三角恒等变换、正余弦定理及应用—讲

1、第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切【2013年高考会这样考】1考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值2利用三角公式考查角的变换、角的范围【复习指导】本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式，准确把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、变形用、创造条件用)；同时要掌握好三角恒等变换的技巧，如变换角的技巧、变换函数名称的技巧等基础梳理1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(2)C()：cos()cos_cos_sin_sin_；(3)S()：sin()sin_cos_cos_sin_；(4)S()：sin()

2、sin_cos_cos_sin_；(5)T()：tan()；(6)T()：tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 22sin_cos_；(2)C2：cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)T2：tan 2.3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)；(2)cos2，sin2；(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4函数f()acos bsin (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos()，其中可由a，b的值唯一确定两个技巧(1)拆角、拼角技

3、巧：2()()；()；.(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等双基自测1(人教A版教材习题改编)下列各式的值为的是( )A2cos2 1 B12sin275C. Dsin 15cos 15解析 2cos21cos；12sin275cos 150；tan 451；

4、sin 15cos 15sin 30.答案 D2(2011福建)若tan 3，则的值等于( )A2 B3 C4 D6解析 2tan a236，故选D.答案 D3已知sin ，则cos(2)等于( )A B C. D.解析 cos(2)cos2(12sin2)2sin2121.答案 B4(2011辽宁)设sin，则sin 2( )A B C. D.解析 sin 2cos2sin21221.答案 A5tan 20tan 40tan 20 tan 40_.解析 tan 60tan(2040)，tan 20tan 40tan 60(1tan 20tan 40)tan 20tan 40，原式tan 20

5、tan 40tan 20tan 40.答案 考向一 三角函数式的化简【例1】化简.审题视点 切化弦，合理使用倍角公式解 原式cos 2x. 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向【训练1】 化简：.解 原式tan.考向二 三角函数式的求值【例2】已知0，且cos，sin，求cos()的值审题视点 拆分角：，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦解 0，cos ，sin ，coscoscoscossins

6、in，cos()2cos2121. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系【训练2】 已知，sin ，tan()，求cos 的值解 ，又tan()0，0.1tan2().cos()，sin().又sin ，cos .cos cos()cos cos()sin sin().考向三 三角函数的求角问题【例3】已知cos ，cos()，且0，求.审题视点 由cos cos()解决解 0，0.又cos()，cos ，sin sin()，cos cos()cos cos(

7、)sin sin().0. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好【训练3】 已知，且tan ，tan 是方程x23x40的两个根，求的值解 由根与系数的关系得：tan tan 3，tan tan 4，tan 0，tan 0，0.又tan().考向四 三角函数的综合应用【例4】(2010北京)已知函数f(x)2cos 2xsin2x.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值审题视点 先化简函数yf(x)，再利用三

8、角函数的性质求解解 (1)f2cossin21.(2)f(x)2(2cos2x1)(1cos2x)3cos2x1，xR.cos x1,1，当cos x1时，f(x)取最大值2；当cos x0时，f(x)取最小值1. 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中需要利用这些公式，先把函数解析式化为yAsin(x)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质【训练4】 已知函数f(x)2sin(x)cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：f(x)2sin xcos xsin 2

9、x(1)f(x)的最小正周期T.(2)x，2x.sin 2x1.f(x)的最大值为1，最小值为. 难点突破10三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论【示例】 (2011江苏)已知tan 2，则的值为_二、给值求角“给值求角”：实质上

10、也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角【示例】 (2011南昌月考)已知tan()，tan ，且，(0，)，求2的值三角恒等变换与向量的综合问题(教师备选)两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向【示例】 (2011温州一模)已知向量a(sin ，2)与b(1，cos )互相垂直，其中.(1)求sin 和cos 的值；(2)若5cos()3cos ，0，求cos 的值 第6讲 正弦定理和余弦

11、定理【2013年高考会这样考】1考查正、余弦定理的推导过程2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法【复习指导】1掌握正弦定理和余弦定理的推导方法2通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择 基础梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22

12、abcos_C余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其

13、它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换双基自测1(人教A版教材习题改编)在ABC中，A60，B75，a10，则c等于( )A5 B10 C. D5解析 由ABC180，知C45，由正弦定理得：，即.c.答案 C2在ABC中，若，则B的值为( )A30 B45 C60 D90解析 由正弦定理知：，sin Bcos B，B45.答案

14、 B3(2011郑州联考)在ABC中，a，b1，c2，则A等于( )A30 B45 C60 D75解析 由余弦定理得：cos A，0A，A60.答案 C4在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为( )A3 B2 C4 D.解析 cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.答案 C5已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_解析 a2b2c2ab，cos C，故C150为三角形的最大内角答案 150 考向一 利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A，C和边c.审题视点 已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角

15、形，但要注意解的判断解 由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意【训练1】 (2011北京)在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_；a_.解析 因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sin A，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案 2考向二 利用余弦定理解三角形【例2

16、】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积审题视点 由，利用余弦定理转化为边的关系求解解 (1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B. (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用【训练2】 (2011

17、桂林模拟)已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解 (1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故SABCbcsin A.考向三 利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状审题视点 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断解 由已知(a2b2)sin(AB)

18、(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系【训练3】 在ABC中，若；则ABC是( )

19、A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析 由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径).即tan Atan Btan C，ABC.答案 B考向三 正、余弦定理的综合应用【例3】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面积审题视点 第(1)问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a，b的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin Csin(BA)2sin 2A进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a，

20、b的值即可解决问题解 (1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.又因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4，联立方程组解得(2)由题意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.当cos A0，即A时，B，a，b；当cos A0时，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.联立方程组解得所以ABC的面积Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式对任意三角形都成立，通过这些等式就可以把有限的条件纳入到方程中，通过解方程组获得更多的元素，再通过这些新的条件解决问题【训练3】 (2011北京西城一模)设ABC

21、的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解 (1)因为cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因为ABC的面积Sacsin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2. 阅卷报告4忽视三角形中的边角条件致错【问题诊断】 考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件.,【防范措

22、施】 解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件.【示例】(2011安徽)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高错因 忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根实录 由12cos(BC)0，知cos A，A，根据正弦定理得：sin B，B或.以下解答过程略正解 在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根据正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC边上的高为bsin C.【试一试】

23、(2011辽宁)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.尝试解答 (1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45. 第7讲正弦定理、余弦定理应用举例【2013年高考会这样考】考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题【复习指导】1本讲联系

24、生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法2加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力基础梳理1用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等2实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1)(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图(2)(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30，北偏西45，西偏东60等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数一个步骤解三角形应用题的一般步骤：(

25、1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解双基

26、自测数学1618 为您分享 此文档，更多高质量素材尽在数学16181(人教A版教材习题改编)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 m C25 m D. m解析由正弦定理得，又B30AB50(m)答案A2从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()A BC90 D180解析根据仰角与俯角的定义易知.答案B3若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10解析如

27、图答案B4一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析如图所示，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10(海里)，在RtABC中，得AB5(海里)，于是这艘船的速度是10(海里/时)答案C5海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC60，ABC75，则B，C间的距离是_海里解析由正弦定理，知.解得BC5(海里)答案5考向一测量距离问题【例1】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的

28、距离，在这岸定一基线CD，现已测出CDa和ACD60，BCD30，BDC105，ADC60，试求AB的长审题视点 在BCD中，求出BC，在ABC中，求出AB.解在ACD中，已知CDa，ACD60，ADC60，所以ACa.BCD30，BDC105CBD45在BCD中，由正弦定理可得BCa.在ABC中，已经求得AC和BC，又因为ACB30，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为ABa. (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解【训练1】 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B

29、、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离解在ACD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1 km.又BCD180606060，故CB是CAD底边AD的中垂线，所以BDBA.又ABC15在ABC中，所以AB(km)，同理，BD(km)故B、D的距离为 km.考向二测量高度问题【例2】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60，在山顶C测得塔顶A的俯角为45，已知塔高AB20 m，求山高CD.审题视点 过

30、点C作CEDB，延长BA交CE于点E，在AEC中建立关系解如图，设CDx m，则AEx20 m，tan 60，BDx (m)在AEC中，x20x，解得x10(3) m故山高CD为10(3) m. (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理【训练2】 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，CBD，由正弦定理得，所以BC在RtABC中，ABBCtanACB.考向三正、余弦定理在平面几何中的综合应用

31、【例3】如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB5，AC9，BCA30，ADB45，求BD的长审题视点 由于AB5，ADB45，因此要求BD，可在ABD中，由正弦定理求解，关键是确定BAD的正弦值在ABC中，AB5，AC9，ACB30，因此可用正弦定理求出sinABC，再依据ABC与BAD互补确定sinBAD即可解在ABC中，AB5，AC9，BCA30.由正弦定理，得，sinABC.ADBC，BAD180ABC，于是sinBADsinABC.同理，在ABD中，AB5，sinBAD，ADB45，由正弦定理：，解得BD.故BD的长为. 要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理【训练3】 如图，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.规范解答9如何运用解三角形知识解决实际问