专题76和圆有关的十一类轨迹问题的研究与拓展

1、专题7.6:和圆有关的一类轨迹问题的研究与拓展【探究拓展】探究1 ：已知在ZABC中，NB =二b = 2 S阳BC的最大值为 J33 变式：函数 f (x) = msin x 3cosx(m R)，当 m = 3 时，在. ABC 中，f (A) = 2、3，且 BC=1，若 E为BC中点，贝U AE的最大值为 . +12(或者利用向量的中线模型加以转化)探究2:如果圆(x-m)变式1 ：在平面直角坐标系 xOy中，若满足x(x -k)乞y(k -y)的点(x, y)都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数 k的取值范围是 Lj2,J2】两圆内含和内切变式2:若圆x2 y2 -4x

2、-4y-10 =0上至少有三个不同点到直线 l：ax by =0的距离为2,则直线I斜率的取值范围是 . 2 - J3,2 + J3】变式3:在平面直角坐标系 xOy中，点A 0,3，直线l: y = 2x -4设圆的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y = x -1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程;(2)若圆C上存在点 M，使MA =2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围 解：(1)切线方程为y =3或y =-一x (2)命题背景：阿波罗尼奥斯圆；转化为两圆的位置关系问题处理探究3 :平面内到A(0，-3)的距离为1，到点B (4,0)的距离为2的直线有条.变式：在平面直角坐标系

3、xOy中，若与点 A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条,则实数m的取值范围为(2 -2、.3,2)2,2 .3考察圆与圆的位置关系，研究公切线的条数探究4:写出以P(x1，yJ，Q(X2, y2),为直径的圆的方程 . (y -2m)2 =4上总存在两点到原点的距离为1，则实数 m的取值范围为变式1：若实数a,b,c成等差数列，点 P (-1,0)到动直线ax by 0上的射影为M ,已知点N (3,3),则线段MN长度的最大值为 变式2 :若点G为 ABC的重心，且AG丄BG,则sinC的最大值为41汗p二一存J I、：威如肿#切冈 士 -_J_ Jf_jf-l

4、-对爲询涕松护心6灯心知幼 罔 0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什 本小题考查曲线与方程的关系，轨迹概念等解析几何的基本思想以及 知识的能力解：如图，设 MN切圆于N,则动点M组成的集合是P= M|MN |=入 |MQ |，式中常数入 0.因为圆的半径 |0N|=1，所以 |MN|2=|M0|2 |0N|2=|M0|2 1.设点 M 的坐标为(x, y), V *；x2 + y2 -1 =-2 f + y2整理得（入 2 1）（x2+y2 ） 4 入 2x+（1+4 入 2）=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程55当入=1时，方程化为x=-，它表示一条

5、直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（一，0）,442 21 3 2当入工1时，方程化为（X ）2+y2=2它表示圆，&2 1（扎 2_卄2 2该圆圆心的坐标为?/-1,0），半径为32 2-112分问题3 :满足条件AB二2,AC =&2BC的ABC的面积的最大值是问题4:已知点A（ -2,0）,请说明理由.得变式 2 :已知点 A(-2,0) , B(4,0)请说明理由.拓展 1 :设圆 C : (x 4)2 y2 =16 ,B（4,0），圆C:（x+4$+y2 =16 , P是圆C上任意一点，问是否存在常数 九，使=16 , P是圆C上任意一点，问：在平面上是否存在点B，使，圆C:（x+4

6、2+（y+b）2=16，P是圆C上任意一点，若PA为定值，求b的值.2 2动圆 M :x y 2ax2(8a)y 4a 22 =0 , 探究：平面内是否存在定点 P，过点P作圆C的一条切线，切点为 T1，过点P作圆M的一条切线，切点为T2，使无穷多个圆m，满足p4 ?如果存在，求出所有这样的点p ；如果不存在，说明理由2拓展2:在 ABC中，点D在边BC上，且DC =2BD，AB : AD : AC =3: k:1，则实数k的取值范围为建立如图1所示平面直角坐标系，令A(x,y)，由Ap得到：址A”，即有(x-2)2 y22 28x 8y_38x 30，那么点A x,y的轨迹为圆,并且得到其标

7、准方程为:19 229(x-云)飞.又由题意知,AC-，那么bk，2 2.2 x 亠 y38x -35 38k 22+x -4x+4+y6x 36 6x3易知k2 x为关于x的增函数；并且，圆上点的横坐标的范围为-1代入得到：k2烤眷)，即拎 拓展3:已知圆0:x2 V =1和点A( -2,0)，若定点B(b,0)(b = -2)和常数满足：对圆O上那个任意一点M ,又对圆沁2 +2b =0 O上那个任意一点 M，都有|MB|二|MA|成立，解得1b =二2或$12都有 |MB| |MA|，则(1)b=； (2)怎= .解：设 M(x,y),代入 |M B打 |M A| 所以(x-b)2 y2

8、(x - 2)2 - y2,展开后化简得(-1)x2 . 2(2 -1)y2 (4 2 - 2b)x -b2 4 2 =0，亦即 x2 y2 4 2 2b x - 4。b 二。.2八 2由 |MB|=|MA| 可知._0，故 b =-，2拓展4:在X轴正半轴上是否存在两个定点B，使得圆xy2 =4上任意一点到 A、B两点的距离之比为常数1?如果存在，求出点 A、B坐标;2如果不存在,请说明理由解：假设在x轴正半轴上是否存在两个定点B，使得圆2 2x y =4上任意一点到 A、 B两点的距离之比为常数1,设 P(x, y)、A(Xi,O)、B(X2,0)，其中 X2 Xi 0。2即_Xi)y 1

9、对满足x2 y2 =4的任何实数对(x, y)恒成立,(x-X2)2 y22整理得：2 2 2 2 2 22x(4% _x2) x2 -4x1 = 3(x y )，将 x y =4 代入得:2 22x(4xi -X2) X2 -4xi =12，这个式子对任意-2,2恒成立，所以一定有:4为一x2 =0宀12，因为X2 X1 0，所以解得：“1、“4。所以，在x轴正半轴上是否存在两个定点A(1,0)、B(4,0)，使得圆x2 y2 =4上任意一点到 A、B两点1的距离之比为常数 1。2拓展5 :如图，铁路线上线段 AB = 100km，工厂C到铁路的距离 CA = 20 km。现要在A、B之间某

10、一点D处，向C修一条公路.已知每吨货物运输1km的铁路费用与公路费用之比为3: 5，为了使原料从供应站B运到工厂C的费用最少，点 D应选在何处?解：建立如图所示直角坐标系3先求到定点 A、C的距离之比为 二的5P( x, y的轨迹方程，.x2 (y -20)2二3，整理即5得动点P(x, y)的轨迹方程:4x2 4y290y -900 二 0，令y =0，得x -二15 (舍去正值)即D(-1 5, 0) DA =15, DC =25。下面证明此点D即为所求点:自点B作CD延长线的垂线，垂足为 E,在线段BA上任取点D1，连接CD1，再作D1E BE于E1.设每吨货物运输1km的铁路费用为3k

11、(k . 0)，则每吨货物运输1km的公路费用为5k，如果选址在D1处,那么总运输费用为 y =3kBD1 5kD1(3BD1 5D1C)k，BD cd 255而 lBE1D1 s u：bed s .：CAD , 13BD,C(3d,0),其图3中ti0,则由条件，得丿(工+加“ 4-于=2 3g)2 -F yz 化简号得Cx 5 a)2 十貸=f 其中 y H 0*于是(x 5a)1 16ts4 衣 尤 一 5“4心*工 9 a*由角平分线定理及器=氛得 D(afO),(下非4贾)AD _/ U-aV -hy1AC V+ /上特5 JU_ 3： d F 疋二曲丫1 、C-T 3a)2 + 折

12、护(x 5z)*由 a jb0)的上顶点为 A,左，右焦 a b4 b为F1, F2且椭圆C过点P(3, 3)，以AP为直径的圆恰好过右焦点(1) 求椭圆C的方程；(2) 若动直线I与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在 x轴上是点分别F2.否存在两定点，使其到直线I的距离之积为1?若存在，请求出两定点坐标；若不存在，请说明理由4 b161o解: (1)因为椭圆过点P(4,；),所以器+討,解得a2=2,又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AFd_F2P,b- 34- 3c2-1, b2=c(4_3c).,而 b2=a2-c2=2c2，所以 c22c+ 仁0,解得 c2=1，故椭圆 C 的方

13、程是 乡+y2=1. 当直线I斜率存在时，设直线I方程为y=kx+p，代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p2 2=0.因为直线 I 与椭圆 C 有只有一个公共点，所以 =16k2p2 4(1+2k2)(2p2 2)=8(1+2k2 p2)=0，即 l+2k2=p2.设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线I的距离之积为2 21 则 lks+p| |kt+p| |k st+kp(s+t)+p | h 则,k2+k2+1=k2+1=1，即2(st+1)k+p(s+t)=0(*)，或(st+3)k +(s+t)kp+2=0 (*).rf-f由(*)恒成立，得丰：=0，解得“T

14、 4,或tr1，而(*)不恒成立s+t =0.jI長=1 当直线l斜率不存在时，直线方程为x= = .2时，定点(1 , 0)、F2(1 , 0)到直线 l 的距离之积 d1 d2=( 2 1)( ,2+1)=1.综上，存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l的距离之积为定值1.思考：能否利用切线方法进行一定程度的优化？拓展2 :在平面直角坐标系xOy中，椭圆x22丄b2= 1(a b 0)的离心率为3-，焦距为6 .5(1)求椭圆C的方程;P(x,y。)引椭圆C的两条切线，切点分别为T1,T2 ,25(2)若点P(x0,y)在定直线x上运动，过点 求证：直线TJ2过定点Q(m,0)(3) 试问第(2)问的