二阶常系数齐次线性微分方程PPT学习教案

1、会计学1二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程其中 p 、q 为常数第1页/共18页1.二阶齐次方程解的结构:定理定理 1 1 如果函数如果函数)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个解解, ,那末那末2211ycycy 也是也是(1)(1)的解的解. . （ 21,cc是是任意常数）任意常数） 问题:一定是通解吗？一定是通解吗？2211ycycy 0 (1)ypyqy第2页/共18页定理定理 2 2：如果：如果)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个特特解解,

2、 ,且且常数，常数， )()(21xyxy 12cc、是任意常数，是任意常数，那么那么2211ycycy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. . 例如, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常数常数且且 xyy.sincos21xcxcy 第3页/共18页-特征方程法,rxey 设设将其代入方程, 得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有02 qprr特征方程,2422,1qppr 特征根特征根第4页/共18页 有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为得齐次方程的通解为1111212 =();r xr xr xyC eC xeCC x e 代入

3、原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设第5页/共18页 有两个不相等的实根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy )0( 第6页/共18页 有一对共轭复根1,ri2,ri()1,ixye ()2,ixye )0( 由欧拉公式cossiniei ()1cossin,ixxixxyeeeexix ()2cossin,ixxixxyeeeexix第7页/共18页重新组

4、合)(21211yyy ,cos xex 2121()2yyyi,sin xex 得齐次方程的通解为).sincos(21xcxceyx 1122(1)cotyyyxCy 、仍仍是是方方程程的的解解，且且第8页/共18页定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.044的通解的通解求方程求方程 yyy解特征方程为,0442 rr解得特征根,221 rr故所求通解为.)(221xexccy 例1第9页/共18页.052的通解的通解求方程求方程 yyy解特征方程为,0522 rr解得特征根,2121jr ，故所求通解为).2sin2cos(21xcxceyx 例2第10页

5、/共18页01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根通解中的对应项 kr若若是是 重重根根 rxkkexcxcc)(1110 jk 复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxcxcc sin)(cos)(11101110 第11页/共18页注意n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.nnycycycy 2211第12页/共18页特征根为, 154321jrrjrrr 故所求通解为.sin)(cos)(54321xxccxxccecyx 解, 01222345 rrrrr特征方程为, 0)1)(1(22 rr.022)3()4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例3第13页/共18页二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)第14页/共18页02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 第15页/共18页一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1