空气动力学：4 第四章 粘性流体动力学基础

1、 工程中遇到的问题大多是粘性流体运动问题，实际的粘性工程中遇到的问题大多是粘性流体运动问题，实际的粘性 流体运动现象远比理想流复杂，从而控制粘性流体运动的流体运动现象远比理想流复杂，从而控制粘性流体运动的 基本方程及其求解也相对复杂。基本方程及其求解也相对复杂。 以下两章的任务是：以下两章的任务是： 介绍粘性流体运动的基本概念、流动现象和流动特征介绍粘性流体运动的基本概念、流动现象和流动特征 建立控制粘性流体运动的基本方程建立控制粘性流体运动的基本方程 得到解决粘性流体运动问题的基本思路、方法和途径得到解决粘性流体运动问题的基本思路、方法和途径 流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪切变形流

2、体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗剪切变形 能力。能力。 流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动。因流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运动。因 此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相对运动能此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相对运动能 力。力。 在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运动状态 下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流体所承受下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流体所承受 剪力大小是不同的。剪力大小是不同的。 粘性流体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间的剪切力表现粘性流体抵抗剪切变形的能力，可通过流层间的剪切力表现 出来（这个

3、剪切力称为内摩擦力）。粘性流体在流动过程中出来（这个剪切力称为内摩擦力）。粘性流体在流动过程中 必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘滞性是流体发生机械必然要克服内摩擦力做功，因此流体粘滞性是流体发生机械 能损失的根源。能损失的根源。 牛顿的内摩擦定律（牛顿的内摩擦定律（NewtonNewton，16861686年）年） F=AU/h F h U 流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。 设设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），则 -流体的动力粘性系数（单位：流体的动力粘性系数（单位：Ns/s/m2= =Pa.

4、s） =/ -流体的运动粘性系数（流体的运动粘性系数（单位：单位：m2/ /s ） 水 水= 1.139 10-6 (m2/s) 空气 空气= 1.461 10-5 (m2/s) h U A F du/dy - - 表示单位高度流层的速度增量，称为表示单位高度流层的速度增量，称为 速速度度梯度梯度 dy du 速度梯度速度梯度 du/dy 物理上也表示流体质点剪切变形速度或角物理上也表示流体质点剪切变形速度或角 变形率变形率 d/dt 。如图所示：。如图所示： 流体内部的剪切力流体内部的剪切力与流体的角变形率成与流体的角变形率成 正比（注意对正比（注意对 于固体而言，于固体而言，与与成正比成正

5、比） d dt 流体切应力与速度梯度的一般关系为：流体切应力与速度梯度的一般关系为： 1 1 . . = 0+du/dy，binghanbinghan流体，泥浆、血浆、牙膏等流体，泥浆、血浆、牙膏等 2 .2 . =（du/dy）0.5 ，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等，伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等 3 .3 . =du/dy ，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等，牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等 4 .4 . =(du/dy)2，胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等 5 . 5 . 0，0，理想流体，无粘流体。理想流体，无粘流体。 n dy du BA 1 dydu

6、2 3 4 0 1 2 2、粘性流体运动特点、粘性流体运动特点 自然界中流体都是有粘性的，因此粘性对流体运自然界中流体都是有粘性的，因此粘性对流体运 动的影响是普遍存在的。但对于具体的流动问题，粘动的影响是普遍存在的。但对于具体的流动问题，粘 性所起的作用并不一定相同。特别是象水和空气这样性所起的作用并不一定相同。特别是象水和空气这样 的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的作用可得到的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的作用可得到 满意的结果。因此，为了简化起见，提出了理想流体满意的结果。因此，为了简化起见，提出了理想流体 的概念和理论。的概念和理论。 以下用若干流动事例说明粘性流动与无粘流动以下

7、用若干流动事例说明粘性流动与无粘流动 的差别。的差别。 （1 1）绕过平板的均直流动）绕过平板的均直流动 当理想流体绕过平板（无厚度）时，平板对流动不产当理想流体绕过平板（无厚度）时，平板对流动不产 生任何影响，在平板表面，允许流体质点滑过平板，但不生任何影响，在平板表面，允许流体质点滑过平板，但不 允许穿透平板（通常称作为不穿透条件）。平板对流动无允许穿透平板（通常称作为不穿透条件）。平板对流动无 阻滞作用，平板阻力为零。阻滞作用，平板阻力为零。 边界面仅满足不穿透条件。边界面仅满足不穿透条件。 边界面满足不穿透条件和无滑移条件。边界面满足不穿透条件和无滑移条件。 但如果是粘性流体，情况就不

8、同了。由于存在但如果是粘性流体，情况就不同了。由于存在 粘性，紧贴平板表面的流体质点粘附在平板上，粘性，紧贴平板表面的流体质点粘附在平板上， 与平板表面不存在相对运动（既不允许穿透，也与平板表面不存在相对运动（既不允许穿透，也 不允许滑动），这就是说，在边界面上流体质点不允许滑动），这就是说，在边界面上流体质点 必须满足不穿透条件和不滑移条件。随着离开平必须满足不穿透条件和不滑移条件。随着离开平 板距离的增大，流体速度有壁面处的零值迅速增板距离的增大，流体速度有壁面处的零值迅速增 大到来流的速度。这样在平板近区存在着速度梯大到来流的速度。这样在平板近区存在着速度梯 度很大的流动，因此流层之间的

9、粘性切应力就不度很大的流动，因此流层之间的粘性切应力就不 能忽略，对流动起控制作用。这个区称为边界层能忽略，对流动起控制作用。这个区称为边界层 区。平板对流动起阻滞作用，平板的阻力不为零区。平板对流动起阻滞作用，平板的阻力不为零 。即。即 L f dxD 0 0 2 （2 2）圆柱绕流）圆柱绕流 S.Gokaltun Florida International University 理想流体绕流圆柱时，在圆柱上存在前驻点理想流体绕流圆柱时，在圆柱上存在前驻点A A ，后驻点，后驻点D, D, 最大速度点最大速度点B B、C C。中心流线在前驻。中心流线在前驻 点分叉，后驻点汇合。根据点分叉，后

10、驻点汇合。根据BernoulliBernoulli定理，流定理，流 体质点绕过圆柱所经历的过程为在体质点绕过圆柱所经历的过程为在A-BA-B（C C）区，）区， 流体质点在流体质点在A A点流速为零，压强最大，以后质点点流速为零，压强最大，以后质点 的压强沿程减小，流速沿程增大，到达的压强沿程减小，流速沿程增大，到达B B点流速点流速 最大，压强最小。该区属于增速减压区，顺压梯最大，压强最小。该区属于增速减压区，顺压梯 度区；度区； 在在B B（C C）-D-D区，流体质点的压强沿程增大，流速沿程区，流体质点的压强沿程增大，流速沿程 减小，到达减小，到达D D点压强最大，流速为零。该区属于减速

11、点压强最大，流速为零。该区属于减速 增压区，逆压梯度区。在流体质点绕过圆柱的过程中增压区，逆压梯度区。在流体质点绕过圆柱的过程中 ，只有动能、压能的相互转换，而无机械能的损失。，只有动能、压能的相互转换，而无机械能的损失。 在圆柱面上压强分布对称，无阻力存在。在圆柱面上压强分布对称，无阻力存在。 （著名的达朗贝尔佯谬）（著名的达朗贝尔佯谬） 0)cos( 2 R s dspD 对于粘性流体的绕流，与理想流体绕流存在对于粘性流体的绕流，与理想流体绕流存在 很大的差别。由于流体与固壁表面的粘附作用，很大的差别。由于流体与固壁表面的粘附作用， 在物面近区将产生边界层，受流体粘性的阻滞作在物面近区将产

12、生边界层，受流体粘性的阻滞作 用，流体质点在由用，流体质点在由A A点到点到B B点的流程中，将消耗部点的流程中，将消耗部 分动能用之克服摩擦阻力做功，以至使其无法满分动能用之克服摩擦阻力做功，以至使其无法满 足由足由B B点到点到D D点压力升高的要求，导致流体质点在点压力升高的要求，导致流体质点在 BDBD流程内，流经一段距离就会将全部动能消耗殆流程内，流经一段距离就会将全部动能消耗殆 尽（一部分转化为压能，一部分克服摩擦阻力做尽（一部分转化为压能，一部分克服摩擦阻力做 功）功） 于是在壁面某点速度变为零（于是在壁面某点速度变为零（S S点），以后流来点），以后流来 的流体质点将从这里离开

13、物面进入主流场中，这的流体质点将从这里离开物面进入主流场中，这 一点称为分离点。这种现象称为边界层分离。在一点称为分离点。这种现象称为边界层分离。在 分离点之间的空腔内流体质点发生倒流，由下游分离点之间的空腔内流体质点发生倒流，由下游 高压区流向低压区，从而在圆柱后面形成了旋涡高压区流向低压区，从而在圆柱后面形成了旋涡 区。这个旋涡涡区的出现，使得圆柱壁面压强分区。这个旋涡涡区的出现，使得圆柱壁面压强分 布发生了变化，前后不对称（如前驻点的压强要布发生了变化，前后不对称（如前驻点的压强要 明显大于后驻点的压强），因此出现了阻力明显大于后驻点的压强），因此出现了阻力D D。 0)cossin(

14、2 0 R s dspD 粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移 条件）是粘性流体运动有别于理想流体运动条件）是粘性流体运动有别于理想流体运动 的主要标志。的主要标志。 粘性的存在是产生阻力的主要原因。粘性的存在是产生阻力的主要原因。 边界层分离的必要条件是，流体的粘性和逆边界层分离的必要条件是，流体的粘性和逆 压梯度。压梯度。 粘性对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡粘性对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡 的扩散等问题起主导作用，不能忽略。的扩散等问题起主导作用，不能忽略。 平动平动 转动（角平分线转动）转动（角平分线转动） 线变形运动线变形运动 角变形运

15、动（角平分线不动）角变形运动（角平分线不动） 流体微团的基本运动形式流体微团的基本运动形式：流体微团在运动过程中，将发生刚 体运动（平动和转动）与变形运动（线变形和角变形运动）。 在在 点处，速度为点处，速度为 ： 速度分解定理：速度分解定理： 德国德国物理学家物理学家 HelmholtzHelmholtz（1821-18941821-1894）18581858年提出的流年提出的流 场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设 在流场中，考虑相距微量的任意两点在流场中，考虑相距微量的任意两点 M0 和和 M1，在，在 速度为速度为 ： )

16、,( 1 tzzyyxxM ),( ),( ),( tzzyyxxw tzzyyxxv tzzyyxxu ),( 0 tzyxM ),( ),( ),( tzyxw tzyxv tzyxu z z u y y u x x u tzyxutzzyyxxu ),(),( 右侧可按变形率及角速度的形式改写为：右侧可按变形率及角速度的形式改写为： y x v y u x x u uu MM 2 1 01 z x w z u z x w z u 2 1 2 1 y y u x v 2 1 将相邻点速度分量台劳展开：将相邻点速度分量台劳展开： 同理：同理： zxxzyvv xzzxyMM 01 xyyxz

17、ww yxxyzMM 01 yzzyxuu zyyzxMM 01 其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动其中，第一项表示微团的平动速度，第二项表示微团转动 引起的，第三项表示微团变形引起的。引起的，第三项表示微团变形引起的。 写成矢量形式：写成矢量形式： rrMuMu )()( 01 定义如下：定义如下： 流体微团平动速度：流体微团平动速度： 流体微团线变形速度：流体微团线变形速度： 流体微团角变形速度（剪切变形速度）：流体微团角变形速度（剪切变形速度）： 流体微团旋转角速度：流体微团旋转角速度： ),(),(),(tzyxwtzyxvtzyxu z w y v x u zzyyx

18、x , z v y w z u x w y u x v yzxzxy 2 1 , 2 1 , 2 1 y u x v x w z u y u x v zyz 2 1 , 2 1 , 2 1 有旋运动与无旋运动有旋运动与无旋运动 流体质点的涡量定义为流体质点的涡量定义为 表示流体质点绕自身轴旋转角速度的表示流体质点绕自身轴旋转角速度的2 2倍。并由涡量是倍。并由涡量是 否为零，定义无旋流动与有旋运动。否为零，定义无旋流动与有旋运动。 v wu zyx i urotu k j 2 变形率矩阵（或变形率张量）变形率矩阵（或变形率张量） 在速度分解定理中，最后一项是由流体微团变形引在速度分解定理中，最

19、后一项是由流体微团变形引 起的，其中起的，其中 称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与称为变形率矩阵，或变形率张量。该项与 流体微团的粘性应力存在直接关系。流体微团的粘性应力存在直接关系。 zzzyzx yzyyyx xzxyxx 定义，流体微团的变形率矩阵为定义，流体微团的变形率矩阵为 该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系 的选择有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变的选择有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变 量。它们是量。它们是 zzzyzx yzyyyx xzxyxx zxyzxyzzxxzzyyyyxx zzyyxx I I I 3

20、222 2 1 对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示对于第一不变量，具有明确的物理意义。表示 速度场的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。速度场的散度，或流体微团的相对体积膨胀率。 如果选择坐标轴是三个变形率矩阵的主轴，则如果选择坐标轴是三个变形率矩阵的主轴，则 此时变形率矩阵的非对角线上的分量为零，相应的此时变形率矩阵的非对角线上的分量为零，相应的 变形率矩阵与不变量为变形率矩阵与不变量为 V z w y v x u I zzyyxx 1 3 2 1 0 0 0 0 0 0 3213 3132212 3211 I I I z z y y x x tzyxtzzyyxx M vvv vv),

21、(),( z z w y y w x x w ww z z v y y v x x v vv z z u y y u x x u uu M M M 1, 2,3 i M iij j v vvxi x ),( 0 zyxM kjivwvutzyx),( kjirzyx ),(zzyyxxM kjiv MMMM wvutzzyyxx),( )( 2 1 )( 2 1 i j j i i j j i ijij j i x v x v x v x v x v )( 2 1 i j j i ij x v x v )( 2 1 i j j i ij x v x v j j i iiM x x v vv 1

22、1 ()() 22 11 ()() 22 11 ()() 22 xxxyxz ijyxyyyz zxzyzz uvuuw xxyzx vuvwv xyyyz uwwvw zxyzz )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 y u x v x w z u z v y w xyz zxy yzx vkji 2 1 zyx v2 对于均匀流：对于均匀流： ( ,0,0)uc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ij 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ij 对于线形（平行）剪切流：对于线形（平行）剪切流： (,0,0)ucy 0/ 20 / 200 000 ij c c 0/ 20 / 200 0

23、00 ij c c 流动无伸长，有角变形，有旋转。流动无伸长，有角变形，有旋转。 纯剪切流：纯剪切流： 流动无伸长，有角变形，无旋转。流动无伸长，有角变形，无旋转。 (,0)ucy cx 00 00 000 ij c c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ij 膨胀流：膨胀流： (,0,0)ucx 流动有伸长，无角变形，无旋转。流动有伸长，无角变形，无旋转。 0 0 0 0 0 0 0 0 ij c 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ij 纯旋转流：纯旋转流： (,0)ucy cx 00 00 000 ij c c 流动无伸长，无角变形，有旋转。流动无伸长，无角变形，有旋转。 0 0 0

24、0 0 0 0 0 0 ij 涡运动：涡运动： 流动有伸长，有角变形，无旋转。流动有伸长，有角变形，无旋转。 2222 (,0)(0, / ,0)r cycx uc r xyxy 22 222222 22 222222 2() 0 ()() ()2 0 ()() 000 ij cxyc yx xyxy c yxcxy xyxy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ij 1 1、理想流体和粘性流体作用面受力差别、理想流体和粘性流体作用面受力差别 流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力和剪 力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状

25、态下，流体力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态下，流体 质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形的能力。因 此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。此，作用于流体内部任意面上的力只有正向力，无切向力。 粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动，粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运动， 流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部任意面上 力既有正向力，也有切向力力既有正向力，也有切向力 2 2、粘性流体中的应力状态、粘性流体中的

26、应力状态 在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点 单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方单位面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方 向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面 积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面积上合应力可分解为法向应力和切向应力。如果作用面 的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解为三个分量 ，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作用面相 切为切应力

27、，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力在 坐标轴向的投影分量。坐标轴向的投影分量。 从而三个面的合应力可表示为从而三个面的合应力可表示为 x x面面 : : y y面面: : z z面面: : kji xzxyxxx kji yzyyyxy kji zzzyzxz 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位 和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法 线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。线方向，第二个下标表示应力分量的投影方向。 如果在

28、同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么 过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。 因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状因此，我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状 态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张量 ）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的，）。根据剪力互等定理，在这九分量中，只有六个是独立的， 其中三法向应力和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩其中三法向应力

29、和三个切向应力。这个应力矩阵如同变形率矩 阵一样，是个对称矩阵。阵一样，是个对称矩阵。 zyyzzxxzyxxy zzzy yzyyyx xzxy zx xx 这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是：一对剪这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明，思路是：一对剪 应力对微元产生的力矩将与彻体力力矩和微元质量的动量矩平衡，而后应力对微元产生的力矩将与彻体力力矩和微元质量的动量矩平衡，而后 二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶小量可略去，从而得二者都正比于微元的体积乘以微距离，是一个高阶小量可略去，从而得 到这一对剪应力相等。到这一对剪应力相等。 注：有的教材将法向应

30、力记为注：有的教材将法向应力记为: : zzzzyyyyxxxx , , 关于应力的几个要点：关于应力的几个要点： （1 1）在理想流体及静止流体中不存在切应力，三个法向应）在理想流体及静止流体中不存在切应力，三个法向应 力相等（各向同性），等于该点压强的负值。即：力相等（各向同性），等于该点压强的负值。即： （2 2）在粘性运动流体中，任意一点的任何三个相互垂直面）在粘性运动流体中，任意一点的任何三个相互垂直面 上的法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的上的法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的 平均值为该点的平均压强的负值。即：平均值为该点的平均压强的负值。即： （3 3）在粘性运

31、动流体中，任意面上的切应力一般不为零。）在粘性运动流体中，任意面上的切应力一般不为零。 3 zzyyxx p 0 yxxy 1 0 0 0 1 0 0 0 1 pp zzyyxx 本构关系：本构关系：物体的应力与运动学参数之间存在着一定物体的应力与运动学参数之间存在着一定 的关系。的关系。 固体固体 p弹性力学中这种关系是由胡克定律表示的，即弹性弹性力学中这种关系是由胡克定律表示的，即弹性 固体中应力与应变成正比。固体中应力与应变成正比。 流体流体 p不同的流体有不同的性质，这种关系有不同的类型不同的流体有不同的性质，这种关系有不同的类型 p对于大多数流体对于大多数流体, 应力与应变变化率成正

32、比，或者说应力与应变变化率成正比，或者说 ，应力与应变变化率之间存在着线性关系，服从这，应力与应变变化率之间存在着线性关系，服从这 种关系的流体称为牛顿流体。种关系的流体称为牛顿流体。 牛顿内摩擦定理牛顿内摩擦定理 牛顿牛顿根据实验，最早提出：粘性流体作直线层状流动时，流层根据实验，最早提出：粘性流体作直线层状流动时，流层 之间之间的切应力与速度梯度成正比。即的切应力与速度梯度成正比。即 在在这种层状运动这种层状运动中中 . .所以上式右端的速度梯度实为应所以上式右端的速度梯度实为应 变变化率张量的分量的二倍变变化率张量的分量的二倍, , 即有：即有： 说明说明应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于

33、一般的三维流动应力矩阵与变形率矩阵成正比。对于一般的三维流动， Stokes(1845(1845年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广年）通过引入三条假定，将牛顿内摩擦定律进行推广 ，提出广义牛顿内摩擦定理。，提出广义牛顿内摩擦定理。 du dy 2 yxyx uvdu yxdy 0vx Stokes（英国数学家、力学家，（英国数学家、力学家，1819-1903年）将牛年）将牛 顿的这个公式推广到粘性流体的任意流动情形中去。顿的这个公式推广到粘性流体的任意流动情形中去。 流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与流体是连续的，它的应力矩阵与变形率矩阵成线性关系，与 流体的平动

34、和转动无关。流体的平动和转动无关。 流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择流体是各向同性的，其应力与变形率的关系与坐标系的选择 和位置无关。和位置无关。 当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。当流体静止时，变形率为零，流体中的应力为流体静压强。 由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正由第三条件假定可知，在静止状态下，流体的应力只有正 应力，无切应力。即应力，无切应力。即 0 p zzyyxx 因此，在静止状态下，流体的应力状态为因此，在静止状态下，流体的应力状态为 根据第一条假定，并受第三条假定的启发，可将应力矩阵与变根据第一条假定，并受第三条假定的启发

35、，可将应力矩阵与变 形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）：形率矩阵写成如下线性关系式（本构关系）： 式中，系数式中，系数a、b是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定是与坐标选择无关的标量。参照牛顿内摩擦定 理，系数理，系数a只取决于流体的物理性质，可取只取决于流体的物理性质，可取 0 ijij p ijijij ab 2a 应力张量应力张量变形张量变形张量 linear 由于系数由于系数b与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力与坐标系的转动无关，因此可以推断，要保持应力 与变形率成线性关系，系数与变形率成线性关系，系数b只能由应力矩阵与变形率矩阵中只能由应力矩阵与变形率矩阵中 的那些

36、线性不变量构成。即令的那些线性不变量构成。即令 式中，式中， 为待定系数。将为待定系数。将a、b代入，有代入，有 取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出取等式两边矩阵主对角线上的三个分量之和，可得出 123 123 ()() () xxyyzzxxyyzz xxyyzz bbbb bbub 123 2() ijijxxyyzzij bbub 321 33)(32)(bubbu zzyyxxzzyyxx 123 , b , bb 归并同类项，得到归并同类项，得到 在静止状态下，在静止状态下， 标量标量b1和和b3有两种选择方法有两种选择方法, , 这里取一般化情况这里取一般化情况: :

37、将将b1和和b3带入第一式中带入第一式中, , 并用并用 代替代替b2： 0 12 () 33 xxyyzz ppu 321 3)32()(31 (bubb zzyyxx 0 3)( 0pu zzyyxx 310 )31 (bbp 130 0 , bbp 如果将如果将p0理解为热力学参数的压力，则看出，一般情况下，运理解为热力学参数的压力，则看出，一般情况下，运 动时的平均压力并不等于热力学压力。动时的平均压力并不等于热力学压力。 系数系数 与与 有相同的量纲，且与体积膨胀率有相同的量纲，且与体积膨胀率div u有关，故称为有关，故称为 体积粘性系数或第二粘性系数。体积粘性系数或第二粘性系数。

38、 为了消除为了消除 的情况，斯托克斯假设的情况，斯托克斯假设: : p现代实验表明，大多数流体现代实验表明，大多数流体 为正值。为正值。 p但一般但一般div u 不是很大（不可压缩流体为不是很大（不可压缩流体为0 0），）， 值影响值影响 很小。很小。 2 3 0 pp 取取 ，并将上述所有结果带回本构关系式中，并将上述所有结果带回本构关系式中, , 有有: : 将斯托克斯假设带入上式中将斯托克斯假设带入上式中, ,有有 上两式就是著名的上两式就是著名的广义牛顿粘性应力公式广义牛顿粘性应力公式。此式的适用范。此式的适用范 围很宽。围很宽。 用指标形式，上式可表示为用指标形式，上式可表示为 2

39、 2 3 ijijij pu 2 ijijij pu 0 pp ji 3 2 2p- ji V x u x u x u i i j i i j ij 对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为：对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为： y v p yy 2 z w p zz 2 x u p xx 2 y u x v xy z v y w yz x w z u zx 本构关系满足：本构关系满足： 3 zzyyxx p 1 1、流体运动的基本方程、流体运动的基本方程 利用利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分方 程。像推导欧拉方程一样

40、，在流场中取一个微元六面体进程。像推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体进 行分析，以行分析，以x x方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流方向为例，建立运动方程。现在由于是粘性流 体，作用在中心体，作用在中心P P点处不仅有法向应力，而且还有切向应力点处不仅有法向应力，而且还有切向应力 ，控制面上的应力可用中心点处应力泰勒召开表示。，控制面上的应力可用中心点处应力泰勒召开表示。 作用在作用在ABCDABCD和和ABCDABCD两个侧面两个侧面 的法向力差是：的法向力差是： )(zyx x xx 作用在作用在ABBAABBA和和CDCDCDCD两个侧面两个侧面 的切向力差是：的切向力差是

41、： )(zxy y yx Dt Du mFx Dt Du zyxzyx z zyx y zyx x zyxf zx yx xx x )()()()()( 作用在作用在ADADADAD和和BCBCBCBC两个侧面的切向力差是：两个侧面的切向力差是： )(yxz z zx 仍然设单位质量彻体力分量为：仍然设单位质量彻体力分量为：fx , , fy , , fz , , 按照牛顿按照牛顿 第二定律：第二定律： Dt Du 是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。 zyx f Dt Du zx yx xx x 同理：同理： zyx f Dt Dv zyyyxy y

42、zyx f Dt Dw zz yz xz z 这是以应力形式表示的流体运动微分方程，具有普遍这是以应力形式表示的流体运动微分方程，具有普遍 意义，既适应于理想流体，也适应于粘性流体。这是一组意义，既适应于理想流体，也适应于粘性流体。这是一组 不封闭的方程，在质量力已知的情况下，方程中多了不封闭的方程，在质量力已知的情况下，方程中多了6 6个个 应力分量，要想得到封闭形式，必须引入本构关系，如粘应力分量，要想得到封闭形式，必须引入本构关系，如粘 性流体的广义牛顿内摩擦定律。性流体的广义牛顿内摩擦定律。 1 1 ji i i j du f dt du f dtx 2 2、Navier-Stokes

43、方程组（粘性流体运动方程组）方程组（粘性流体运动方程组） 人类对流体运动的描述历史是：人类对流体运动的描述历史是： 15001500年以前年以前Da Vinci（1452-15191452-1519，意大利科学家），意大利科学家）定性描述。定性描述。 17551755年年Euler（瑞士科学家，（瑞士科学家，1707-17831707-1783）推导出理想流体运动方）推导出理想流体运动方 程。程。 18221822年年Navier（1785-18361785-1836，法国科学家）开始考虑流体粘性。，法国科学家）开始考虑流体粘性。 18291829年年Poisson(1781-1846)(17

44、81-1846) 18431843年年Saint Venant（1795-1886)1795-1886) 18451845年年Stokes(1819-1903(1819-1903，英国科学家，英国科学家) )结束，完成了推导过程，结束，完成了推导过程， 提出现在形式的粘性流体运动方程。（历时提出现在形式的粘性流体运动方程。（历时9090年）年） 以以x方向的方程为例，给出推导。方向的方程为例，给出推导。 引入广义牛顿内摩擦定理，即引入广义牛顿内摩擦定理，即 代入得到代入得到 1 () yx xxzx x Du f xyzDt 3 2 2 z u x w y u x v V x u p zxyx

45、 xx 112 2 3 11 x Dupu fV Dtxxx vuwu yxyzxz 对于对于y和和z方向的方程为方向的方程为 这就是描述粘性流体运动的这就是描述粘性流体运动的N-SN-S方程组，适应于可压方程组，适应于可压 缩和不可压缩流体。缩和不可压缩流体。 11 121 2 3 y Dvpvu f Dtyxxy vwv V yyzyz 11 112 2 3 z Dwpwu f Dtzxxz wvw V yyzzz u z w y v x u xx p f Dt Du x 2 3 1 v z w y v x u yy p f Dt Dv y 2 3 1 w z w y v x u zz p

46、 f Dt Dw z 2 3 1 其中其中 是拉普拉斯算子：是拉普拉斯算子： 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。 当不可压时，根据连续方程：当不可压时，根据连续方程： 0 z w y v x u 则不可压粘流的则不可压粘流的 N NS S方程写为：方程写为： u x p f Dt Du x 2 v y p f Dt Dv y 2 w z p f Dt Dw z 2 Vpf Dt VD 1 用三个方向的单位向量用三个方向的单位向量i 、j、k 分别乘上三式并相加，可分别乘上三式并相加，可

47、 得不可压粘流得不可压粘流 N-SN-S方程比较简捷的向量形式：方程比较简捷的向量形式： 其中其中 为速度分量为速度分量 为哈密顿算子为哈密顿算子 为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子 kwj vi uV 2 2 2 2 2 2 2 zyx k z j y i x 2 2 1 ii i ij duup f dtxx 与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以 分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为分解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为 兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性：兰姆型方程。这样有利于研究流体的有旋性： VpfV V

48、 t V 1 2 2 2 )()( 2 1 VVVVVV 事实上速度随体导数中迁移加速度项也可以直接应用向量事实上速度随体导数中迁移加速度项也可以直接应用向量 导数运算公式得到：导数运算公式得到： 定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为：定常、不可压、彻体力有势时格罗米柯方程可化为： VV Vp 2 2 2 3 3、伯努利伯努利( (Bernoulli) )积分积分 伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史伯努利家族（瑞士）前后四代，数十人，形成历史 上罕见的数学大家族。其中，上罕见的数学大家族。其中， Bernoulli, , Nocholas( (尼古尼古 拉斯拉斯. .伯努利伯

49、努利，1623-17081623-1708 ），瑞士伯努利数学家族第一瑞士伯努利数学家族第一 代。代。Bernoulli, , Johann（约翰（约翰. .伯努利伯努利，1667-17481667-1748 ），）， 伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。伯努利数学家族第二代，提出著名的虚位移原理。 Bernoulli, , Daniel（丹尼尔（丹尼尔. .伯努利，伯努利，1700-1782 1700-1782 ），），伯伯 努利数学家族第三代，努利数学家族第三代， Johann伯努利的儿子，著有流伯努利的儿子，著有流 体动力学（体动力学（17381738），将微积分方法运用到流体动

50、力学），将微积分方法运用到流体动力学 中，提出著名的伯努利方程。中，提出著名的伯努利方程。 将定常、不可压、彻体力为重力（将定常、不可压、彻体力为重力（=gy）条件下的格罗）条件下的格罗 米柯方程沿流线米柯方程沿流线 投影得：投影得：sd sdVsdV V gy p sd 2 2 2 )( 2 2 wdzvdyudxds V gy p s )( 2 2 wdzvdyudx V gy p d 沿流线 上式与第二章中得到的有粘性损失一维能量方程形式相同。其上式与第二章中得到的有粘性损失一维能量方程形式相同。其 中中 为单位质量流体所具有的机械能，为单位质量流体所具有的机械能， 是从是从1 12 2

51、 流动过程中粘性力做功使每单位质量流体损失的能量。流动过程中粘性力做功使每单位质量流体损失的能量。 写为高度量纲：写为高度量纲： 如果令如果令: : 方程变为方程变为: : )(wdzvdyudxdE dE Vp gyd) 2 ( 2 2 2 Vp gy 21 E 21 2 22 2 2 11 1 22 E Vp gy Vp gy 沿着同一条流线积分，得到：沿着同一条流线积分，得到： 21 2 22 2 2 11 1 22 h g Vp y g Vp y 上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上无论势能、上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上无论势能、 压能和动能如何转化，总机械能是沿程减小的，

52、总是从机械压能和动能如何转化，总机械能是沿程减小的，总是从机械 能高的地方流向机械能低的地方，不能保持守恒，减小的部能高的地方流向机械能低的地方，不能保持守恒，减小的部 分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的能量。下图是理分代表流体质点克服粘性应力做功所消耗的能量。下图是理 想流和粘流沿流线（管）的能量关系几何意义对比。想流和粘流沿流线（管）的能量关系几何意义对比。 应该指出，由于粘性流体必然存在剪切层是有旋的，上述对应该指出，由于粘性流体必然存在剪切层是有旋的，上述对 N-SN-S方程的积分只能沿流线成立。方程的积分只能沿流线成立。 y1 1 p 2 p y2 g V 2 2 1 g V 2

53、 2 2 H1H2 静力水头线 总水头线 1 2 y x hw12 y1 1 p 2 p y2 g V 2 2 1 g V 2 2 2 H1H2 静力水头线 总水头线 1 2 y x 理想流理想流粘性流粘性流 1 1 2 2 例：进出口面积相等高度相同的管道例：进出口面积相等高度相同的管道, , 体积流量体积流量Q Q=30m3/s, , 测得两端压降为测得两端压降为 p1-p2= =5kpa , ,求流动的粘性损失功率。求流动的粘性损失功率。 解：设流动定常、一维，解：设流动定常、一维， 由由N-SN-S方程的伯努利积分：方程的伯努利积分： 得从得从1-21-2每单位质量流体损失的能量为：每

54、单位质量流体损失的能量为： 则则1-21-2的损失功率为：的损失功率为： ( (注：上述管道围起来可看成风洞的一段，因此注：上述管道围起来可看成风洞的一段，因此1-21-2压差可看成由风扇提压差可看成由风扇提 供用于克服管道损失，故所求即风扇功率，可由风扇两端的有机械功输供用于克服管道损失，故所求即风扇功率，可由风扇两端的有机械功输 入的能量方程验证。入的能量方程验证。) ) 21 2 22 2 2 11 1 22 E Vp gy Vp gy 21 21 pp E mEN 21 损 )(150)( 21 21 kwQppQ pp NS方程为非线性偏微分方程，它的求解一般需要借助计方程为非线性偏

55、微分方程，它的求解一般需要借助计 算机用数值方法求解。而在一些简单的粘流问题上，算机用数值方法求解。而在一些简单的粘流问题上，NS 方程也有解析解。方程也有解析解。 例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，二壁固定。例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，二壁固定。 2b x y 解解: : 设流动定常，彻体力可略。设流动定常，彻体力可略。 二维不可压二维不可压 NS方程写为：方程写为： )( 1 2 2 2 2 y v x u x p y u v x u u )( 1 2 2 2 2 y v x v y p y v v x v u 4. N-S4. N-S方程的解析解举例方程的解析解举例*

56、* 由于由于 ，第二个方程化为：，第二个方程化为： 0),(vyuu 0 y p 即在流动横截面压强不变。即在流动横截面压强不变。 又第一个方程化为：又第一个方程化为： x p y u 2 2 对对 y 积分，注意到积分，注意到 不是不是 y 的函数，对的函数，对 y 积分时当常数看积分时当常数看 x p ) 2 )( 1 21 2 CyC y x p u 由边界条件定常数由边界条件定常数 C1 和和 C2 ：y=b 处，处，u=0，定得，定得 C10， C2b2/2，于是：，于是： )( 2 1 22 yb x p u 即即 u 在在y 向作抛物线分布。中心点流速为：向作抛物线分布。中心点流

57、速为： 表明沿表明沿x x轴轴 是个负值，即压强是逐步下降的。是个负值，即压强是逐步下降的。 一段长度一段长度 L 上的压降是：上的压降是： 2 max 2 1 b x p u x p 2 max /2bLup 这个压降是用于克服壁面摩擦阻力的。这个压降是用于克服壁面摩擦阻力的。 2b x y u y x p 璧面间平均流速为：璧面间平均流速为： max 2 0 3 2 )( 3 11 ub x p dyu b V b 壁面摩擦应力为：壁面摩擦应力为： b x p y u by 0 一段长一段长 L 的壁面上摩擦应力是：的壁面上摩擦应力是： 两侧壁面上的总摩擦力是两侧壁面上的总摩擦力是: :

58、LL 00 ) 1( bL x p L)(22 0 这个力刚好等于压降乘以通道面积，说明流动的损失完全消耗这个力刚好等于压降乘以通道面积，说明流动的损失完全消耗 在克服壁面摩擦上了。在克服壁面摩擦上了。 例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，其中底璧固例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，其中底璧固 定不动，上璧以速度定不动，上璧以速度U向右运动。璧面间距为向右运动。璧面间距为h。这种流动。这种流动 称为古艾特流。称为古艾特流。 解：此题和例解：此题和例1 1的前半部分相的前半部分相 同，只是边界条件不同，有：同，只是边界条件不同，有： 0 y p ) 2 )( 1 21 2 cyc y

59、x p u 由边界条件由边界条件 y=0，u=0，定得，定得 c20; ; 由由 y=h, ,u=U，定得，定得 ) 1 /() 2 1 ( 1 x ph x p h U c )1 ()( 2 2 h y h y x ph h y Uu 于是速度分布为：于是速度分布为： 如果压强在如果压强在x方向无压强梯度，则方向无压强梯度，则 h y Uu 这种压强梯度等于零的流动称为简单的古艾特流或简单剪切流，这种压强梯度等于零的流动称为简单的古艾特流或简单剪切流， 速度分布在速度分布在y向为一直线。如果压强梯度不为零就是一般的古艾向为一直线。如果压强梯度不为零就是一般的古艾 特流，一般的古艾特流等于简单

60、古艾特流与例特流，一般的古艾特流等于简单古艾特流与例1 1的抛物线分布流的抛物线分布流 动的叠加。动的叠加。 定义一个无量纲的压强梯度：定义一个无量纲的压强梯度： )( 2 2 x p U h P 则无量纲的速度分布可写为：则无量纲的速度分布可写为： )1 ( h y h y P h y U u P=0是简单剪切流。是简单剪切流。P0表示压强在运动方向是下降的，这时表示压强在运动方向是下降的，这时 一个截面上的流速全都指向正一个截面上的流速全都指向正x方向，除了方向，除了y=0和和y=h的两端外的两端外 其他流速都比简单剪切流为大（图中其他流速都比简单剪切流为大（图中P1，2，3），）， P0