换后而反变换前的象集中容易显示信息、容易分析研究问题而已 , 此时甚至用不着去考虑反变换。例如自动控制理论中采用拉普拉斯变换建立数学模型传递函数后，立足于复频域中作研究的方法就是如此。“积分变换”的概念式子F ( )bf (t )K (t, )dt（1）a被用来定义函数 f (t) 的积分变换。其中 K (t,) 是已知的关于 t 和 的一个二元函数，称为积分变换的核。若 a 和 b 的值是有限的，则称F( ) 是 f (t) 的有限积分变换，否则

5、称为无限积分变换。可见，所谓积分变换，就是通过含有参变量的积分，把一个函数变成另一个函数的变换。或者说，就是把某函数类A 中的函数 f (t) 通过上述积分的运算变成另一函数类B 中的函数 F ( ) 。积分变换又称为运算微积。f (t) 称为象原函数， F () 称为 f (t) 的象函数，在一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。当选取不同的精彩文档积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。如傅立叶变换拉普拉斯变换汉克尔变换F ()f (t) e it dt；F ()f (t )et dt；0F ()f (t)tJ n ( t )dt ，0这里 J n (t) 是第一类 n 阶贝塞

6、尔函数；梅林变换F ()f (t)t1dt ，0等等。从泛函的角度看，积分变换是一类泛函。 傅立叶变换和拉普拉斯变换都是一种泛函。这只要将（ 1）式改写成bF ()f (t) K (t,)dtF1 f (t), （当 f看作变量，看作参变量时） ，a或改写成bF () f (t) K ( t,) dtF2 f (t)（当 f 看作变量，干脆被看作常量时） ，a即可明白。要注意F 、 F1 、 F2 等是不同的映射，它们包含着不同的被看作是不动的部分。所谓看作参变量，即暂时看作常量（更妥当点，应说成“现时看作常量”，至于以后，不排斥人们去考虑它作为变量）。bf (t) 上，结果得出的也就是说，暂

7、时固定，可将 ( ) K (t, )dt 看作泛函算符，这一算符再作用到函数a是对应于函数 f (t) 的一个数 F f (t ), 。还可以把积分变换看成是一类映射( 因线性空间的映射称为算子，故线性空间的积分变换也说成是积分算子 ) 。如前面就曾说（ 1）式将函数f (t ) 变换成另一个函数F ( ) 。这其实就是把看作变量后而言的。2实用标准文案7. 1 傅立叶积分与傅立叶定理从傅立叶级数到傅立叶积分傅立叶级数能将周期函数进行谐波分解，而傅立叶积分能将非周期函数进行谐波分解。说得更详细些，即傅立叶级数能将一个周期函数表示成无穷多个离散的频率为基频整数倍的谐函数之和，而傅立叶积分则能将一

8、个非周期函数表示成整个连续的频率区间上的谐函数的积分。傅立叶级数还可表示成复数形式，由此又可导出傅立叶积分的复数形式，随之便产生了一种积分变换傅立叶变换及其逆变换。以上所说的傅立叶级数及傅立叶积分，只限于对函数进行谐函数或由它导出的复数形式（既虚指数函数 ei t ）的分解。这种情况下，所说傅立叶级数及傅立叶积分可看作是狭义的。其实，以谐函数或虚指数函数作为函数分解的基底，只是一种特例。更一般地，可以任一种正交函数作为基底进行傅立叶分解。这里正文主要讨论狭义的傅立叶级数及傅立叶积分，关于广义的针对一般正交函数的傅立叶分解，我们将在附录中给出初步的讨论。在数学分析课程中学习傅立叶级数时，我们已知

9、有如下定理：傅立叶级数定理： 任一个以 T 为周期的周期函数fT (t) ，如果在 T, T 上满足狄利克雷 （ Dirichlet）22条件（简称狄氏条件，即函数在T , T 上满足： . 连续或只有有限个第一类间断点；. 只有有限个极22值点），那么在 T, T 上就可以展成傅立叶级数。在f T (t) 的连续点处，其傅立叶级数的三角形式为22fT (t)a0(an cosntbn sin n t)(n 1,2,3, )（2）2n 1其中221）T， （TT2a02T fT (t )dt（ 3）T22Tan2TfT (t) cos(nt)dt（ 4）T22Tbn2TfT (t) sin(n

10、t)dt（ 5）T2称为角频率或圆频率，称为频率；式（ 3）、（ 4）、（ 5）称为函数fT (t) 的傅立叶系数。由（ 3）、（ 4）、（ 5）这三个式子可见，傅立叶系数an （可将 a0 合并到 an 中去，合并后n 0,1,2,3,）和 bn 都是 n （或 n）的函数，其中an 是 n 的偶函数，即有a nan ；而 bn 是 n 的奇函数，即有b nbn 。如果把式（2）中的同频率项合并，则式（2）可改写成（根据三角函数二角和公式：cos() coscossinsin）：fT (t )A0A1 cos(t1 ) A2 cos(2t2 )2也即A0An cos(n tn )（ 6）fT

11、 (t )2n1精彩文档其中A0a0Anan2bn2 , n 1,2,3,（ 7）n Arctg bn an由式（ 7）可见，An 是 n 的偶函数，即有A nAn ；而 n 是 n 的奇函数，即有nn 。如果将式（ 6）化为式（ 2），系数关系为：a0A0anAn cosn , n 1,2,3,bnAn sinn由式（ 6）可见，任何满足狄氏条件的周期函数可分解为一系列谐函数分量之和。其中第一项A0是常T2数项，它是周期函数的直流分量。结合（ 3）式看，A0a01fT (t )22T2T fT (t)dt ，可知它实际上就是函数2在区间 T , T 内的平均值。式中第二项 A1 cos(t1

12、 ) 称为基波分量或一次谐波分量， 它的角频率（可22A1 是基波振幅，称之为基波角频率或简称为基角频）与原周期函数的相同，1 是基波初相位。式中第三项 A2 cos(2t2 ) 称为二次谐波分量，它的频率是基波频率的二倍，A2 是二次谐波振幅，2 是其初相位。 。一般而言， An cos(ntn ) 称为 n 次谐波分量，其角频率为n，其振幅为An ，其初相位为 n 。（ 6）式表明，周期函数可被分解为各次谐波之和，并且这些谐波的角频率是基波角频的整数倍。以上的式（ 2）或式（ 6）称为傅立叶级数的三角形式或傅立叶级数的实数形式。这种形式虽意义比较明确，却运算不便，因而常把实数形式转换为（虚

13、）指数形式或称复数形式。这只要利用欧拉公式eicosi sin或cos1(eie i) ， sini1(eie i)22即可：fT (t )a0(ancosn tbn sin nt)2n1a0an1 (ein te in t )bni 1 (ein te in t )2n122a01int1ib n )eint（8）2 n (anib n )e(an1 22如果令a0Tc01 2T fT (t )dt（ 9）2T24实用标准文案cn1 ( anibn )2TT1 2TfT (t ) cosntdti2TfT (t) sin n tdt T22（ 10）1T2Tf T (t)cos nti si

14、n nt dtT21Tf T (t)e in t dt2T(n1,2,3,)T211TfT (t )ein t dtc n(anibn )2T(n1,2,3, )（ 11）2T2而 c0 、 cn 、 c n 可合写成一个式子：1Tcn2T fT (t)e in t dt(n 0, 1, 2, )（ 12）T2若又令nn(n0,1,2, )则（ 2）式从而（ 8）式可写成fT (t)c0cneintcn e int (n1,2,3,)n 1或fT (t )cnei nt(n0,1,2,)（ 13）n或 1TfT (t)2T f T ( )e in dei nt（ 14）nT2这就是傅立叶级数的

15、（虚）指数形式或说傅立叶级数的复数形式 。 cn 称为函数f T (t) 的复傅立叶系数。为了与后续要讲的傅立叶变换的符号统一，可将复傅立叶系数“cn ”写成“ F (n) ”或“ F (n) ”（注意，在后面要讲的傅立叶变换中，是变量，而这里傅立叶级数中的却是常量，变量是 n ，所以不妨随着 n而把常量的带到 F ( n ) 中去以 n做为自变量） 。由式（ 10）、式（ 11），我们还容易得出如下的一些系数关系：| cn | | c n |1an2bn21 An ；22cnc n （即cn 和 cn 是共轭复数） ；Arg cnArctgbnArctgbnn ；anancn| cn | e

16、iArg cn| cn | ein1An ei ncn eint2在（ 13）式中，单独一项（或写作 cn eint ）并非谐波分量，而是一虚指数函数，只有下标为n和 n 的两项之和才组成一个谐波分量，即在复数形式中，第n 次谐波为 cn ei n tc n e int（或写作cn ein tc n e in t ）。这是因为有 虚指数 ei的样子看起来，整个式子带一个i ，好象是个纯虚数，但由欧拉公式又恰可说明它一般是个复数而不是虚数，注意这个 i 是作为 e 的指数而不是作为一个系数。从函数角度看，虚指数函数ein t是实变量 t 的复函数。当然，将虚指数说成是复指数也是对的。精彩文档cn

17、 ein tc ne in t1 An ei n ein t1 A n ein e in t221i ( n tn )1i ( n t n )2 An e2 AneAn cos(n tn )这也显示了同一个 n 的两个复数加起来能得到一个实数，从而说明了为什么可以将一个实函数f (t) 展开为复数。这还说明了另一层意义：虽然在复数形式中引用n 从而出现了n ，但这并不表示存在着什么负频率（考虑频率物理意义，频率应该总是非负的），而只是将实的第n 次谐波分量分写成两个复数项后出现的一种数学形式。总之，由上可知， 任意周期函数f T (t) 可被分解为许多不同频率的虚指数函数ein t的线性组合，

18、其各量的复数幅值（又称为复数幅度或复数振幅）为cn 。以上讨论了周期函数的傅立叶分解（或说展开）。下面讨论非周期函数的傅立叶分解。任何一个非周期函数f (t) 都可被看作是由某个周期函数f T (t) 当 T时转化而来的。 为了说明这一点，我们作周期函数为T 的函数 f T (t ) ，使其在 T, T )之内等于 f (t) ，而在 T, T ) 之外按周期延2222拓到整个数轴上，如图1 所示。显然， T 越大， f T (t) 与 f (t) 相等的范围也越大，这表明当T时，周期函数 f T (t ) 便可转化为非周期f (t)函数 f (t ) ，即有limT这样，在（ 14）式中令

19、Tf (t ) 的展开式，即1f (t )limTnTfT (t )f (t)时，结果就可以看成是To2T fT ( )e i n d ei n t 。 （ 18）fT1 (t )2t当 n 取一切整数时，n 所对应的点便均匀地分布在整个数轴上。若两个相邻点的距离以n 表示，即2onnn1TfT2 (t )或T2，n则当 T时，有n0 。故（ 18）式又可写为oT1 )e i n deintf (t )lim02T f T (n （ 19）n22图 1n1T当 t 固定时， 2Tf T ()e ind eint 是参数n 的函数，记为T ( n ) ，即221TT ( n ) 2T f T (

20、 )e i n d ei nt 。22利用 T(n ) 可将（ 19）式写成f (t)limT ( n )nn0n显然，当n0，即T时， T(n )(n ) ，这里( n )1 fT ( )e i n d ei nt ，从而 f (t ) 可以看作是( n ) 在 (2,) 上的积分：tt（ 20）6实用标准文案f (t)( n )d n（ 21）也即f (t)1f ( )e i n d ei n t d n由于当 T2时，上述推导中的再不象在前面讨论傅立叶级数时那样被看作参（变）量是固定的（即在讨论过程中暂时固定） ，而是认作频率间隔n（nnn 1n( n 1)）而成变量（即作为积分过程变量

21、）趋于0 ，即意味着不连续变量nn 趋于一连续变量，于是上式也可写成f (t )1f ( ) e id eit d（ 22）2（还可直接认识刚才所说的：当 T时，2成为变量而趋于 0，于是 n 仍就是变量，且当不T趋于 0 时， n趋于 0 时， n是离散变量；而当就成为一连续变量，记这连续变量为）。另外，不妨还可将（22）式中的又写成，而使（ 22）式改写成f (t )1f ( )e id ei t d（23）2这样做的理由是： . 首先，根据数学分析原理，在（21）式中，因为是定积分，改变积分变量n 为 ，是不受影响的，即 f (t )( )d成立，这就直接导致（23）式。 . 就物理意义

22、而言，一量被称为频率，不在于它在一式中是否用某一符号出现，而在于它在存在有频率概念的式子 （如谐函数、 虚指数函数） 中的相对位置。 如在 An cos(ntn ) 中，频率是 n而不是，又如在 ein t 中，频率是 n 而不是。于是在（ 22）式中，既然正好占领了那个位置，所以指的就是频率。虽然在（ 22）式的推导过程中，不是，但在过程之外，与毕竟可以在同一根频率轴上取值，所以不妨将写成 ，以使过程之外的使用中符号根据意义统一。式（ 23）称为函数f (t) 的傅立叶积分公式。傅立叶积分定理应该指出，上式只是我们不讲究条件由（18）式就其右端从形式上推出来的，是不严格的。那么一个非周期函数

23、f (t) 在什么样的条件下，可以用傅立叶积分公式来表示呢？下面就给出一个相关的定理：傅立叶积分定理：若 f (t ) 在 (,)上满足下列条件：. f (t ) 在任一有限区间上满足狄利克雷（ Dirichlet ）条件； .f (t) 在无限区间 (,) 上绝对可积 ( 即积分f (t) dt 收敛 ) ，则在 f (t) 的连续点 t 处，有 f (t )1f ( )e ideit d成立，而在 f (t) 的间断点 t 处，应以 f (t 0) f (t0) 来22代替左端的f (t) 。该定理的证明可见菲赫金哥尔茨数学分析原理或微积分学教程。这里从略。傅立叶积分的三角形式上述傅立叶积

24、分公式还可以化成三角形式。（ 23）式是f (t) 的傅立叶积分公式的虚指数形式，利用欧拉公式，可将它转化为实三角形式。因为f ( t)1f ( ) e id eit d21f ( ) ei ( t) d d21f ( ) cos(t) d if ( ) sin (t)d d ，2精彩文档考虑到积分f ( ) sin (t) d 是的奇函数，故有f ( ) sin( t)dd0，从而f (t )1f ( ) cos( t)dd（ 24）2又考虑到积分f ( ) cos ( t)d 是的偶函数，故（24）式可写为f (t)1f ( ) cos(t)dd（ 25）0这就是 f (t ) 的傅立叶积

25、分公式的实三角形式。【注】：对于傅立叶级数及傅立叶积分，f (t) 不限于是实函数，也可以是以实变量t 为自变量的复变函数。这种情形下，傅立叶级数及傅立叶积分（包括后面要谈的傅立叶变换）的定义和性质都成立。7. 2 傅立叶变换与傅立叶逆变换我们已知，若函数f (t) 满足傅立叶积分定理中的条件，则在f (t) 的连续点处下式成立：8实用标准文案f (t)1f ( )e id eit d。从该式出发，若设2F ( )f (t)e it dt ，则有f (t)1F ( )eit d。2从这两个式子可见，f (t ) 和 F () 通过指定的积分运算可以互相表达，也就是说，二者可以互逆变换。于是我们

26、引出如下定义。定义： 设函数 f (t ) 满足傅立叶积分定理中的条件，则在f (t ) 的连续点处，表达式F ( )f (t )e it dt（ 26）及f (t)1F ()eit d（ 27）2都有存在意义。那么这时就称（26）式为函数f (t ) 的傅立叶变换式，记为F ( )F f (t )FT f (t ) 或 f (t )F( )，并称函数 F ( ) 为 f (t ) 的傅立叶变换，还称函数F ( ) 为 f (t ) 的象函数；称（ 27）式为函数 F () 的傅立叶逆变换式，记为f (t )F -1F( )FT F ( ) 或 f (t)F( )，并称函数 f (t) 为 F

27、 () 的傅立叶逆变换，还称函数f (t ) 为 F () 的象原函数。【注】：1. 傅立叶变换及其逆变换中的函数f (t) 不限于实函数， 也可是 t 的复函数， 这时本章给出的傅立叶变换及其逆变换的定义和性质仍成立。这在上节末尾已提及，特在此强调指出一下；2. 求一个函数的傅立叶变换（或傅立叶逆变换）实际属于求一个含参数的广义积分；3.使用傅立叶变换式（26）和傅立叶逆变换式（27）时，总默认是在f (t ) 的连续点处成立；4. 在不考虑函数在间断点处取值的意义下，f (t) 与 F ( ) 是一 一对应的，因此称象函数 F () 和象原函数 f (t) 构成了一个傅氏变换对，可表为：f

28、 (t)F ( ) 。但注意使用这种表达式时，两边的函数不能随意互换位置，因为我们总是固定认为右方函数是左方函数经傅立叶变换的结果，而左方函数是右方函数经傅立叶反变换的结果。记号F 、F -1、FT和 FT可看作是算符。5. 傅立叶逆变换也即函数 f (t) 的傅立叶积分；从对函数的分解表示角度看，傅立叶积分或说傅立叶逆变换式就是函数 f (t ) 的傅立叶分解或说傅立叶分析。6. 虽然表面看去，在上述（26）和（ 27）式这样以角频率出现的傅立叶变换及其逆变换定义形式下，其正变换式和逆变换式中的系数因子不同（即在正变换中为1，而在逆变换中为1），从而显得对称22性不好，但其实如果将这种定义形

29、式中的角频率按化为频率，就成为系数对称的形式：F ( )f (t)e i 2 t dt ， f (t )F (v)ei 2t d 。有的文献在角频率形式下将傅立叶变换和逆变换定义成系数对称式：F ( )1f (t )e i t dt ， f (t )1F ( )ei t d ，22但这种定义在频率形式下就反而会系数不对称。我们考虑到频率比角频率具有更直接的物理意义，故选择了前一定义形式。7. 注意 F ( ) 中的自变量是，但是由于（ 26）式中参变量前跟有一个复常数 i，这导致算出的F ()的式子中， i 总是伴随同时出现而呈 i 、 (i ) 22 （这里右边虽未见i ，但由其左边可知总可

30、因此化出 i 来）等形式，故有的文献常把F () 记为 F (i) 。当然，如果在某一使用中先已记为F ( ) 而后又想使用后一记法时， 就不应写成 F (i) ，而应写成如 F (i ) 或 G(i) 等。因为改变了自变量后，算子也就变了，1“ F ”变成“ F1 ”或“ G ”了。这就犹如可以把“f ( x)( ax)3ax b ”改记成“ h( ax)(ax) 3axb ”精彩文档时，是同一个道理。7. 3 广义函数在 2 中我们定义了古典意义下的傅立叶变换。但有许多在物理学和工程技术中重要的函数不满足前述的傅立叶积分定理的条件，如常数、单位阶跃函数、符号函数、周期函数等，就不满足定理中的绝对可积条件（即不满足条件：f (t) dt）；又如我们下面马上要讲到的函数，它不是普通意义上的函数，而是广义函数中奇异函数中的一种，严格说来，它谈不上在一点的值，所以也就谈不上满足傅立叶积分定理的条件。为了使这些函数也能进行傅立叶变换，须引入广义函数的概念，这样站在一个更一般的角度去考虑问题，人们便发现了适于广义函数的傅立叶变换。本课程不便就一般的、系统的广义函数理论去深入讨论，只是主要针对其中的函数进行讨论，并且结合函数对广义函数的概念给一初步的介绍，以本课程够用为限度。之所以讨论函数，是因为我们